Ecuación vectorial del plano
Para determinar un plano del espacio se necesita conocer un punto P y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.
Para que el punto P pertenezca al plano π el vector 
tiene que ser coplanario con 
y 
, es decir, que dependa linealmente de 
y 
.
Ecuaciones paramétricas del plano
Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:
Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollando el determinante obtenemos:
Damos los valores:
Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:
Obtenemos la ecuación general de plano:
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:
Ejercicios
1.
Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a 
y 
.
.
.
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Invité
como se pasa de una ecuación canónica a una ecuación general?
Administrateur
Hola Navarez, explicamos todo el procedimiento en nuestro artículo sobre la ecuación canónica. Te aconsejamos usar el buscador arriba a la derecha para encontrarlo. ¡Un saludo!
Invité
me podrían ayudar con este ejercicio?
Encuentre la ecuación del plano que contenga la recta x=2+2t , y=4t , z= -6 y el punto P( 5 , 3 , 0)
por favor ¡¡
Editor
Hola Bernabe, cuando t=0, el punto que te da sobre la recta es Q = (2,0,-6) Un vector director de este plano será el vector director de la recta (se obtiene con los coeficientes de t) v = (2,4,0) El otro vector está dado por PQ = (2-5,0-3,-6-0) = (-3, -3, -6) Como pasa por el punto P = (5,3,0), la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante | x-5 2 -3 | | y-3 4 -3 | = 0 | z 0 -6 | La ecuación del plano es -24x+12y+6z+84 = 0 y al dividir entre… Lire la suite »