Ecuación vectorial del plano

 

Para determinar un plano del espacio, se necesita conocer un punto P y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.

 

ecuacion vectorial del plano

 

Para que el punto P(x_0, y_0, z_0) pertenezca al plano \pi el vector \overrightarrow{PX} tiene que ser coplanario con los vectores \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) y \vec{v} = (v_1, v_2, v_3), es decir, que dependa linealmente de \vec{u} y \vec{v}.

 

\overrightarrow{PX} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}

 

En coordenadas se expresa

 

\begin{array}{rcl} (x - x_0, y - y_0, z - z_0) & = & \lambda (u_1, u_2, u_3) + \mu (v_1, v_2, v_3) \\\\ (x, y, z) & = & (x_0, y_0, z_0) + \lambda (u_1, u_2, u_3) + \mu (v_1, v_2, v_3) \end{array}

 

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Ecuaciones paramétricas del plano

 

Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

 

 (x, y, z)  =  (x_0 + u_1 \lambda + v_1 \mu, y_0 + u_2 \lambda + v_2 \mu, z_0 + u_3 \lambda + v_3 \mu)

 

Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:

 

\left \{ \begin{array}{l} x = x_0 + u_1 \lambda + v_1 \mu \\ y = y_0 + u_2 \lambda + v_2 \mu \\ z = z_0 + u_3 \lambda + v_3 \mu \end{array} \right.

 

Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones paramétricas de la recta.

 

Ecuación general o implícita del plano

 

Un punto está en el plano \pi si tiene solución el sistema:

 

\left \{ \begin{array}{l} x - x_0 = u_1 \lambda + v_1 \mu \\ y - y_0 = u_2 \lambda + v_2 \mu \\ z - z_0 = u_3 \lambda + v_3 \mu \end{array} \right.

 

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas\lambda y \mu· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

 

\left | \begin{array}{ccc} x - x_0 & u_1  &  v_1  \\ y - y_0 & u_2 & v_2  \\ z - z_0 & u_3 & v_3 \end{array} \right | = 0

 

Desarrollando el determinante obtenemos:

 

\left | \begin{array}{cc} u_2  &  v_2  \\ u_3 & v_3 \end{array} \right | ( x - x_0 ) - \left | \begin{array}{cc} u_1  &  v_1  \\ u_3 & v_3 \end{array} \right | ( y - y_0 ) + \left | \begin{array}{cc} u_1  &  v_1  \\ u_2 & v_2 \end{array} \right | ( z - z_0 ) = 0

 

Damos los valores:

 

A = \left | \begin{array}{cc} u_2  &  v_2  \\ u_3 & v_3 \end{array} \right |, \ \  B = - \left | \begin{array}{cc} u_1  &  v_1  \\ u_3 & v_3 \end{array} \right |, \ \  C = \left | \begin{array}{cc} u_1  &  v_1  \\ u_2 & v_2 \end{array} \right |

 

Sustituimos:

 

A( x - x_0 ) + B ( y - y_0 ) + C ( z - z_0 ) = 0

 

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

 

D = -A x_0 - B y_0 - C z_0

 

Obtenemos la ecuación general de plano:

 

Ax + By + Cz + D = 0

 

Ecuación canónica o segmentaria del plano

 

ecuacion canonica del plano

 

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

 

\cfrac{x}{a} + \cfrac{y}{b} + \cfrac{z}{c} = 1

 

donde

 

a = -\cfrac{D}{A}, \ \  b = -\cfrac{D}{B}, \ \ c = -\cfrac{D}{C}

 

 

Ejercicios

 

1 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a \vec{u} = (1, -1, 1)  y \vec{v} = (2, 3, -1)

1 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x = 1 + \lambda + 2 \mu \\ y = 1 - \lambda + 3 \mu \\ z = 1 + \lambda - \mu \end{array} \right.

 

2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 1 & 2 \\ y - 1 & -1 & 3 \\ z - 1 & 1 & -1 \end{array} \right | = 0

 

Desarrollando el determinante obtenemos:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( z - 1 ) & = & 0 \\\\ -2(x - 1) + 3(y - 1) + 5(z - 1) & = & 0 \\\\ -2x + 3y + 5z - 6 & = & 0 \end{array}

 

 

2 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(-1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector \vec{u} = (0, 0, 1)

1 Se tiene un vector director; el otro vector director viene dado por

 

\overrightarrow{AB} = (3 + 1, 1 - 2, 4 - 3) = (4, -1, 1)

 

2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x = -1 + 4 \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + \lambda + \mu \end{array} \right.

 

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

 

\left | \begin{array}{ccc} x + 1 & 4 & 0 \\ y - 2 & -1 & 0 \\ z - 3 & 1 & 1 \end{array} \right | = 0

 

Desarrollando el determinante obtenemos:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( x + 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( y - 2 ) + \left | \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -1 & 0 \end{array} \right | ( z - 3 ) & = & 0 \\\\ -(x + 1) - 4(y - 2) + 0(z - 3) & = & 0 \\\\ -x - 4y + 7 & = & 0 \end{array}

 

 

3 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(-1, 1, -1), B(0, 1, 1) y C(4, -3, 2)

1 Calculamos los vectores directores

 

\begin{array}{l} \overrightarrow{AB} = (0 + 1, 1 - 1, 1 + 1) = (1, 0, 2) \\\\ \overrightarrow{AC} = (4 + 1, -3 - 1, 2 + 1) = (5, -4, 3) \end{array}

 

2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x = -1 + \lambda + 5 \mu \\ y = 1 - 4 \mu \\ z = -1 + 2 \lambda + 3 \mu \end{array} \right.

 

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

 

\left | \begin{array}{ccc} x + 1 & 1 & 5 \\ y - 1 & 0 & -4 \\ z + 1 & 2 & 3 \end{array} \right | = 0

 

Desarrollando el determinante obtenemos:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 0 & -4 \\ 2 & 3 \end{array} \right | ( x + 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 0 & -4 \end{array} \right | ( z + 1 ) & = & 0 \\\\ 8(x + 1) + 7(y - 1) - 4(z + 1) & = & 0 \\\\ 8x  + 7y - 4z - 3 & = & 0 \end{array}

 

 

4 Comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, -1) pertenecen al plano \pi  de ecuaciones paramétricas

\left \{ \begin{array}{l} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = 2 - \lambda + 2 \mu \\ z = 4 \lambda - 3 \mu \end{array} \right.

1 De la ecuación paramétrica se obtiene un punto del plano y los vectores directores

 

P(1, 2, 0), \ \ \vec{u} = (1, -1, 4), \ \ \vec{v} = (1, 2, -3)

 

2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 1 & 1 \\ y - 2 & -1 & 2 \\ z  & 4 & -3 \end{array} \right | = 0

 

Desarrollando el determinante obtenemos:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 4 & -3 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 4 & -3 \end{array} \right | ( y - 2 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right |  z & = & 0 \\\\ -5(x - 1) + 7(y - 2) + 3z & = & 0 \\\\ -5x + 7y + 3z - 9 & = & 0 \end{array}

 

3 Sustituimos los puntos dados en la ecuación implícita del plano

 

-5 \cdot 2 + 7 \cdot 1 + 3 \cdot \cfrac{9}{2} - 9 \neq 0, entonces A \notin \pi

 

-5 \cdot 0 + 7 \cdot 9 + 3 \cdot (-1) - 9 \neq 0, entonces B \notin \pi

 

 

 

5 Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).

1 Calculamos los vectores directores

 

\begin{array}{l} \overrightarrow{AB} = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1) \\\\ \overrightarrow{AC} = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (-1, 0, 1) \end{array}

 

2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 0 & -1 \\ y - 1 & -1 & 0 \\ z & 1 & 1 \end{array} \right | = 0

 

Desarrollando el determinante obtenemos:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right | ( z ) & = & 0 \\\\ -(x - 1) - (y - 1) - (z) & = & 0 \\\\ -x - y - z + 2 & = & 0 \end{array}

 

3 La ecuación segmentaria es

 

\cfrac{x}{2} + \cfrac{y}{2} + \cfrac{z}{2} = 1

 

 

6 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y contiene a la recta de ecuación

\cfrac{x - 1}{2} = \cfrac{y + 3}{1} = \cfrac{z}{-1}

1 De la ecuación de la recta se obtiene un punto del plano y un vector director

 

B(1, -3, 0), \ \ \vec{u} = (2, 1, -1)

 

2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director

 

\overrightarrow{AB} = (1 - 2, -3 - 0, 0 - 1) = (-1, -3, -1)

 

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 2 & 2 & -1 \\ y & 1 & -3 \\ z - 1 & -1 & -1 \end{array} \right | = 0

 

Desarrollando el determinante obtenemos:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -1 & -1 \end{array} \right | ( x - 2 ) - \left | \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{array} \right | ( y ) + \left | \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & -3 \end{array} \right | (z - 1) & = & 0 \\\\ 4(x - 2) - 3y + 5(z - 1) & = & 0 \\\\ 4x - 3y + 5z - 13 & = & 0 \end{array}

 

 

7 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, -2, 4), B = (0, 3, 2) y es paralelo a la recta de ecuación

\cfrac{x - 1}{4} = \cfrac{y - 2}{1} = \cfrac{z + 1}{2}

1 De la ecuación de la recta se obtiene un vector director

 

\vec{u} = (4, 1, 2)

 

2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director

 

\overrightarrow{AB} = (-1, 5, -2)

 

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & -1 & 4 \\ y + 2 & 5 & 1 \\ z - 4 & -2 & 2 \end{array} \right | = 0

 

Desarrollando el determinante obtenemos:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 5 & 1 \\ -2 & 2 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} -1 & 4 \\ -2 & 2 \end{array} \right | ( y + 2 ) + \left | \begin{array}{cc} -1 & 4 \\ 5 & 1 \end{array} \right | (z - 4) & = & 0 \\\\ 4(x - 1) - 2(y + 2) - 7(z - 4) & = & 0 \\\\ 4x - 2y - 7z + 20 & = & 0 \end{array}

 

 

8 Dadas las rectas

r \equiv \cfrac{x + 2}{3} = \cfrac{y - 1}{2} = \cfrac{z + 1}{-1}, \ \ s \equiv \cfrac{x - 1}{-2} = \cfrac{y - 3}{-2} = \cfrac{z}{3}

Determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s

1 De las ecuaciones de las rectas se obtienen un punto del plano y los vectores directores

 

A(-2, 1, -1), \ \ \vec{u} = (3, 2, -1), \ \ \vec{v} = (-2, -2, 3)

 

2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

 

\left | \begin{array}{ccc} x + 2 & 3 & -2 \\ y - 1 & 2 & -2 \\ z + 1 & -1 & 3 \end{array} \right | = 0

 

Desarrollando el determinante obtenemos:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( x + 2 ) - \left | \begin{array}{cc} 3 & -2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 2 & -2 \end{array} \right | (z + 1) & = & 0 \\\\ 4(x + 2) - 7(y - 1) - 2(z + 1) & = & 0 \\\\ 4x - 7y - 2z + 13 & = & 0 \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗