Definición de vectores y puntos coplanarios

 

Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.

Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes de los vectores ha de ser igual a cero.

La forma de calcular un determinante de una matriz de 3x3 es la siguiente:

{\left|\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right| = a \left|\begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix}\right| - b \left|\begin{matrix} d & g \\ f & i \end{matrix}\right| + c \left|\begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix}\right| = }

{a(e\cdot i - f\cdot h) - b(d\cdot i - g\cdot f) + c(d\cdot h - e\cdot g)}

Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

 

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Ejemplos propuestos

1 Comprobar si los puntos {A(1,2,3), B(4,7,8), C(3, 5, 5), D(−1, −2, −3)} y {E(2, 2, 2)} son coplanarios.

Los puntos {A, B, C, D} y {E} son coplanarios si:

{rang(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}) = 2}

{\overrightarrow{AB} = (4-1, 7-2, 8-3) = (3,5,5)}

{\overrightarrow{AC} = (3-1, 5-2, 5-3) = (2,3,2)}

{\overrightarrow{AD} = (-1-1, -2-2, -3-3) = (-2, -4, -6)}

{\overrightarrow{AE} = (2-1, 2-2, 2-3) = (1, 0, -1)}

{\begin{matrix} \left(\begin{matrix} 3 & 5 & 5\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -4 & -6 \\1 & 0 & -1 \end{matrix} \right) & \left| \begin{matrix} 3 & 5 & 5\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -4 & -6 \end{matrix}\right| = 0 & \left| \begin{matrix} 3 & 5 & 5\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 0 & -1 \end{matrix}\right| \neq 0 \end{matrix}}

{\left| \begin{matrix} 3 & 5 & 5\\ 2 & 3 & 2\\ -2 & -4 & -6 \end{matrix}\right| = 3(-18+8) -5(-12+4) +5(-8+6) = -30 + 40 -10= 0}

{\left| \begin{matrix} 3 & 5 & 5\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 0 & -1 \end{matrix}\right|= 3(-3-0) - 5(-2-2) +5(0-3) = -9+20-15 \neq 0}

Por lo tanto,

{rang(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}) = 3}

Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.


2 Determinar el valor de {x} para que los puntos {A(0, 0, 1), B(0, 1, 2), C(−2, 1, 3)\,} y {D(x, x-1, 2)} sean coplanarios.

Para que los puntos sean coplanarios, los vectores determinados por ellos también han de ser coplanarios, es decir, que el rango de los vectores sea 2.

{\overrightarrow{AB} = (0-0, 1-0, 2-1) = (0,1,1)}

{\overrightarrow{AC} = (-2-0, 1-0, 3-1) = (-2,1,2)}

{\overrightarrow{AD} = (x-0, x-1, 2-1) = (x, x-1, 1)}

Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes de los vectores ha de ser igual a cero.

{\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1\\ -2 & 1 & 2\\ x & x-1 & 1 \end{matrix}\right| = 0 }

Por medio determinante encontramos la ecuación a resolver.

{0(1-2(x-1)) -(-2-2x) + (-2(x-1) -x) = 0 + 2 + 2x - 2x + 2 - x = 0}
{ -x + 4 = 0 \quad x = 4}


3 ¿Qué en relación se ha de verificar entre los parámetros {a, b} y {c} para que los puntos {A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1)} y {D(a, b, c)} sean coplanarios?

Los puntos A, B, C} y {D} son coplanarios si:

{rang(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = 2}

{\overrightarrow{AB} = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)}

{\overrightarrow{AC} = (0-1, 1-0, 1-1) = (-1, 1, 0)}

{\overrightarrow{AD} = (a-1, b-0, c-1) = (a-1, b, c-1)}

Buscamos que el determinante sea igual a 0

{\begin{matrix} \left(\begin{matrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ a-1 & -b & c-1 \end{matrix} \right) & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ a-1 & b & c-1 \end{matrix}\right| = 0 \end{matrix}}

{0(c-1)-(-(c-1)+0(a-1)) -(-b-(a-1)) = c - 1 + b + a - 1 = }

Por lo tanto, la condición para que los puntos sean coplanarios es:

{a+b+c = 2}


4 Calcular el valor de {a} para que los puntos {(a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3)} y {(7, 2, 1)} sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que los contiene.

Los puntos son coplanares si:

{rang(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD}) = 2}

{\overrightarrow{BA} = (a-0, 0-1, 1-2) = (a, -1, -1)}

{\overrightarrow{BC} = (1-0,2-1, 3-2) = (1, 1, 1)}

{\overrightarrow{BD} = (7-0, 2-1, 1-2) = (7, 1, -1)}

Tenemos que resolver el siguiente siguiente determinante

{\begin{matrix} \left| \begin{matrix} a & -1 & -1\\ 1 & 1 & 1\\ 7 & 1 & -1 \end{matrix}\right| = 0 & \begin{matrix} a(-1-1) +(-1-7)-(1-7) = 0 \\ -2a-8+6 = 0 \\ -2a = 2\quad a=-1 \end{matrix} \end{matrix}}

Ahora vamos a calcular la ecuación del plano

{B(0,1,2) \quad \overrightarrow{BC} = (1,1,1) \quad \overrightarrow{BD} = (7,1,-1)}

{\begin{matrix} \left| \begin{matrix} x & 1 & 7\\ y-1 & 1 & 1\\ z-2 & 1 & -1 \end{matrix}\right| = 0 & \begin{matrix} x(-1-1)-(-y+1-z+2)+7(y-1-z+2) = 0 \\ -2x+y+z-3+7y-7z+7 = 0\\ -2x+8y-6z+4 = 0 \end{matrix} \end{matrix}}

Entonces la ecuación del plano es {x-4y+3z-2=0}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗