Contesta a las siguientes cuestiones:

1Sean A(2, -1), B(4, 1) \ \text{y}\ C(1, 5) vértices consecutivos de un paralelogramo. Halla las coordenadas del cuarto vértice.

D = ,

Llamemos D al cuarto vértice.

 

1Calculamos el lado AB

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A \ \text{y}\ B:

\cfrac{x-2}{2}=\cfrac{y+1}{2} \ \ \Longrightarrow \ \ r\equiv y=x-3

 

2Calculamos el lado CD

Este lado tiene por ecuación la recta paralela a la recta r que pasa por el vértice C.

Como es una recta paralela a la recta r, las pendientes coinciden, así que es de la forma:

y = x + n

Esta recta pasa por el punto C(1, 5), luego sustituyendo las coordenadas del punto en la recta, obtenemos el término independiente

5 = 1 + n \ \ \Longrightarrow \ \ n = 4

Entonces el lado CD tiene por ecuación:

s \equiv y = x + 4

 

3Calculamos el lado BC

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos B\ \text{y}\ C:

\cfrac{x-4}{-3}=\cfrac{y-1}{4} \ \ \Longrightarrow \ \ t\equiv y=-\cfrac{4}{3}\, x+\cfrac{19}{3}

4Calculamos el lado AD

Este lado tiene por ecuación la recta paralela a la recta t que pasa por el vértice A.

Como es una recta paralela a la recta t, las pendientes coinciden, así que es de la forma:

y=-\cfrac{4}{3}\, x+n

Esta recta pasa por el punto A(2, -1), luego sustituyendo las coordenadas del punto en la recta, obtenemos el término independiente

-1=-\cfrac{4}{3}\cdot 2+n \ \ \Longrightarrow \ \ n=\cfrac{5}{3}

Entonces el lado AD tiene por ecuación:

u\equiv y=-\cfrac{4}{3}\, x+\cfrac{5}{3}

 

5Calculamos el vértice D

Las rectas s \ \text{y}\ u son los lados CD \ \text{y}\ AD del paralelogramo respectivamente y se cortan en el punto D. Calculemos el punto de corte de las rectas

\left\{\begin{array}{l}s\equiv y=x+4\\ u\equiv y=-\cfrac{4}{3}\, x+\cfrac{5}{3}\end{array}\right. \ \ \Longrightarrow \ \ x=-1,\ y=3

Entonces el vértice D tiene coordenadas (-1, 3).

2Sean A(-5, 1), B(-3, 0) \ \text{y}\ C(0, 1) vértices consecutivos de un paralelogramo. Halla la pendiente de la diagonal que pasa por el cuarto vértice.

m =

Llamemos D al cuarto vértice.

 

1Calculamos el lado AB

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A \ \text{y}\ B:

\cfrac{x+5}{2}=\cfrac{y-1}{-1} \ \ \Longrightarrow \ \ r\equiv y=-\cfrac{1}{2}\, x-\cfrac{3}{2}

 

2Calculamos el lado CD

Este lado tiene por ecuación la recta paralela a la recta r que pasa por el vértice C.

Como es una recta paralela a la recta r, las pendientes coinciden, así que es de la forma:

y = -\cfrac{1}{2}\, x + n

Esta recta pasa por el punto C(0, 1), luego sustituyendo las coordenadas del punto en la recta, obtenemos el término independiente

1 = -\cfrac{1}{2}\cdot 0 + n \ \ \Longrightarrow \ \ n = 1

Entonces el lado CD tiene por ecuación:

s \equiv y = -\cfrac{1}{2}\, x + 1

 

3Calculamos el lado BC

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos B\ \text{y}\ C:

\cfrac{x+3}{3}=\cfrac{y-0}{1} \ \ \Longrightarrow \ \ t\equiv y=\cfrac{1}{3}\, x+1

4Calculamos el lado AD

Este lado tiene por ecuación la recta paralela a la recta t que pasa por el vértice A.

Como es una recta paralela a la recta t, las pendientes coinciden, así que es de la forma:

y=\cfrac{1}{3}\, x+n

Esta recta pasa por el punto A(-5, 1), luego sustituyendo las coordenadas del punto en la recta, obtenemos el término independiente

1=\cfrac{1}{3}\cdot (-5)+n \ \ \Longrightarrow \ \ n=\cfrac{8}{3}

Entonces el lado AD tiene por ecuación:

u\equiv y=\cfrac{1}{3}\, x+\cfrac{8}{3}

 

5Calculamos el vértice D

Las rectas s \ \text{y}\ u son los lados CD \ \text{y}\ AD del paralelogramo respectivamente y se cortan en el punto D. Calculemos el punto de corte de las rectas

\left\{\begin{array}{l}s\equiv y=-\cfrac{1}{2}\, x+1\\ u\equiv y=\cfrac{1}{3}\, x+\cfrac{8}{3}\end{array}\right. \ \ \Longrightarrow \ \ x=-2,\ y=2

Entonces el vértice D tiene coordenadas (-2, 2).

 

6Calculamos la pendiente de BD

\cfrac{x+3}{1}=\cfrac{y-0}{2} \ \ \Longrightarrow \ \ m=2

3¿Cuál debe ser la ordenada del punto C para que A(2, 3), B(5, 0)\ \text{y}\ C sean vértices consecutivos de un rectángulo si sabemos que la abscisa del punto C es x = 4?

y =

1Hallemos la ecuación que pasa por los puntos A\ \text{y}\ B:

\cfrac{x-2}{3}=\cfrac{y-3}{-3} \ \ \Longrightarrow \ \ r\equiv y=-x+5

 

2Calculemos ahora su perpendicular por el punto B:

La recta s, perpendicular a la recta r, tiene pendiente m_s=-\cfrac{1}{m_r}=-\cfrac{1}{-1}=1

Entonces es de la forma y = x + n

Como esta recta pasa por el punto B(5, 0), sustituimos las coordenadas del punto en la recta para encontrar el término independiente

0 = 5 + n \ \ \Longrightarrow\ \ n = -5

Entonces la ecuación de la recta s es s \equiv y = x - 5

 

3El vértice C se encuentra sobre esta recta. Como sabemos que tiene abscisa x = 4, su ordenada es:y = 4 - 5 = -1

4¿Cuál debe ser la abcisa del punto C para que A(-2, -1), B(1, -3)\ \text{y}\ C sean vértices consecutivos de un rectángulo si sabemos que la ordenada del punto C es y = 0?

x =

1Hallemos la ecuación que pasa por los puntos A\ \text{y}\ B:

\cfrac{x+2}{3}=\cfrac{y+1}{-2} \ \ \Longrightarrow \ \ r\equiv y=-\cfrac{2}{3}\, x-\cfrac{7}{3}

 

2Calculemos ahora su perpendicular por el punto B:

La recta s, perpendicular a la recta r, tiene pendiente m_s=-\cfrac{1}{m_r}=-\cfrac{1}{-\cfrac{2}{3}}=\cfrac{3}{2}

Entonces es de la forma y = \cfrac{3}{2}\, x + n

Como esta recta pasa por el punto B(1, -3), sustituimos las coordenadas del punto en la recta para encontrar el término independiente

-3 = \cfrac{3}{2}\cdot 1 + n \ \ \Longrightarrow\ \ n = -\cfrac{9}{2}

Entonces la ecuación de la recta s es s \equiv y = \cfrac{3}{2}\, x - \cfrac{9}{2}

 

3El vértice C se encuentra sobre esta recta. Como sabemos que tiene ordenada y = 0, su abcisa es:

0 = \cfrac{3}{2}\, x - \cfrac{9}{2} \ \ \Longrightarrow \ \ x=3

Elige la opción correcta en cada caso:

5Tenemos un triángulo de vértices A(-1, -2), B(-2, 5)\ \text{y}\ C(-4, 0). Calcula la ecuación de la altura del triángulo que es perpendicular por C al lado AB.

1Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A\ \text{y}\ B:

\cfrac{x+1}{-1}=\cfrac{y+2}{7} \ \ \Longrightarrow\ \ r\equiv y=-7x-9

 

2La recta s, perpendicular a la recta r, tiene pendiente m_s=-\cfrac{1}{m_r}=-\cfrac{1}{-7}=\cfrac{1}{7}

Entonces es de la forma y=\cfrac{1}{7}\, x+n

 

3Como esta recta pasa por el punto C(-4, 0), sustituimos las coordenadas del punto en la recta para encontrar el término independiente.

0=\cfrac{1}{7}\cdot(-4)+n \ \ \Longrightarrow \ \ n=\cfrac{4}{7}

 

4Entonces la ecuación de la recta s, que es la ecuación de la altura pedida, es s\equiv y=\cfrac{1}{7}\, x+\cfrac{4}{7}

6Tenemos un paralelogramos de vértices A(-3, -1), B(2, -2), C(4,0) \ \text{y}\ D(-1, 1). Calcula la ecuación de la altura del paralelogramo que es perpendicular por D al lado AB.

1Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A\ \text{y}\ B:

\cfrac{x+3}{5}=\cfrac{y+1}{-1} \ \ \Longrightarrow\ \ r\equiv y=-\cfrac{1}{5}, x-\cfrac{8}{5}

 

2La recta s, perpendicular a la recta r, tiene pendiente m_s=-\cfrac{1}{m_r}=-\cfrac{1}{-\cfrac{1}{5}}=5

Entonces es de la forma y=5x+n

 

3Como esta recta pasa por el punto D(-1, 1), sustituimos las coordenadas del punto en la recta para encontrar el término independiente.

1=5\cdot(-1)+n \ \ \Longrightarrow \ \ n=6

 

4Entonces la ecuación de la recta s, que es la ecuación de la altura pedida, es s\equiv y=5x+6

7Calcula la longitud de la altura del triángulo de vértices A(1, 3), B(2, -2)\ \text{y}\ C(4, 1), perpendicular al lado AB.

1Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A\ \text{y}\ B:

\cfrac{x-1}{1}=\cfrac{y-3}{-5} \ \ \Longrightarrow \ \ r\equiv y=-5x+8

 

2La recta s, perpendicular a la recta r, tiene pendiente m_s=-\cfrac{1}{m_r}=-\cfrac{1}{-5}=\cfrac{1}{5}

Entonces es de la forma y=\cfrac{1}{5}\, x+n

 

3Como esta recta pasa por el punto C(4, 1), sustituimos las coordenadas del punto en la recta para encontrar el término independiente.

1=\cfrac{1}{5}\cdot(4)+n \ \ \Longrightarrow \ \ n=\cfrac{1}{5}

Entonces, la ecuación de la recta s, que es la ecuación de la altura cuya longitud queremos calcular es:

s\equiv y=\cfrac{1}{5}\, x+\cfrac{1}{5}

 

4Calculemos ahora el punto de corte de las rectas r\ \text{y}\ s:

\left\{\begin{array}{l}r\equiv y=-5x+8\\ s\equiv y=\cfrac{1}{5}\, x+\cfrac{1}{5}\end{array}\right. \ \ \Longrightarrow \ \ x=\cfrac{3}{2},\ y=\cfrac{1}{2}

 

El punto de corte es P\left(\cfrac{3}{2},\cfrac{1}{2}\right)

 

5Para calcular la longitud de la altura pedida, tenemos que hallar la distancia entre los puntos P\ \text{y}\ C

d(\overline{PC})=\sqrt{\left(4-\cfrac{3}{2}\right)^2+\left(1-\cfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\cfrac{13}{2}}\, u

8Calcula la longitud de la altura del paralelogramos de vértices A(-3, -1), B(2, -2), C(4,0) \ \text{y}\ D(-1, 1), perpendicular al lado AB.

1Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A\ \text{y}\ B:

\cfrac{x+3}{5}=\cfrac{y+1}{-1} \ \ \Longrightarrow\ \ r\equiv y=-\cfrac{1}{5}, x-\cfrac{8}{5}

 

2La recta s, perpendicular a la recta r, tiene pendiente m_s=-\cfrac{1}{m_r}=-\cfrac{1}{-\cfrac{1}{5}}=5

Entonces es de la forma y=5x+n

 

3Como esta recta pasa por el punto C(4, 0), sustituimos las coordenadas del punto en la recta para encontrar el término independiente.

0=5\cdot(4)+n \ \ \Longrightarrow \ \ n=-20

Entonces, la ecuación de la recta s, que es la ecuación de la altura cuya longitud queremos calcular es:

s\equiv y=5x-20

 

4Calculemos ahora el punto de corte de las rectas r\ \text{y}\ s:

\left\{\begin{array}{l}r\equiv y=-\cfrac{1}{5}\, x-\cfrac{8}{5}\\ s\equiv y=5x-20\end{array}\right. \ \ \Longrightarrow \ \ x=\cfrac{46}{13},\ y=-\cfrac{30}{13}

 

El punto de corte es P\left(\cfrac{46}{13},-\cfrac{30}{13}\right)

 

5Para calcular la longitud de la altura pedida, tenemos que hallar la distancia entre los puntos P\ \text{y}\ C

d(\overline{PC})=\sqrt{\left(4-\cfrac{46}{13}\right)^2+\left(0+\cfrac{30}{13}\right)^2}=6\sqrt{\cfrac{2}{13}}\, u

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗