Indica si los siguientes puntos están o no alineados: (Puntos alineados):

1{A(-10,-1), B(0, 1), C(5, 2)}

<!-nuevo->

1Verificamos que las coordenadas sean proporcionales

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{0 - (-10)}{5 - 0} & = & \displaystyle \frac{1 - (-1)}{2 - 1} \\\\ 2 & = & 2 \end{array}}

 

2Se satisface la igualdad, por lo tanto los tres puntos son colineales.

<!-nuevo->

2{A(-5, 3), B(-3, 2), C(2, -1)}

<!-nuevo->

1Verificamos que las coordenadas sean proporcionales

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{-3 - (-5)}{2 - (-3)} & = & \displaystyle \frac{2 - 3}{(-1) - 2} \\\\ \displaystyle \frac{2}{5} & \neq & \displaystyle \frac{1}{3} \end{array}}

 

2No se satisface la igualdad, por lo tanto los tres puntos no son colineales.

<!-nuevo->

3{A(-1, -4), B\left(\displaystyle \frac{1}{3}, 1 \right), C(1, 2)}

<!-nuevo->

1Verificamos que las coordenadas sean proporcionales

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3} - (-1)}{1 - \displaystyle \frac{1}{3}} & = & \displaystyle \frac{1 - (-4)}{2 - 1} \\\\ \displaystyle 2 & \neq & \displaystyle 5 \end{array}}

 

2No se satisface la igualdad, por lo tanto los tres puntos no son colineales.

<!-nuevo->

4{A\left(-\displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{3}{4}\right), B\left(\displaystyle \frac{1}{3}, \displaystyle \frac{1}{3} \right), C\left(\displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{1}{4} \right)}

<!-nuevo->

1Verificamos que las coordenadas sean proporcionales

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3} - \left(-\displaystyle \frac{1}{2} \right)}{\displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{1}{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3} - \displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{1}{4} - \displaystyle \frac{1}{3}} \\\\ \displaystyle 5 & = & \displaystyle 5 \end{array}}

 

2Se satisface la igualdad, por lo tanto los tres puntos son colineales.

<!-nuevo->

Calcula el parámetro que falta para que los siguientes puntos estén alineados: (Puntos alineados):

5{A\left(\displaystyle 17, \displaystyle a \right), B\left(\displaystyle 5, \displaystyle 4 \right), C\left(\displaystyle 9, \displaystyle 3 \right)}

a = ,

<!-nuevo->

1Escribimos la proporción de coordenadas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle 5 - 17}{\displaystyle 9 - \displaystyle 5} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle 4 - \displaystyle a}{\displaystyle 3 - \displaystyle 4} \end{array}}

 

2Resolvemos la proporción de coordenadas respecto a {a}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\displaystyle 5 - 17}{\displaystyle 9 - \displaystyle 5} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle 4 - \displaystyle a}{\displaystyle 3 - \displaystyle 4} \\\\ -3 & = & -4 + a \\\\ 1 & = & a \end{array}}

<!-nuevo->

6{A\left(\displaystyle -11, \displaystyle -5 \right), B\left(\displaystyle -5, \displaystyle a \right), C\left(\displaystyle -23, \displaystyle -13 \right)}

a = ,

<!-nuevo->

1Escribimos la proporción de coordenadas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle -5 - (-11)}{\displaystyle -23 - \displaystyle (-5)} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle a - \displaystyle (-5)}{\displaystyle -13 - \displaystyle a} \\\\ \displaystyle \frac{6}{-18} & = & \displaystyle \frac{a + 5}{-13 - a}\end{array}}

 

2Resolvemos la proporción de coordenadas respecto a {a}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{6}{-18} & = & \displaystyle \frac{a + 5}{-13 - a} \\\\ 6(-13 - a) & = & -18(a + 5) \\\\ -78 - 6a & = & -18a - 90 \\\\ 12a & = & -12 \\\\ a & = & -1 \end{array}}

<!-nuevo->

7{A\left(\displaystyle -5, \displaystyle -2 \right), B\left(\displaystyle 15, \displaystyle 6 \right), C\left(\displaystyle a, \displaystyle 2 \right)}

a = ,

<!-nuevo->

1Escribimos la proporción de coordenadas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle 15 - (-5)}{\displaystyle a - \displaystyle 15} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle 6 - \displaystyle (-2)}{\displaystyle 2 - \displaystyle 6} \\\\ \displaystyle \frac{20}{a - 15} & = & \displaystyle \frac{8}{-4} \\\\ \displaystyle \frac{20}{a - 15} & = & -2 \end{array}}

 

2Resolvemos la proporción de coordenadas respecto a {a}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{20}{a - 15} & = & -2 \\\\ 20 & = & -2(a - 15) \\\\ 20 & = & -2a + 30 \\\\ 2a & = & 10 \\\\ a & = & 5 \end{array}}

<!-nuevo->

8{A\left(\displaystyle a, \displaystyle \frac{11}{3}\right), B\left(-\displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle 2 \right), C\left(\displaystyle 0, \displaystyle \frac{7}{3} \right)}

a = ,

<!-nuevo->

1Escribimos la proporción de coordenadas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}} & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle -\frac{1}{2} - a}{\displaystyle 0 - \displaystyle \left( -\frac{1}{2} \right)} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle 2 - \displaystyle \frac{11}{3}}{\displaystyle \frac{7}{3} - \displaystyle 2} \\\\ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{-1 - 2a}{2}}{\displaystyle \frac{1}{2}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle -\frac{5}{3}}{\displaystyle \frac{1}{3}} \\\\ \displaystyle -1 - 2a & = & -5 \end{array}}

 

2Resolvemos la proporción de coordenadas respecto a {a}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle -1 - 2a & = & -5 \\\\ -2a & = & -4 \\\\ a & = & 2 \end{array}}

<!-nuevo->

¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A y B en tres partes iguales?: (División de un segmento en tres parte iguales):

9{A(4, -2), B(1, 4)}

<!-nuevo->

1Para hallar el punto {P(x_p, y_p)}, sustituimos los valores de {A, B, P} en

 

{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AP} & = & \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \\\\ \left( x_p - 4, y_p + 2 \right) & = & \displaystyle \frac{1}{3}(1 - 4, 4 + 2) \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{3}(-3, 6) \\\\ & = & (-1, 2) \end{array}}

 

2Igualando coordenada a coordenada, obtenemos dos ecuaciones lineales, las cuales resolvemos para hallar las coordenadas de {P}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x_p - 4 = -1 & \Longrightarrow & x_p = 3 \\\\ y_p + 2 = 2 & \Longrightarrow & y_p = 0 \end{array}}

 

3Para hallar el punto {Q(x_q, y_q)}, sustituimos los valores de {A, P, Q} en

 

{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AQ} & = & \displaystyle 2 \overrightarrow{AP} \\\\ \left( x_q - 4, y_q + 2 \right) & = & \displaystyle 2(3 - 4, 0 + 2) \\\\ & = & \displaystyle 2(-1, 2) \\\\ & = & (-2, 4) \end{array}}

 

2Igualando coordenada a coordenada, obtenemos dos ecuaciones lineales, las cuales resolvemos para hallar las coordenadas de {Q}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x_q - 4 = -2 & \Longrightarrow & x_q = 2 \\\\ y_q + 2 = 4 & \Longrightarrow & y_q = 2 \end{array}}

<!-nuevo->

10{A(0, 2), B(-6, -7)}

<!-nuevo->

1Para hallar el punto {P(x_p, y_p)}, sustituimos los valores de {A, B, P} en

 

{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AP} & = & \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \\\\ \left( x_p - 0, y_p - 2 \right) & = & \displaystyle \frac{1}{3}(-6 - 0, -7 - 2) \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{3}(-6, -9) \\\\ & = & (-2, -3) \end{array}}

 

2Igualando coordenada a coordenada, obtenemos dos ecuaciones lineales, las cuales resolvemos para hallar las coordenadas de {P}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x_p - 0 = -2 & \Longrightarrow & x_p = -2 \\\\ y_p - 2 = -3 & \Longrightarrow & y_p = -1 \end{array}}

 

3Para hallar el punto {Q(x_q, y_q)}, sustituimos los valores de {A, P, Q} en

 

{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AQ} & = & \displaystyle 2 \overrightarrow{AP} \\\\ \left( x_q - 0, y_q - 2 \right) & = & \displaystyle 2(-2 - 0, -1 - 2) \\\\ & = & \displaystyle 2(-2, -3) \\\\ & = & (-4, -6) \end{array}}

 

2Igualando coordenada a coordenada, obtenemos dos ecuaciones lineales, las cuales resolvemos para hallar las coordenadas de {Q}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x_q - 0 = -4 & \Longrightarrow & x_q = -4 \\\\ y_q - 2 = -6 & \Longrightarrow & y_q = -4 \end{array}}

<!-nuevo->

Si tienes dudas puedes consultar la teoría aquí y aquí

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 5,00/5 - 3 vote(s)
Cargando...

Gaspar

Comparto aquí mi gusto e interés por las matemáticas.