Gaspar

20 septiembre 2020

 

Indica si los siguientes puntos están o no alineados: (Puntos alineados):

1{A(-10,-1), B(0, 1), C(5, 2)}

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1Verificamos que las coordenadas sean proporcionales

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{0 - (-10)}{5 - 0} & = & \displaystyle \frac{1 - (-1)}{2 - 1} \\\\ 2 & = & 2 \end{array}}

 

2Se satisface la igualdad, por lo tanto los tres puntos son colineales.

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2{A(-5, 3), B(-3, 2), C(2, -1)}

<!-nuevo->

1Verificamos que las coordenadas sean proporcionales

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{-3 - (-5)}{2 - (-3)} & = & \displaystyle \frac{2 - 3}{(-1) - 2} \\\\ \displaystyle \frac{2}{5} & \neq & \displaystyle \frac{1}{3} \end{array}}

 

2No se satisface la igualdad, por lo tanto los tres puntos no son colineales.

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3{A(-1, -4), B\left(\displaystyle \frac{1}{3}, 1 \right), C(1, 2)}

<!-nuevo->

1Verificamos que las coordenadas sean proporcionales

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3} - (-1)}{1 - \displaystyle \frac{1}{3}} & = & \displaystyle \frac{1 - (-4)}{2 - 1} \\\\ \displaystyle 2 & \neq & \displaystyle 5 \end{array}}

 

2No se satisface la igualdad, por lo tanto los tres puntos no son colineales.

<!-nuevo->

4{A\left(-\displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{3}{4}\right), B\left(\displaystyle \frac{1}{3}, \displaystyle \frac{1}{3} \right), C\left(\displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{1}{4} \right)}

<!-nuevo->

1Verificamos que las coordenadas sean proporcionales

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3} - \left(-\displaystyle \frac{1}{2} \right)}{\displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{1}{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3} - \displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{1}{4} - \displaystyle \frac{1}{3}} \\\\ \displaystyle 5 & = & \displaystyle 5 \end{array}}

 

2Se satisface la igualdad, por lo tanto los tres puntos son colineales.

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Calcula el parámetro que falta para que los siguientes puntos estén alineados: (Puntos alineados):

5{A\left(\displaystyle 17, \displaystyle a \right), B\left(\displaystyle 5, \displaystyle 4 \right), C\left(\displaystyle 9, \displaystyle 3 \right)}

a = ,

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1Escribimos la proporción de coordenadas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle 5 - 17}{\displaystyle 9 - \displaystyle 5} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle 4 - \displaystyle a}{\displaystyle 3 - \displaystyle 4} \end{array}}

 

2Resolvemos la proporción de coordenadas respecto a {a}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\displaystyle 5 - 17}{\displaystyle 9 - \displaystyle 5} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle 4 - \displaystyle a}{\displaystyle 3 - \displaystyle 4} \\\\ -3 & = & -4 + a \\\\ 1 & = & a \end{array}}

<!-nuevo->

6{A\left(\displaystyle -11, \displaystyle -5 \right), B\left(\displaystyle -5, \displaystyle a \right), C\left(\displaystyle -23, \displaystyle -13 \right)}

a = ,

<!-nuevo->

1Escribimos la proporción de coordenadas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle -5 - (-11)}{\displaystyle -23 - \displaystyle (-5)} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle a - \displaystyle (-5)}{\displaystyle -13 - \displaystyle a} \\\\ \displaystyle \frac{6}{-18} & = & \displaystyle \frac{a + 5}{-13 - a}\end{array}}

 

2Resolvemos la proporción de coordenadas respecto a {a}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{6}{-18} & = & \displaystyle \frac{a + 5}{-13 - a} \\\\ 6(-13 - a) & = & -18(a + 5) \\\\ -78 - 6a & = & -18a - 90 \\\\ 12a & = & -12 \\\\ a & = & -1 \end{array}}

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7{A\left(\displaystyle -5, \displaystyle -2 \right), B\left(\displaystyle 15, \displaystyle 6 \right), C\left(\displaystyle a, \displaystyle 2 \right)}

a = ,

<!-nuevo->

1Escribimos la proporción de coordenadas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle 15 - (-5)}{\displaystyle a - \displaystyle 15} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle 6 - \displaystyle (-2)}{\displaystyle 2 - \displaystyle 6} \\\\ \displaystyle \frac{20}{a - 15} & = & \displaystyle \frac{8}{-4} \\\\ \displaystyle \frac{20}{a - 15} & = & -2 \end{array}}

 

2Resolvemos la proporción de coordenadas respecto a {a}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{20}{a - 15} & = & -2 \\\\ 20 & = & -2(a - 15) \\\\ 20 & = & -2a + 30 \\\\ 2a & = & 10 \\\\ a & = & 5 \end{array}}

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8{A\left(\displaystyle a, \displaystyle \frac{11}{3}\right), B\left(-\displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle 2 \right), C\left(\displaystyle 0, \displaystyle \frac{7}{3} \right)}

a = ,

<!-nuevo->

1Escribimos la proporción de coordenadas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle -\frac{1}{2} - a}{\displaystyle 0 - \displaystyle \left( -\frac{1}{2} \right)} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle 2 - \displaystyle \frac{11}{3}}{\displaystyle \frac{7}{3} - \displaystyle 2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{-1 - 2a}{2}}{\displaystyle \frac{1}{2}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle -\frac{5}{3}}{\displaystyle \frac{1}{3}} \\\\ \displaystyle -1 - 2a & = & -5 \end{array}}

 

2Resolvemos la proporción de coordenadas respecto a {a}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle -1 - 2a & = & -5 \\\\ -2a & = & -4 \\\\ a & = & 2 \end{array}}

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¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A y B en tres partes iguales?: (División de un segmento en tres parte iguales):

9{A(4, -2), B(1, 4)}

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1Para hallar el punto {P(x_p, y_p)}, sustituimos los valores de {A, B, P} en

 

{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AP} & = & \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \\\\ \left( x_p - 4, y_p + 2 \right) & = & \displaystyle \frac{1}{3}(1 - 4, 4 + 2) \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{3}(-3, 6) \\\\ & = & (-1, 2) \end{array}}

 

2Igualando coordenada a coordenada, obtenemos dos ecuaciones lineales, las cuales resolvemos para hallar las coordenadas de {P}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x_p - 4 = -1 & \Longrightarrow & x_p = 3 \\\\ y_p + 2 = 2 & \Longrightarrow & y_p = 0 \end{array}}

 

3Para hallar el punto {Q(x_q, y_q)}, sustituimos los valores de {A, P, Q} en

 

{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AQ} & = & \displaystyle 2 \overrightarrow{AP} \\\\ \left( x_q - 4, y_q + 2 \right) & = & \displaystyle 2(3 - 4, 0 + 2) \\\\ & = & \displaystyle 2(-1, 2) \\\\ & = & (-2, 4) \end{array}}

 

2Igualando coordenada a coordenada, obtenemos dos ecuaciones lineales, las cuales resolvemos para hallar las coordenadas de {Q}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x_q - 4 = -2 & \Longrightarrow & x_q = 2 \\\\ y_q + 2 = 4 & \Longrightarrow & y_q = 2 \end{array}}

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10{A(0, 2), B(-6, -7)}

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1Para hallar el punto {P(x_p, y_p)}, sustituimos los valores de {A, B, P} en

 

{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AP} & = & \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \\\\ \left( x_p - 0, y_p - 2 \right) & = & \displaystyle \frac{1}{3}(-6 - 0, -7 - 2) \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{3}(-6, -9) \\\\ & = & (-2, -3) \end{array}}

 

2Igualando coordenada a coordenada, obtenemos dos ecuaciones lineales, las cuales resolvemos para hallar las coordenadas de {P}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x_p - 0 = -2 & \Longrightarrow & x_p = -2 \\\\ y_p - 2 = -3 & \Longrightarrow & y_p = -1 \end{array}}

 

3Para hallar el punto {Q(x_q, y_q)}, sustituimos los valores de {A, P, Q} en

 

{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AQ} & = & \displaystyle 2 \overrightarrow{AP} \\\\ \left( x_q - 0, y_q - 2 \right) & = & \displaystyle 2(-2 - 0, -1 - 2) \\\\ & = & \displaystyle 2(-2, -3) \\\\ & = & (-4, -6) \end{array}}

 

2Igualando coordenada a coordenada, obtenemos dos ecuaciones lineales, las cuales resolvemos para hallar las coordenadas de {Q}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x_q - 0 = -4 & \Longrightarrow & x_q = -4 \\\\ y_q - 2 = -6 & \Longrightarrow & y_q = -4 \end{array}}

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Si tienes dudas puedes consultar la teoría aquí y aquí

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Gaspar

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