En el plano cartesiano, la parábola corresponde al lugar geométrico formado por los puntos  (x,y) que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta dada llamada directriz. Así, dado un foco  F y una directriz  L , los puntos  P(x,y) pertenecen a la parábola si satisfacen que:

 

 d(P,F)=d(P,L),\quad \textup{o bien}, \quad \overline{PF}=\overline{PL}.

 

La distancia de  F a  L se conoce como distancia focal  p ; ésta se obtiene trazando una perpendicular a  L que pase por  F , después se calcula la longitud del segmento comprendido entre la directriz y el foco. El punto que destaca de la parábola se llama vértice  V , pues su distancia tanto al foco como a la directriz es de  \dfrac{p}{2} . Geométricamente, corresponde al punto punto medio del segmento trazado para calcular la distancia focal.

 

Ecuación ordinaria reducida de la parábola de eje horizontal

 

Supongamos que la directriz es una recta vertical paralela al eje de las ordenadas, que se encuentra al lado izquierdo de ésta. Si el vértice tiene como coordenadas  V(0,0) , entonces, las coordenadas del foco deben ser  F \left(\dfrac{p}{2} ,0 \right) y la recta directriz L: x=-\dfrac{p}{2}.

 

parabola 1

 

Los puntos  P(x,y) pertenecen a la parábola si están a la misma distancia del foco que de la directriz, así:

     \begin{align*} &\overline{PF}=\sqrt{y^2 + \left ( x- \dfrac{p}{2} \right )^2}\\ &\overline{PL}=x+\dfrac{p}{2} \end{align*}

 \quad \Longrightarrow\quad \left ( x+\dfrac{p}{2} \right )^2=y^2 + \left ( x- \dfrac{p}{2} \right )^2

 

Simplificando la expresión, se obtiene la ecuación reducida de la parábola cuando ésta abre a la derecha:

 y^2=2px.

 

En caso de que la recta se encuentre del lado derecho del eje de las ordenadas y el vértice tenga como coordenadas  V(0,0) , las coordenadas del foco deben ser  F(-\dfrac{p}{2} ,0) y la recta directriz L: x=\dfrac{p}{2}.

 

parabola 2

 

Haciendo el mismo procedimiento descrito anteriormente, se obtiene la ecuación reducida de la parábola cuando ésta abre a la izquierda:

 y^2=-2px.

 

Ejemplos

 

1 Dada la parábola y^2=8x, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

 

 2p=8\quad \Longrightarrow \quad \frac{p}{2}=2;

 V(0,0); \qquad F(2,0); \qquad L: x=-2

 

parabola 3

 

2 Dada la parábola  y^2=-8x , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

 

 2p=-8 \quad \Longrightarrow\quad \frac{p}{2}=-2;

 V(0,0); \qquad F(-2,0); \qquad L: x=2

 

parabola 4

 

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Vamos

Ecuación ordinaria reducida de la parábola de eje vertical

 

Supongamos que la directiz es una recta horizontal paralela al eje de las abscisas, que se encuentra debajo de ésta. Si el vértice tiene como coordenadas  V(0,0) , entonces, las coordenadas del foco deben ser  F\left(0, \dfrac{p}{2} \right) y la recta directriz  L: y=-\dfrac{p}{2}.

 

parabola 5

 

Los puntos  P(x,y) pertenecen a la parábola si están a la misma distancia del foco que de la directriz, así:

 

     \begin{align*} &\overline{PF}=\sqrt{x^2 + \left ( y- \dfrac{p}{2} \right )^2}\\ &\overline{PL}=y+\dfrac{p}{2} \end{align*}

 \quad \Longrightarrow\quad \left ( y+\dfrac{p}{2} \right )^2=x^2 + \left ( y- \dfrac{p}{2} \right )^2

 

Simplificando la expresión, se obtiene la ecuación reducida de la parábola cuando ésta abre a la derecha:

 x^2=2py

 

En caso de que la recta se encuentre arriba del eje de las abscisas y el vértice tenga como coordenadas  V(0,0) , las coordenadas del foco deben ser  F(0, -\dfrac{p}{2}) y la recta directriz  L: y=\dfrac{p}{2}.

 

parabola 6

 

Haciendo el mismo procedimiento descrito anteriormente, se obtiene la ecuación reducida de la parábola cuando ésta abre a la izquierda:

 x^2=-2py.

 

Ejemplos

 

1 Dada la parábola x^2=8y, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

 

 2p=8\quad \Longrightarrow \quad \frac{p}{2}=2;

 V(0,0); \qquad F(0,2); \qquad L: y=-2

 

parabola 7

 

2 Dada la parábola x^2=-8y, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

 

 2p=8\quad \Longrightarrow \quad \frac{p}{2}=2;

 V(0,0); \qquad F(0,-2); \qquad L: y=2

 

parabola 8

 

Ecuaciones ordinarias de la parábola

 

En caso de que el vértice tenga coordenadas  V(a,b) distintas de cero, las ecuaciones que se obtienen son muy parecidas a las explicadas anteriormente salvo una traslación.

 

Si la recta directriz es paralela al eje de las ordenadas:.

 

parabola 9

 

 V(a,b); \qquad F\left(a+\dfrac{p}{2},b \right); \qquad L: x=a-\dfrac{p}{2}

 

 \left (x-a+\dfrac{p}{2} \right )^2=\left (x-a-\dfrac{p}{2} \right )^2+(y-b)^2

 

Simplificando la expresión, se obtiene la ecuación ordinaria de la parábola cuando abre a la derecha:

 (y-b)^2=2p(x-a)

Si el valor de p es negativo, indica que abre a la izquierda.

 

En el caso de que la recta directriz sea paralela al eje de las abscisas.

 

parabola 10

 

 V(a,b); \qquad F\left(a,b+\dfrac{p}{2}\right); \qquad L: y=b-\frac{p}{2}

 

 \left (y-b+\dfrac{p}{2} \right )^2=\left (x-a \right )^2+\left (y-b -\dfrac{p}{2} \right )^2

 

Simplificando la expresión, se obtiene la ecuación ordinaria de la parábola cuando ésta abre hacia arriba:

 

 (x-a)^2=2p(y-b)

Si el valor de p es negativo, indica que abre hacia abajo.

 

Ejemplos

 

1Dada la parábola  (y-2)^2=8(x-3) , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

 

 2p=8\quad \Longrightarrow \quad \dfrac{p}{2}=2;

 V(3,2); \qquad F(5,2); \qquad L: x=1

 

parabola 11

 

2Dada la parábola  (x-3)^2=8(y-2) , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

 

 2p=8\quad \Longrightarrow \quad \dfrac{p}{2}=2;

 V(3,2); \qquad F(3,4); \qquad L: y=0

 

parabola 12

 

Ejercicios resueltos sobre parábolas

 

Con los datos dados, determina las ecuaciones de las parábolas

 

1De directriz  x = -3 , de foco  (3, 0) .

parabola 13

 V=(0,0);\quad \dfrac{p}{2}=3\Longrightarrow 2p=12

 y^2=12x

2De directriz  y = 4 , de vértice  (0, 0) .

parabola 14

 F=(0,-4);\quad \dfrac{p}{2}=-4\Longrightarrow 2p=-16

 x^2=-16y

3De directriz y = -5, de foco (0, 5).

parabola 15

 V=(0,0);\quad \dfrac{p}{2}=5\Longrightarrow 2p=20

 x^2=20y

4De directriz x = 2, de foco (-2, 0).

parabola 16

 V=(0,0);\quad \dfrac{p}{2}=-2\Longrightarrow 2p=-8

 y^2=-8x

5De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

parabola 17

 \dfrac{p}{2}=2\Longrightarrow 2p=8

 y^2=8x

6De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

parabola 18

 \dfrac{p}{2}=-2\Longrightarrow 2p=-8

 (y-2)^2=-8(x-5)

7De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

parabola 19

 \dfrac{p}{2}=3\Longrightarrow 2p=12

 (x+2)^2=12(y-2)

8De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

parabola 20

 \dfrac{p}{2}=2\Longrightarrow 2p=8

 (y-4)^2=8(x-1)

Con las ecuaciones de las parábolas dadas, calcula las coordenadas del vértice y del foco, así como las ecuaciones de las directrices

 

1y^2-6y-8x+17=0

parabola 21

 

     \begin{align*} 0&=(y^2+2(-3)y+(-3)^2)-(-3)^2-8x+17\\ &=(y-3)^2-8x+8\\ &=(y-3)^2-8(x-1)) \end{align*}

 \Longrightarrow 2(4)(x-1)=(y-3)^2

 V=(1,3) ; \qquad p=4\ \Longrightarrow \dfrac{p}{2}=2

 F(1+2,3)=(3,3); \qquad L:y=1-2=-1

2 x^2-2x-6y-5=0

parabola 22

 

     \begin{align*} 0&=(x^2+2(-1)x+(-1)^2)-(-1)^2-6y-5\\ &=(x-1)^2-6y-6\\ &=(x-1)^2-6(y+1)) \end{align*}

 \Longrightarrow 2(3)(y+1)=(x-1)^2

 V=(1,-1); \qquad p=3\ \Longrightarrow\ \dfrac{p}{2}=1.5

 F=\left(1,-1+1.5 \right)=(1,0.5); \qquad L:y=-1-1.5=-2.5

3 y=x^2-6x+11

parabola

 

     \begin{align*} 0&=(x^2+2(-3)x+(-3)^2)-(-3)^2-y+11\\ &=(x-3)^2-y+2\\ &=(x-3)^2-2\left ( \dfrac{1}{2} \right )\left (y-2 \right ) \end{align*}

 \Longrightarrow (x-3)^2=2\left ( \dfrac{1}{2} \right )\left (y-2 \right )

 V=(3,2); \qquad p=0.5\ \Longrightarrow\ \dfrac{p}{2}=0.25

 F=\left(3,2+0.25 \right)=(3,2.25); \qquad L:y=2-0.25=1.75

 

Resuelve los problemas

 

1 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta y= 0 y por foco el punto (2, 4).

La ecuación ordinaria que se utilizará es  (x-a)^2=2p(y-b), \ p > 0.

 p=4\ \Longrightarrow \ 2p=8

 V=\left(2,4-\dfrac{p}{2} \right) =(2,2)

 

 (x-2)^2=8(y-2)

2 Escribe la ecuación de la parábola de eje vertical cuyo vértice se encuentra en el eje de las abscisas, la cual pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 12).

La ecuación ordinaria que se utilizará es  (x-a)^2=2p(y-b), \ p > 0. Además, su vértice es de la forma  V=(a,0) .

Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, sustituyendo los puntos conocidos de la parábola y el valor del vértice.

 

 \left\{\begin{matrix}\dfrac{(2-a)^2}{6}=p\\ \ \dfrac{(1+a)^2}{24} =p \end{matrix}\right.

 

     \begin{align*} a_1&=1,\ p_1=\dfrac{1}{6};\qquad \ (x-1)^2=\frac{1}{3}y\\ a_2&=5,\ p_{2}=\dfrac{3}{2}; \qquad\ (x-5)^2=3y \end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗