Indica si los siguientes puntos están o no alineados: (Puntos alineados):

 

 

1A(3, 6), B(5, 8), C(7, 10)

 

1Tres puntos A, B, C están alineados si sus coordenadas son proporcionales

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{5-3}{7-5}&=&\cfrac{8-6}{10-8}\\\\ \cfrac{2}{2}&=&\cfrac{2}{2}\\\\ 1 &=&1\end{array}

 

2Como se cumple la igualdad, entonces los tres puntos están alineados

 

 

2A(1, 0), B(7, -2), C(-1, 3)

 

1Tres puntos A, B, C están alineados si sus coordenadas son proporcionales

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{7-1}{-1-7}&=&\cfrac{-2-0}{3-(-2)}\\\\ -\cfrac{6}{8}&=&-\cfrac{2}{5}\\\\ -\cfrac{3}{4} &\neq&-\cfrac{2}{5}\end{array}

 

2Como no se cumple la igualdad, entonces los tres puntos no están alineados

 

 

3A(-5, 1), B(-1, 3), C(-4, -2)

 

1Tres puntos A, B, C están alineados si sus coordenadas son proporcionales

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{-1-(-5)}{-4-(-1)}&=&\cfrac{3-1}{-2-3}\\\\ -\cfrac{4}{3}&\neq&-\cfrac{2}{5}\end{array}

 

2Como no se cumple la igualdad, entonces los tres puntos no están alineados

 

 

4A(-3, 1), B(-2, 5), C(0, 13)

 

1Tres puntos A, B, C están alineados si sus coordenadas son proporcionales

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{-2-(-3)}{0-(-2)}&=&\cfrac{5-1}{13-5}\\\\ \cfrac{1}{2}&=&\cfrac{4}{8}\\\\ \cfrac{1}{2}&=&\cfrac{1}{2}\end{array}

 

2Como se cumple la igualdad, entonces los tres puntos están alineados

 

 

Calcula el parámetro que falta para que los siguientes puntos estén alineados: (Puntos alineados):

5A(19, a), B(1, 2), C(4, 3)

a = ,

1Tres puntos A, B, C están alineados si sus coordenadas son proporcionales

 

\cfrac{1-19}{4-1}=\cfrac{2-a}{3-2}

 

2Simplificamos la igualdad

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{1-19}{4-1}&=&\cfrac{2-a}{3-2}\\\\ \cfrac{-18}{3}&=&\cfrac{2-a}{1}\\\\ -6&=&2-a\end{array}

 

2Resolviendo obtenemos

 

\begin{array}{rcl}-6&=&2-a\\\\ a&=&2+6\\\\ a&=&8\end{array}

 

 

6A(5, 2), B(-3, a), C(1, 0)

a = ,

1Tres puntos A, B, C están alineados si sus coordenadas son proporcionales

 

\cfrac{-3-5}{1-(-3)}=\cfrac{a-2}{0-a}

 

2Simplificamos la igualdad

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{-3-5}{1-(-3)}&=&\cfrac{a-2}{0-a}\\\\ \cfrac{-8}{4}&=&\cfrac{a-2}{-a}\\\\ -2&=&\cfrac{a-2}{-a}\end{array}

 

2Resolviendo obtenemos

 

\begin{array}{rcl}-2&=&\cfrac{a-2}{-a}\\\\ 2a&=&a-2\\\\ a&=&-2\end{array}

 

 

7A(7, -5), B(2, -2), C(a, 1)

a = ,

1Tres puntos A, B, C están alineados si sus coordenadas son proporcionales

 

\cfrac{2-7}{a-2}=\cfrac{-2-(-5)}{1-(-2)}

 

2Simplificamos la igualdad

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{2-7}{a-2}&=&\cfrac{-2-(-5)}{1-(-2)}\\\\ \cfrac{-5}{a-2}&=&\cfrac{3}{3}\\\\ \cfrac{-5}{a-2}&=&1\end{array}

 

2Resolviendo obtenemos

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{-5}{a-2}&=&1\\\\ -5&=&a-2\\\\ -3&=&a\end{array}

 

 

8A(11/2, 9/2), B(4, a), C(1, 3)

a = ,

1Tres puntos A, B, C están alineados si sus coordenadas son proporcionales

 

\cfrac{4-11/2}{1-4}=\cfrac{a-9/2}{3-a}

 

2Simplificamos la igualdad

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{4-11/2}{1-4}&=&\cfrac{a-9/2}{3-a}\\\\ \cfrac{3/2}{3}&=&\cfrac{(2a-9)/2}{3-a}\\\\ \cfrac{1}{2}&=&\cfrac{2a-9}{6-2a}\end{array}

 

2Resolviendo obtenemos

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{1}{2}&=&\cfrac{2a-9}{6-2a}\\\\ 6-2a&=&4a-18\\\\ 24&=&6a\\\\ 4&=&a\end{array}

 

 

 

¿Qué puntos P \ \text{y} \ Q dividen al segmento de extremos A \ \text{y} \ B en tres partes iguales?: (División de un segmento en tres parte iguales):

 

 

9A(1, -4), B(7, 5)

 

1Calculamos \overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AB}=(7-1,5+4)=(6,9)

 

2Para calcular el primer punto de corte {P(x_1,y_1)} consideramos

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP}&=&\displaystyle\cfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\\\\ (x_1-1,y_1+4)&=&\displaystyle\cfrac{1}{3}(6,9)\end{array}

 

3De la igualdad anterior se obtiene dos ecuaciones, una por cada coordenada

{x_1-1=2 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x_1=3}

{y_1+4=3 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ y_1=-1}

 

4Para calcular el segundo punto de corte {Q(x_2,y_2)} consideramos

{begin{array}{rcl}\overrightarrow{AQ}&=&2\overrightarrow{AP}\\\\ (x_2-1,y_2+4)&=&2(2,3)\end{array}}

 

5De la igualdad anterior se obtiene dos ecuaciones, una por cada coordenada

{x_2-1=4 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x_2=5}

{y_2+4=6 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ y_2=2}

 

 

10A(0, 7), B(-3, -5)

1Calculamos {\overrightarrow{AB}}

\overrightarrow{AB}=(-3-0,-5-7)=(-3,-12)

 

2Para calcular el primer punto de corte {P(x_1,y_1)} consideramos

{\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP}&=&\displaystyle\cfrac{1}{3}\overright{AB} \\\\ (x_1-0,y_1-7)&=&\displaystyle\cfrac{1}{3}(-3,-12)\end{array}}

 

3De la igualdad anterior se obtiene dos ecuaciones, una por cada coordenada

{x_1-0=-1 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x_1=-1}

{y_1-7=-4 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ y_1=3}

 

4Para calcular el segundo punto de corte {Q(x_2,y_2)} consideramos

{\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AQ}&=&2\overrightarrow{AP} \\\\ (x_2-0,y_2-7)&=&2(-1,-4)\end{array}}

 

5De la igualdad anterior se obtiene dos ecuaciones, una por cada coordenada

{x_2-0=-2 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x_2=-2}

{y_2-7=-8 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ y_2=-1}

 

 

Si tienes dudas puedes consultar la teoría aquí y aquí

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗