Temas
Ecuación vectorial del plano
Para determinar un plano del espacio, se necesita conocer un punto y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.
Para que el punto pertenezca al plano
el vector
tiene que ser coplanario con los vectores
y
, es decir, que dependa linealmente de
y
.
En coordenadas se expresa
Ecuaciones paramétricas del plano
Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:
Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones paramétricas de la recta.
Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano si tiene solución el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas y
· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollando el determinante obtenemos:
Damos los valores:
Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a el valor:
Obtenemos la ecuación general de plano:
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean los puntos y
, la ecuación canónica viene dada por:
donde
Ejercicios
1 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto y tiene como vectores directores a
y
1 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
2 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos y
y contiene al vector
1 Se tiene un vector director; el otro vector director viene dado por
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos y
1 Calculamos los vectores directores
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
4 Comprobar si los puntos y
pertenecen al plano
de ecuaciones paramétricas
1 De la ecuación paramétrica se obtiene un punto del plano y los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 Sustituimos los puntos dados en la ecuación implícita del plano
, entonces
, entonces
5 Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos y
.
1 Calculamos los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 La ecuación segmentaria es
6 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto y contiene a la recta de ecuación
1 De la ecuación de la recta se obtiene un punto del plano y un vector director
2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
7 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos y es paralelo a la recta de ecuación
1 De la ecuación de la recta se obtiene un vector director
2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
8 Dadas las rectas
Determinar la ecuación del plano que contiene a y es paralelo a
1 De las ecuaciones de las rectas se obtienen un punto del plano y los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
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me podrian ayudar con este ejercicio Hallar la ecuación paramétrica vectorial del plano que contiene a los vectores a = (-1, 2,3)
b= (4—3,5) y pasa por el punto P (1, 0,2).
buenas tardes, como puedo obtener la ecuación general del plano con 2 vectores únicamente, sin un punto, si me pudieran ayudar me ayudarían muchísimo
EXELENTE
no he podido solucionar este punto ¿Cuál es la ecuación normal del plano que contiene los puntos 𝑻(𝟎,𝟏,𝟑),𝑷(𝟎,𝟕,−𝟏)𝑦 𝑸(−𝟒,𝟏,𝟑)?. Desarrolle el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente
¡cuantas ecuaciones vectoriales del plano diferentes se pueden escribir a partir de 3 puntos?
¿Que caracteristicas en comun tiene todos los puntos de un plano paralelo al plano XZ?
me pueden ayudar:(
Di si estos sistemas de ecuaciones lineales tienen soluciones, y cuantas son, sin resolverlos.
x+2y+3z = 1 b. x+2y+3z = 1 c. x+2y+3z = 1
4x+5y+6z = 2 4x+5y+6z = 2 4x+5y+6z = 2
7x+8y+9z = 3 x – y -3z = -1 x – y -3z =-2
me pueden ayudar con este otro ejercicio
Muestra que los puntos de la forma (5t+4s,2t+3s,t-2s) con t,s ∈ R. forman un plano y di cual es su ecuacion.
Da una ecuacion del plano que contiene a los puntos (1,2,-3), (4,-5,6) y (0,3,2).
Me podria ayudar con este ejercicio
Hallar ka ecuacion general del plano por los puntos A(2,-1,0) B(3,2,-1) ^ C(4,2,1)