La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 1

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 2

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 3

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 4

Si desarrollamos:

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 5

y realizamos estos cambios:

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 6

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 7

Donde el centro es:

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 8

y el radio cumple la relación:

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 9

Para que una expresión del tipo: Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 10 sea una circunferencia debe cumplir que:

1.

Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

2.

No tenga término en xy.

3.

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 11

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 12

Ejercicios

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 13

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 14

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 15

Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 16

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 17

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuación Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 18 por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 19

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 20

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 21

Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1.

Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 22

2.

No tiene término en xy.

3.

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 23

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 24

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 25

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 26

 

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 27

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 28

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 29

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 30

 

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 31

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 32

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 33

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 34

 

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 35

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 36

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 37

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 38

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 39, y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

 

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 40

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 41

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 42

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 43

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 44

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 45

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 46

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 47

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

 

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 48

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 49

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 50

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 51

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 52

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 53

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 54 que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

 

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 55

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 56

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 57

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 58

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 59

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

 

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 60

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 61

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 62

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 63

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 64

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio es Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 65 y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

 

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 66

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 67

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 68

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 69

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 70

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 71

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 72

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 73

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 74

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 75

Explicaciones y ejemplos de la circunferencia - 76