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Definición de vectores y puntos coplanarios
Ejemplos propuestos

Definición de vectores y puntos coplanarios

Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.

Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes de los vectores ha de ser igual a cero.

La forma de calcular un determinante de una matriz de 3x3 es la siguiente:

${\left|\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right| = a \left|\begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix}\right| - b \left|\begin{matrix} d & g \\ f & i \end{matrix}\right| + c \left|\begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix}\right| = }$

${a(e\cdot i - f\cdot h) - b(d\cdot i - g\cdot f) + c(d\cdot h - e\cdot g)}$

Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

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Ejemplos propuestos

1 Comprobar si los puntos ${A(1,2,3), B(4,7,8), C(3, 5, 5), D(-1,-2,-3)}$ y ${E(2, 2, 2)}$ son coplanarios.

Los puntos ${A, B, C, D}$ y ${E}$ son coplanarios si:

${rang(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}) = 2}$

${\overrightarrow{AB} = (4-1, 7-2, 8-3) = (3,5,5)}$

${\overrightarrow{AC} = (3-1, 5-2, 5-3) = (2,3,2)}$

${\overrightarrow{AD} = (-1-1, -2-2, -3-3) = (-2, -4, -6)}$

${\overrightarrow{AE} = (2-1, 2-2, 2-3) = (1, 0, -1)}$

${\begin{matrix} \left(\begin{matrix} 3 & 5 & 5\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -4 & -6 \\1 & 0 & -1 \end{matrix} \right) & \left| \begin{matrix} 3 & 5 & 5\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -4 & -6 \end{matrix}\right| = 0 & \left| \begin{matrix} 3 & 5 & 5\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 0 & -1 \end{matrix}\right| \neq 0 \end{matrix}}$

${\left| \begin{matrix} 3 & 5 & 5\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -4 & -6 \end{matrix}\right| = 3(-18+8) -5(-12+4) +5(-8+6) = -30 + 40 -10= 0}$

${\left| \begin{matrix} 3 & 5 & 5\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 0 & -1 \end{matrix}\right|= 3(-3-0) - 5(-2-2) +5(0-3) = -9+20-15 \neq 0}$

Por lo tanto,

${rang(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}) = 3}$

Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.

2 Determinar el valor de ${x}$ para que los puntos ${A(0, 0, 1), B(0, 1, 2), C(−2, 1, 3)\,}$ y ${D(x, x-1, 2)}$ sean coplanarios.

Para que los puntos sean coplanarios, los vectores determinados por ellos también han de ser coplanarios, es decir, que el rango de los vectores sea 2.

${\overrightarrow{AB} = (0-0, 1-0, 2-1) = (0,1,1)}$

${\overrightarrow{AC} = (-2-0, 1-0, 3-1) = (-2,1,2)}$

${\overrightarrow{AD} = (x-0, x-1, 2-1) = (x, x-1, 1)}$

Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes de los vectores ha de ser igual a cero.

${\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1\\ -2 & 1 & 2\\ x & x-1 & 1 \end{matrix}\right| = 0 }$

Por medio determinante encontramos la ecuación a resolver.

${0(1-2(x-1)) -(-2-2x) + (-2(x-1) -x) = 0 + 2 + 2x - 2x + 2 - x = 0}$
${ -x + 4 = 0 \quad x = 4}$

3 ¿Qué en relación se ha de verificar entre los parámetros ${a, b}$ y ${c}$ para que los puntos ${A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1)}$ y ${D(a, b, c)}$ sean coplanarios?

Los puntos $A, B, C}$ y ${D}$ son coplanarios si:

${rang(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = 2}$

${\overrightarrow{AB} = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)}$

${\overrightarrow{AC} = (0-1, 1-0, 1-1) = (-1, 1, 0)}$

${\overrightarrow{AD} = (a-1, b-0, c-1) = (a-1, b, c-1)}$

Buscamos que el determinante sea igual a 0

${\begin{matrix} \left(\begin{matrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ a-1 & -b & c-1 \end{matrix} \right) & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ a-1 & b & c-1 \end{matrix}\right| = 0 \end{matrix}}$

${0(c-1)-(-(c-1)+0(a-1)) -(-b-(a-1)) = c - 1 + b + a - 1 = }$

Por lo tanto, la condición para que los puntos sean coplanarios es:

${a+b+c = 2}$

4 Calcular el valor de ${a}$ para que los puntos ${(a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3)}$ y ${(7, 2, 1)}$ sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que los contiene.

Los puntos son coplanares si:

${rang(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD}) = 2}$

${\overrightarrow{BA} = (a-0, 0-1, 1-2) = (a, -1, -1)}$

${\overrightarrow{BC} = (1-0,2-1, 3-2) = (1, 1, 1)}$

${\overrightarrow{BD} = (7-0, 2-1, 1-2) = (7, 1, -1)}$

Tenemos que resolver el siguiente siguiente determinante

${\begin{matrix} \left| \begin{matrix} a & -1 & -1\\ 1 & 1 & 1\\ 7 & 1 & -1 \end{matrix}\right| = 0 & \begin{matrix} a(-1-1) +(-1-7)-(1-7) = 0 \\ -2a-8+6 = 0 \\ -2a = 2\quad a=-1 \end{matrix} \end{matrix}}$

Ahora vamos a calcular la ecuación del plano

${B(0,1,2) \quad \overrightarrow{BC} = (1,1,1) \quad \overrightarrow{BD} = (7,1,-1)}$

${\begin{matrix} \left| \begin{matrix} x & 1 & 7\\ y-1 & 1 & 1\\ z-2 & 1 & -1 \end{matrix}\right| = 0 & \begin{matrix} x(-1-1)-(-y+1-z+2)+7(y-1-z+2) = 0 \\ -2x+y+z-3+7y-7z+7 = 0\\ -2x+8y-6z+4 = 0 \end{matrix} \end{matrix}}$

Entonces la ecuación del plano es ${x-4y+3z-2=0}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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nora

Marzo 2022

Hola, en el ejercicio 1 donde se calcula si los puntos A,B,C,D y E son coplanarios, hay un error. El punto D debería ser -1,-2,-3, de hecho los cálculos están hechos con esos números pero en el enunciado están todos los valores positivos. Os lo comento por si lo queréis corregir y así aprovecho para deciros lo útil que me resulta vuestra web siempre que tengo una duda. Gracias 😉

Antonio Tapia

Abril 2022

Una disculpa ya se corrigió.

Ángel

Junio 2020

Yo tenía entendido que más de 3 vectores eran siempre linealmente dependientes, por lo que no entiendo por qué en el primer caso, al tratarse de 4 vectores, no son coplanarios.

Karla Paulette Flores Silva

Junio 2020

Hola, es cierto que el conjunto de los 4 vectores son linealmente dependientes, pero eso no es condición suficiente para que sean coplanares, se debe cumplir aparte que tengan rango 2, hecho que se refuta con el determinante que aparece más a la derecha pues es distinto de 0, lo que quiere decir que esos tres vectores que conforman el determinante son linealmente independientes, entonces el rango debe ser 3.

Recordemos que si un determinante sale distinto de 0, las filas o vectores que lo conforman son linealmente independientes, y el rango coincide con el número de vectores.

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

Plakas

Enero 2021

Negativo, el determinante de los 3 vectores si es 0 , por lo tanto el rango es 2,siendo coplanarios.

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