Distancia entre rectas paralelas

 

La distancia de una recta r a otra paralela s, es la distancia desde un punto cualquiera de r a s.

 

distancia entre dos rectas paralelas

 

La fórmula que nos permite encontrar la distancia entre dos rectas es

 

d(r, s) = d(A, s) = \cfrac{\left|\vec{u} \times \overrightarrow{AB}\right|}{|\vec{u}|}

 

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Distancia entre rectas que se cruzan

 

La distancia entre dos sectas que se cruzan se mide sobre la perpendicular común. Sean (A, \vec{u}) y (B, \vec{v}) las determinaciones lineales de las rectas r y s.

 

distancia entre rectas que se cruzan

 

Los vectores \overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v} determinan un paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas.

 

El volumen de un paralelepípedo es igual al área de su base por la altura.

 

V = A_b \cdot h .

 

Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos puntos es igual a:

 

d(r, s) = h = \cfrac{V}{A_b} = \cfrac{|\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}

 

Ejercicio

 

1Hallar la mínima distancia entre las rectas:

 

r \equiv \cfrac{x + 8}{2} = \cfrac{y - 10}{3} = \cfrac{z - 6}{1}, \ \ \ \ s \equiv \cfrac{x - 1}{-1} = \cfrac{y - 1}{2} = \cfrac{z - 1}{4}

1Encontramos la determinación lineal de la recta r

 

A(-8, 10, 6), \ \ \ \ \vec{u} = (2, 3, 1)

 

2Encontramos la determinación lineal de la recta s

 

B(1, 1, 1), \ \ \ \ \vec{v} = (-1, 2, 4)

 

3Calculamos el vector \overrightarrow{AB}

 

\overrightarrow{AB} = (1 + 8, 1 - 10, 1 - 6) = (9, -9, -5)

 

4Calculamos el volumen del paralelepípedo

 

\begin{array}{rcl}V & = &|\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}| \\\\ & = & \left | \begin{array}{ccc} 9 & -9 & -5 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \end{array} \right | \\\\ & = & 9 \left | \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right | +  9 \left | \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{array} \right | - 5 \left | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array} \right | \\\\  & = & 9 \cdot 10 + 9 \cdot 9 - 5 \cdot 7   \\\\  & = & 136 \end{array}

 

5Calculamos el área de la base del paralelepípedo, para esto requerimos el producto vectorial de los vectores directores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \times \vec{v} & = & \left | \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \end{array} \right | \\\\ & = & \left | \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right | \vec{i} - \left | \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{array} \right | \vec{j} + \left | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array} \right | \vec{k} \\\\ & = & 10 \vec{i} - 9 \vec{j} + 7 \vec{k} \end{array}

 

Luego el área de la base es

 

A_b = |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{10^2 + (-9)^2 + 7^2} = \sqrt{230}

 

6Así, la distancia viene dada por la altura el paralelepipedo los vértices son: A(7, 4), B(5, 0), C(-1, 2)

 

d(r, s) = \cfrac{V}{A_b} = \cfrac{136}{\sqrt{230}} = \cfrac{68 \sqrt{230}}{115}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗