Definición de recta

 

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada \vec{v}.

 

ecuación de la recta

 

Ecuación vectorial de la recta

 

Si P(x_1, y_1) es un punto de la recta r, el vector \overrightarrow{PX} tiene igual dirección que \vec{v}, luego es igual a \vec{v} multiplicado por un escalar k \in \mathbb{R}

 

\overrightarrow{PX} = k \cdot \vec{v}

 

ecuacion vectorial de la recta

 

De la resta de los vectores \overrightarrow{OX}, \overrightarrow{OP} se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OP} & = & \overrightarrow{PX} \\\\  \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OP} & = & k \cdot \vec{v} \end{array}

 

Despejando \overrightarrow{OX} de la ecuación anterior se obtiene  la ecuación vectorial de la recta

 

\begin{array}{rcl}  \overrightarrow{OX}  & = & \overrightarrow{OP} + k \cdot \vec{v} \\\\  (x, y) & = &  (x_1, y_1) + k \cdot (v_1, v_2) \end{array}

 

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director \vec{v} = (2, 5). Escribir su ecuación vectorial.

 

Sustituimos el punto y el vector director en la fórmula de la ecuación vectorial de la recta

 

\begin{array}{rcl} (x, y) & = & (x_1, y_1) + k \cdot (v_1, v_2) \end{array}

 

y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} (x, y) & = & (-1, 3) + k \cdot (2, 5) \end{array}

 

 

Ecuación paramétrica de la recta

 

Realizando las operaciones indicadas en la ecuación vectorial se obtiene:

 

\begin{array}{rcl} (x, y) & = & (x_1, y_1) + k \cdot (v_1, v_2) \\\\  & = & (x_1 + k \cdot v_1, x_2 + k \cdot v_2) \end{array}

 

Igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta.

 

\left \{ \begin{array}{l} x = x_1 + k \cdot v_1 \\\\ y = y_1 + k \cdot v_2 \end{array} \right.

 

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director \vec{v} = (2, 5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.

 

Sustituimos el punto y el vector director en la fórmula de la ecuación vectorial de la recta

 

\begin{array}{rcl} (x, y) & = & (-1, 3) + k \cdot (2, 5) \\\\ & = & (-1 + 2k, 3 + 5k) \end{array}

 

y obtenemos las ecuaciones paramétricas

 

\left \{ \begin{array}{l} x = -1 + 2k \\\\ y = 3 + 5k \end{array} \right.

 

 

Ecuación continua de la recta

 

Si despejamos el parámetro k de las ecuaciones paramétricas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta.

 

\cfrac{x - x_1}{v_1} = \cfrac{y - y_1}{v_2}

 

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director \vec{v} = (2, 5). Escribir su ecuación continua.

 

Sustituimos el punto y el vector director en la fórmula de la ecuación continua de la recta

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{x + 1}{2} & = & \cfrac{y - 3}{5} \end{array}

 

 

Ecuación punto pendiente

 

Partimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y despejamos:

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{y - y_1}{v_2} & = & \cfrac{x - x_1}{v_1}  \\\\ y - y_1 & = & \cfrac{v_2}{v_1}(x - x_1)  \end{array}

 

haciendo m = \cfrac{v_2}{v_1} la pendiente

 

se obtiene:

 

y - y_1 = m(x -x_1)

 

Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

 

Calculamos la pendiente

 

m = \cfrac{2 + 3}{4 + 2} = \cfrac{5}{6}

 

Sustituimos en la fórmula de la ecuación punto pendiente y obtenemos

 

y + 3 = \cfrac{5}{6}(x + 2)

 

 

Ecuación general de la recta

 

Partimos de la ecuación continua la recta

 

\cfrac{x - x_1}{v_1} = \cfrac{y - y_1}{v_2}

 

Quitamos denominadores:

 

\begin{array}{rcl} (x - x_1) \cdot v_2 & = & (y - y_1) \cdot v_1  \\\\  v_2 x - v_2 x_1 & = & v_1 y - v_1 y_1 \end{array}

 

Trasponemos términos:

 

v_2 x- v_1 y + v_1 y_1 - v_2 x_1 = 0

 

Transformamos:

 

A = v_2, \ B = -v_1, \ C = v_1 y_1 - v_2 x_

 

Y obtenemos la ecuación general de la recta.

 

Ax + By + C = 0

 

Las componentes del vector director son:

 

\vec{v} = (-B, A)

 

La pendiente de la recta es:

 

m = -\cfrac{A}{B}

 

Ejemplo: Calcular la ecuación de la que pasa por A(1,5) y tiene como pendiente m = -2.

 

Aplicamos la fórmula punto pendiente

 

\begin{array}{rcl} y - 5 & = & -2(x - 1)  \\\\  y - 5 & = & -2x + 2 \end{array}

 

Trasponemos términos

 

2x + y -7 = 0

 

 

Ecuación explícita de la recta

 

Si despejamos y en la ecuación general de la recta, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

 

\begin{array}{rcl} y & = & -\cfrac{A}{B}\, x -\cfrac{C}{B} \\\\ y & = & mx + b \end{array}

 

El coeficiente de la x es la pendiente m.

 

El término independiente b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje de ordenadas.

 

Ejemplo: Calcular la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

 

Calculamos la recta a partir de la fórmula punto pendiente

\begin{array}{rcl} y -5 & = & -2(x - 1) \\\\ y -5 & = & -2x + 2 \end{array}

Despejamos y

y = -2x + 7

 

 

Ecuación canónica de la recta

 

Si los puntos A(x_1, y_1), \ B(x_2, y_2) determinan una recta, entonces el vector director viene dado por

 

\vec{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)

 

Sustituyendo estos valores en la ecuación continua, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

 

\cfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \cfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}

 

Trasponiendo términos obtenemos

 

\cfrac{x}{x_2 - x_1} + \cfrac{y}{y_1 - y_2} = \cfrac{y_1}{y_1 - y_2} + \cfrac{x_1}{x_2 - x_1}

 

Haciendo se obtiene

 

a = (x_2 - x_1)\left (\cfrac{y_1}{y_1 - y_2} + \cfrac{x_1}{x_2 - x_1} \right )

 

b = (y_1 - y_2) \left ( \cfrac{y_1}{y_1 - y_2} + \cfrac{x_1}{x_2 - x_1} \right )

 

la ecuación canónica de la recta

 

\cfrac{x}{a} + \cfrac{y}{b} = 1

 

ecuacion canonica de la recta

 

Ejemplo: Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(-2, 1) y tiene por vector director \vec{v} = (3, -4).

 

Escribimos la ecuación continua de la recta

 

\cfrac{x + 2}{3} = \cfrac{y - 1}{-4}

 

Escribimos la ecuación general de la recta

 

4x + 3y + 5 = 0

 

Dividimos ambos lados entre -5 y obtenemos

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{4x}{-5} + \cfrac{3y}{-5} & = &  1 \\\\  \cfrac{x}{-\cfrac{5}{4}} + \cfrac{y}{-\cfrac{5}{3}} & = & 1  \end{array}

 

 

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Ejercicios

 

 1  Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B = (-2, 5). Escribir su ecuación vectorial.

 1  El vector director tiene la misma dirección del vector:

 

\overrightarrow{AB} = (-3, 3)

 

 2  Sustituimos uno de los puntos y el vector director en la fórmula de la ecuación vectorial de la recta

 

\begin{array}{rcl} (x, y) & = & (x_1, y_1) + k \cdot (v_1, v_2) \end{array}

 

y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} (x, y) & = & (1, 2) + k \cdot (-3, 3) \end{array}

 

 

 

 2  Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B = (-2, 5). Escribir su ecuación vectorial.

 1  El vector director tiene la misma dirección del vector:

 

\overrightarrow{AB} = (-3, 3)

 

 2  Sustituimos uno de los puntos y el vector director en la fórmula de la ecuación paramétrica de la recta

 

\left \{ \begin{array}{l} x = 1 - 3k \\\\ y = 2 + 3k \end{array} \right.

 

 

 3  Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B = (-2, 5). Escribir su ecuación vectorial.

 1  El vector director tiene la misma dirección del vector:

 

\overrightarrow{AB} = (-3, 3)

 

 2  Sustituimos uno de los puntos y el vector director en la fórmula de la ecuación continua de la recta

 

\cfrac{x - 1}{-3} = \cfrac{y - 2}{3}

 

 

 4  Calcular la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45^o.

 1  La pendiente es igual a la tangente del ángulo de inclinación:

 

m = tg \, 45^o = 1

 

 2  Sustituimos en la fórmula de punto pendiente

 

y + 3 = x + 2

 

 

 5  Escribe la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).

 1  Calculamos el vector director:

 

\overrightarrow{AB} = (-3, 3) = (-B, A)

 

 2  Calculamos el valor de C

 

C = v_1 y_1 - v_2 x_1 = -3 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = -9

 

 3  Sustituimos en la fórmula de la ecuación general de la recta

 

3x + 3y - 9 = 0

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗