1 Dados los vectores \vec{u} = (1, 2, 3), \, \vec{v} = (2, 0, 1), \, \vec{w} = (-1, 3, 0) hallar:

a \vec{u} \cdot \vec{v}, \ \ \vec{v} \cdot \vec{w},

b \vec{u} \times \vec{v}, \ \ \vec{u} \times \vec{w},

c \left ( \vec{u} \times \vec{v} \right ) \cdot \vec{w},

d |\vec{u}|, \ \ |\vec{v}|,

e cos \left( \vec{u}, \vec{v} \right ),

1Calculamos los productos internos

 

\vec{u} \cdot \vec{v} = (1,2,3) \cdot (2,0,1) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 5

 

\vec{v} \cdot \vec{w} = (2,0,1) \cdot (-1,3,0) = 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = -2

 

2Calculamos los productos vectoriales empleando la definición y resolvemos el determinante de 3 \times 3 que se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \times \vec{v} & = & \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right| \\\\ & = & \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \vec{i} - \left| \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right| \vec{j} + \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right| \vec{k} \\\\ & = & 2\vec{i} + 5 \vec{j} - 4 \vec{k} \end{array}

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \times \vec{w} & = & \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \end{array} \right| \\\\ & = & \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 0 \end{array} \right| \vec{i} - \left| \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{array} \right| \vec{j} + \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right| \vec{k} \\\\ & = & -9\vec{i} - 3 \vec{j} + 5 \vec{k} \end{array}

 

3Calculamos el producto (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}, para ello consideramos el producto vectorial resuelto en 2

 

\vec{u} \times \vec{v} = 2\vec{j} + 5 \vec{j} - 4 \vec{k} = (2,5,-4)

 

Realizamos el producto interno con \vec{w}

 

(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = (2,5,-4) \cdot (-1,3,0) = 2 \cdot (-1) + 5 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 13

 

4Calculamos las magnitudes de los vectores \vec{u}, \vec{v}

 

|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}

 

|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5}

 

5Calculamos el coseno del ángulo formado por los vectores \vec{u}, \vec{v}

 

cos (\vec{u}, \vec{v}) = \cfrac{(1,2,3)\cdot (2,0,1)}{|(1,2,3)| \cdot |(2,0,1)|} = \cfrac{5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{5}} = 0.5976

 

 

2¿Para qué valores de a los vectores \vec{u} = (1,1,1), \ \vec{v} = (1,a,1), \ \vec{w} = (1,1,a) forman una base?

1Calculamos el determinante formado por los tres vectores

 

\begin{array}{rcl} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array} \right| & = & \left| \begin{array}{cc} a & 1 \\ 1 & a \end{array} \right| \cdot 1 - \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & a \end{array} \right| \cdot 1 + \left| \begin{array}{cc} 1 & a \\ 1 & 1 \end{array} \right| \cdot 1 \\\\ & = & a^2 - 1 - (a - 1) + 1 - a \\\\ & = & a^2 - 2a + 1 \end{array}

 

2Si el determinante se anula, entonces los vectores no forman una base. Calculamos los valores de a donde el tereminante es cero

 

\begin{array}{rcl} a^2 - 2a + 1 & = & 0 \\\\ (a - 1)^2 & = & 0 \\\\ a & = & 1 \end{array}

 

Los valores donde el determinante se anula es a = 1

 

3Así, los vectores forman una base cuando a \neq 1

 

 

3Determinar el valor del parámetro k para que los vectores \vec{x} = k \vec{u} - 2 \vec{v} + 3 \vec{w}, \vec{y} = -\vec{u} + k \vec{v} + \vec{w} sean:

a Ortogonales,

b Paralelos

1Para que los vectores sean ortogonales su producto escalar tiene que ser igual a cero

 

\begin{array}{rcl} \vec{x} \cdot \vec{y} & = & 0 \\\\ (k,-2,3) \cdot (-1,k,1) & = & 0 \\\\ -k - 2k + 3 & = & 0 \\\\ -3k + 3 = 0 \\\\ k & = & 1 \end{array}

 

Luego los vectores son ortogonales si k = 1

 

2Para qué dos vectores sean paralelos, sus componentes tienen que ser proporcionales

 

\cfrac{k}{-1} = \cfrac{-2}{k} = \cfrac{3}{1}

 

Se obtiene el sistema

 

\left\{ \begin{array}{l} k^2 = 2 \\ k = -3 \end{array} \right.

 

el cual no tiene solución, por tanto los vectores no son paralelos para cualquier valor de k

 

 

4Hallar los cosenos directores del vector \vec{u} = (2,2,1).

1Los cosenos directores corresponden a las coordenadas del vector unitario

 

\cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}

 

2Calculamos la magnitud de \vec{u}

 

|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3

 

el vector unitario es

 

\cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \left ( \cfrac{2}{3}, \cfrac{2}{3}, \cfrac{1}{3} \right )

 

3 Los cosenos directores son

 

cos \, \alpha = \cfrac{2}{3}, \ \ cos \, \beta = \cfrac{2}{3}, \ \ cos \, \gamma = \cfrac{1}{3}

 

 

5Hallar el ángulo que forman los vectores \vec{u} = (1,1,-1) y \vec{v} = (2,2,1)

1Calculamos el coseno del ángulo formado por los dos vectores

 

cos \, \alpha = \cfrac{(1,1,-1) \cdot (2,2,1)}{|(1,1,-1)| \cdot |(2,2,1)|} = \cfrac{3}{\sqrt{3} \sqrt{9}} = \cfrac{1}{\sqrt{3}}

 

2Calculamos el valor \alpha

 

\alpha = arc \, cos \left( \cfrac{1}{\sqrt{3}} \right ) = 54.74^o

 

 

6 Dados los vectores \vec{u} = (3, 1, -1), \, \vec{v} = (2, 3, 4) hallar:

a los módulos de \vec{u}, \ \vec{v},

b El producto vectorial de \vec{u} y \vec{v},

c Un vector ortogonal unitario a \vec{u} y \vec{v},

d El área del paralelogramos que tiene por lados \vec{u} y \vec{v},

1Calculamos las magnitudes de los vectores \vec{u}, \vec{v}

 

|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{11}

 

|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29}

 

2Calculamos el producto vectorial empleando la definición y resolvemos el determinante de 3 \times 3 que se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \times \vec{v} & = & \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} \right| \\\\ & = & \left| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 3 & 4 \end{array} \right| \vec{i} - \left| \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{array} \right| \vec{j} + \left| \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} \right| \vec{k} \\\\ & = & 7\vec{i} - 14 \vec{j} + 7 \vec{k} \end{array}

 

3Sabemos que \vec{u} \times \vec{v} es ortogonal a \vec{u} y \vec{v}. Un vector ortogonal unitario es

 

\cfrac{\vec{u} \times \vec{v}}{|\vec{u} \times \vec{v}|}

 

Calculamos el módulo de \vec{u} \times \vec{v}

 

|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{7^2 + (-14)^2 + 7^2} = \sqrt{294}

 

El vector unitario requerido es

 

\cfrac{\vec{u} \times \vec{v}}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \left ( \cfrac{7}{\sqrt{294}}, -\cfrac{14}{\sqrt{294}}, \cfrac{7}{\sqrt{294}} \right )

 

4El área del paralelogramo que tiene por lados \vec{u}, \vec{v}, viene dado por el módulo de \vec{u} \times \vec{v}, luego el área es de \sqrt{294} \ u^2

 

 

7 Calcular el producto mixto [\vec{u} \times \vec{v}, \vec{v} \times \vec{w}, \vec{w} \times \vec{u}] para \vec{u} = (1, 0, 1), \, \vec{v} = (0, 1, 1), \, \vec{w} = (1,1,0).

1Calculamos los productos vectoriales empleando la definición y resolvemos los determinantes de 3 \times 3 que se obtienen

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \times \vec{v} & = & \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right| \\\\ & = & \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right| \vec{i} - \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \vec{j} + \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \vec{k} \\\\ & = & -\vec{i} - \vec{j} + \vec{k} \end{array}

 

\begin{array}{rcl} \vec{v} \times \vec{w} & = & \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0& 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \\\\ & = & \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \vec{i} - \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \vec{j} + \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right| \vec{k} \\\\ & = & -\vec{i} + \vec{j} - \vec{k} \end{array}

 

\begin{array}{rcl} \vec{w} \times \vec{u} & = & \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right| \\\\ & = & \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \vec{i} - \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right| \vec{j} + \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \vec{k} \\\\ & = & \vec{i} - \vec{j} - \vec{k} \end{array}

 

2Realizamos el producto vectorial de los elementos de la derecha

 

\begin{array}{rcl} (\vec{v} \times \vec{w}) \times (\vec{w} \times \vec{u}) & = & \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right| \\\\ & = & \left| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{array} \right| \vec{i} - \left| \begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right| \vec{j} + \left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right| \vec{k} \\\\ & = & -2\vec{i} - 2 \vec{j} \end{array}

 

3Calculamos el producto interno del resultado anterior con \vec{u} \times \vec{v}

 

(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \times (\vec{w} \times \vec{u}) = (-1,-1,1) \cdot (-2,-2,0) = 4

 

Así, [\vec{u} \times \vec{v}, \vec{v} \times \vec{w}, \vec{w} \times \vec{u}] = 4

 

 

8 Dados los vectores \vec{u} = (2,1,3), \ \vec{v} = (1,2,3), \ \vec{w} = (-1,-1,0), hallar el producto mixto [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]. ¿Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados?

1Calculamos el determinante de 3 \times 3 cuyas filas están formadas por los vectores

 

\begin{array}{rcl} [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] & = & \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right| \\\\ & = & -\left| \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} \right| + 0 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right| \\\\ & = & 3 + 3 + 0 \\\\ & = & 6 \end{array}

 

2Como el volumen coincide con el producto mixto, el volumen es V = 6 \ u^3

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗