Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 1

Una recta r es el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 2.

Ecuación vectorial de la recta

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 3

Si el punto P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 4 tiene igual dirección que Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 5, luego es igual a Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 6 multiplicado por un escalar:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 7

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 8

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 9

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 10

Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director
Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 11 = (2,5).

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 12

La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 13

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 14

Ecuaciones paramétricas de la recta

Realizando las operaciones indicadas en la ecuación vectorial se obtiene:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 15

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 16

Igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta.

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 17

Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 18 = (2,5).

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 19

Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) son:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 20

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 21

Ecuación continua de la recta

Si despejamos el parámetro k de las ecuaciones paramétricas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta.

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 22

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 23

Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 24 = (2,5).

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 25

La ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) son:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 26

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 27

Ecuación punto-pendiente

Partimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y despejamos:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 28

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 29

Como

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 30

Se obtiene:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 31

Ejemplos

La ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2) es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 32

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 33

La ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45° es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 34

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 35

Ecuación general o implícita de la recta

Partimos de la ecuación continua la recta

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 36

Quitamos denominadores:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 37

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 38

Trasponemos términos:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 39

Transformamos:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 40

Y obtenemos la ecuación general de la recta.

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 41

Las componentes del vector director son:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 42

La pendiente de la recta es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 43

La ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 44Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 45

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 46

La ecuación general de la recta de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2 es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 47

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 48

Ecuación explícita de la recta

Si despejamos y en la ecuación general de la recta, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 49

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 50

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el
eje de ordenadas.

La ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2 es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 51

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 52

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Si los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) determina una recta r. el vector director de la recta es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 53

cuyas componentes son:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 54Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 55

Sustituyendo estos valores en la ecuación continua, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 56

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5) es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 57

Ecuación canónica o segmentaria

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 58

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 59

La ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4) es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 60

−4x −8 = 3y -3 4x + 3y + 5 = 0

Si y = 0 x = −5/4 = a.

Si x = 0 y = −5/3 = b.

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 63

Ecuación normal de la recta

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 64

Los puntos A y X de la recta r determinan el vector:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 65 = (x - a1, y - a2)

El vector Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 66 es un vector unitario y perpendicular a r.

Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).

Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular serán

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 67

Como Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 68 y Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 69 son perpendiculares, su producto escalar es cero:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 70

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 71

Si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 72

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 73

Ejemplo

La ecuación normal de la recta r ≡ 12x - 5y +26 = 0 es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 74

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 75

Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 76

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 77

Ejemplo

La ecuación de una recta perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto medio es:

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 78

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 79

Este vector es perpendicular a la recta buscada.

Explicaciones y ejemplos de ecuación de la recta - 80