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Ecuación vectorial del plano
Para determinar un plano del espacio, se necesita conocer un punto 
y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.
Para que el punto 
pertenezca al plano 
el vector 
tiene que ser coplanario con los vectores 
y 
, es decir, que dependa linealmente de 
y 
.
En coordenadas se expresa
Ecuaciones paramétricas del plano
Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:
Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones paramétricas de la recta.
Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano si tiene solución el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas
y 
· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollando el determinante obtenemos:
Damos los valores:
Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a 
el valor:
Obtenemos la ecuación general de plano:
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean los puntos 
y 
, la ecuación canónica viene dada por:
donde
Ejercicios
1 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto 
y tiene como vectores directores a 
y 
1 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
2 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos 
y 
y contiene al vector 
1 Se tiene un vector director; el otro vector director viene dado por
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos 
y 
1 Calculamos los vectores directores
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
4 Comprobar si los puntos 
y 
pertenecen al plano de ecuaciones paramétricas
1 De la ecuación paramétrica se obtiene un punto del plano y los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 Sustituimos los puntos dados en la ecuación implícita del plano
, entonces 
, entonces 
5 Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos 
y 
.
1 Calculamos los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 La ecuación segmentaria es
6 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 
y contiene a la recta de ecuación
1 De la ecuación de la recta se obtiene un punto del plano y un vector director
2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
7 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos 
y es paralelo a la recta de ecuación
1 De la ecuación de la recta se obtiene un vector director
2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
8 Dadas las rectas
Determinar la ecuación del plano que contiene a 
y es paralelo a 
1 De las ecuaciones de las rectas se obtienen un punto del plano y los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Me puede ayudar con este problema
la pendiente de una recta que pasa por el punto A(3, 2) es igual a 3/4. situar dos puntos sobre esta recta que disten 5 unidades de A.
con su gráfica mas
Alguien me puede ayudar por favor necesito dar un examen para repasar y no me salen las respuestas
Hola con gusto te ayudamos, podrías mencionar específicamente con cual ejercicio podemos darte una mejor explicación.
Determinar las ecuaciones parametricas del plano x-2y+z-1=0
Hola, me sirvio mucho, con que informacion podria ponerlos como refernecia en mi proyecto?
Hola que bueno que la pagina te ayudo, podrías poner como pagina de internet «Materíal didactico-Superprof».
– Hallar la ecuación de la recta en su forma simétrica que tiene pendiente igual a 3/2 y que intersecta al eje «y» en (0.2)