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Ecuación vectorial del plano
Ecuaciones paramétricas del plano
Ecuación general o implícita del plano
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Ejercicios

Ecuación vectorial del plano

Para determinar un plano del espacio, se necesita conocer un punto $P$ y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.

Para que el punto $P(x_0, y_0, z_0)$ pertenezca al plano $\pi$ el vector $\overrightarrow{PX}$ tiene que ser coplanario con los vectores $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ , es decir, que dependa linealmente de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ .

$\overrightarrow{PX} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$

En coordenadas se expresa

$\begin{array}{rcl} (x - x_0, y - y_0, z - z_0) & = & \lambda (u_1, u_2, u_3) + \mu (v_1, v_2, v_3) \\\\ (x, y, z) & = & (x_0, y_0, z_0) + \lambda (u_1, u_2, u_3) + \mu (v_1, v_2, v_3) \end{array}$

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Ecuaciones paramétricas del plano

Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

$(x, y, z) = (x_0 + u_1 \lambda + v_1 \mu, y_0 + u_2 \lambda + v_2 \mu, z_0 + u_3 \lambda + v_3 \mu)$

Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:

$\left \{ \begin{array}{l} x = x_0 + u_1 \lambda + v_1 \mu \\ y = y_0 + u_2 \lambda + v_2 \mu \\ z = z_0 + u_3 \lambda + v_3 \mu \end{array} \right.$

Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones paramétricas de la recta.

Ecuación general o implícita del plano

Un punto está en el plano $\pi$ si tiene solución el sistema:

$\left \{ \begin{array}{l} x - x_0 = u_1 \lambda + v_1 \mu \\ y - y_0 = u_2 \lambda + v_2 \mu \\ z - z_0 = u_3 \lambda + v_3 \mu \end{array} \right.$

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas $\lambda$ y $\mu$ · Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

$\left | \begin{array}{ccc} x - x_0 & u_1 & v_1 \\ y - y_0 & u_2 & v_2 \\ z - z_0 & u_3 & v_3 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\left | \begin{array}{cc} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{array} \right | ( x - x_0 ) - \left | \begin{array}{cc} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{array} \right | ( y - y_0 ) + \left | \begin{array}{cc} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{array} \right | ( z - z_0 ) = 0$

Damos los valores:

$A = \left | \begin{array}{cc} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{array} \right |, \ \ B = - \left | \begin{array}{cc} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{array} \right |, \ \ C = \left | \begin{array}{cc} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{array} \right |$

Sustituimos:

$A( x - x_0 ) + B ( y - y_0 ) + C ( z - z_0 ) = 0$

Realizamos las operaciones y le damos a $D$ el valor:

$D = -A x_0 - B y_0 - C z_0$

Obtenemos la ecuación general de plano:

$Ax + By + Cz + D = 0$

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos $A(a, 0, 0), B(0, b, 0)$ y $C(0, 0, c)$ , la ecuación canónica viene dada por:

$\cfrac{x}{a} + \cfrac{y}{b} + \cfrac{z}{c} = 1$

donde

$a = -\cfrac{D}{A}, \ \ b = -\cfrac{D}{B}, \ \ c = -\cfrac{D}{C}$

Ejercicios

1 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto $A(1, 1, 1)$ y tiene como vectores directores a $\vec{u} = (1, -1, 1)$ y $\vec{v} = (2, 3, -1)$

1 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene

$\left \{ \begin{array}{l} x = 1 + \lambda + 2 \mu \\ y = 1 - \lambda + 3 \mu \\ z = 1 + \lambda - \mu \end{array} \right.$

2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 1 & 2 \\ y - 1 & -1 & 3 \\ z - 1 & 1 & -1 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( z - 1 ) & = & 0 \\\\ -2(x - 1) + 3(y - 1) + 5(z - 1) & = & 0 \\\\ -2x + 3y + 5z - 6 & = & 0 \end{array}$

2 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos $A(-1, 2, 3)$ y $B(3, 1, 4)$ y contiene al vector $\vec{u} = (0, 0, 1)$

1 Se tiene un vector director; el otro vector director viene dado por

$\overrightarrow{AB} = (3 + 1, 1 - 2, 4 - 3) = (4, -1, 1)$

2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene

$\left \{ \begin{array}{l} x = -1 + 4 \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + \lambda + \mu \end{array} \right.$

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x + 1 & 4 & 0 \\ y - 2 & -1 & 0 \\ z - 3 & 1 & 1 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( x + 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( y - 2 ) + \left | \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -1 & 0 \end{array} \right | ( z - 3 ) & = & 0 \\\\ -(x + 1) - 4(y - 2) + 0(z - 3) & = & 0 \\\\ -x - 4y + 7 & = & 0 \end{array}$

3 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos $A(-1, 1, -1), B(0, 1, 1)$ y $C(4, -3, 2)$

1 Calculamos los vectores directores

$\begin{array}{l} \overrightarrow{AB} = (0 + 1, 1 - 1, 1 + 1) = (1, 0, 2) \\\\ \overrightarrow{AC} = (4 + 1, -3 - 1, 2 + 1) = (5, -4, 3) \end{array}$

2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene

$\left \{ \begin{array}{l} x = -1 + \lambda + 5 \mu \\ y = 1 - 4 \mu \\ z = -1 + 2 \lambda + 3 \mu \end{array} \right.$

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x + 1 & 1 & 5 \\ y - 1 & 0 & -4 \\ z + 1 & 2 & 3 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 0 & -4 \\ 2 & 3 \end{array} \right | ( x + 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 0 & -4 \end{array} \right | ( z + 1 ) & = & 0 \\\\ 8(x + 1) + 7(y - 1) - 4(z + 1) & = & 0 \\\\ 8x + 7y - 4z - 3 & = & 0 \end{array}$

4 Comprobar si los puntos $A (2, 1, 9/2)$ y $B(0, 9, -1)$ pertenecen al plano $\pi$ de ecuaciones paramétricas

$\left \{ \begin{array}{l} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = 2 - \lambda + 2 \mu \\ z = 4 \lambda - 3 \mu \end{array} \right.$

1 De la ecuación paramétrica se obtiene un punto del plano y los vectores directores

$P(1, 2, 0), \ \ \vec{u} = (1, -1, 4), \ \ \vec{v} = (1, 2, -3)$

2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 1 & 1 \\ y - 2 & -1 & 2 \\ z & 4 & -3 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 4 & -3 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 4 & -3 \end{array} \right | ( y - 2 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right | z & = & 0 \\\\ -5(x - 1) + 7(y - 2) + 3z & = & 0 \\\\ -5x + 7y + 3z - 9 & = & 0 \end{array}$

3 Sustituimos los puntos dados en la ecuación implícita del plano

$-5 \cdot 2 + 7 \cdot 1 + 3 \cdot \cfrac{9}{2} - 9 \neq 0$ , entonces $A \notin \pi$

$-5 \cdot 0 + 7 \cdot 9 + 3 \cdot (-1) - 9 \neq 0$ , entonces $B \notin \pi$

5 Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos $A(1, 1, 0), B(1, 0, 1)$ y $C(0, 1, 1)$ .

1 Calculamos los vectores directores

$\begin{array}{l} \overrightarrow{AB} = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1) \\\\ \overrightarrow{AC} = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (-1, 0, 1) \end{array}$

2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 0 & -1 \\ y - 1 & -1 & 0 \\ z & 1 & 1 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right | ( z ) & = & 0 \\\\ -(x - 1) - (y - 1) - (z) & = & 0 \\\\ -x - y - z + 2 & = & 0 \end{array}$

3 La ecuación segmentaria es

$\cfrac{x}{2} + \cfrac{y}{2} + \cfrac{z}{2} = 1$

6 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $A(2, 0, 1)$ y contiene a la recta de ecuación

$\cfrac{x - 1}{2} = \cfrac{y + 3}{1} = \cfrac{z}{-1}$

1 De la ecuación de la recta se obtiene un punto del plano y un vector director

$B(1, -3, 0), \ \ \vec{u} = (2, 1, -1)$

2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director

$\overrightarrow{AB} = (1 - 2, -3 - 0, 0 - 1) = (-1, -3, -1)$

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x - 2 & 2 & -1 \\ y & 1 & -3 \\ z - 1 & -1 & -1 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -1 & -1 \end{array} \right | ( x - 2 ) - \left | \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{array} \right | ( y ) + \left | \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & -3 \end{array} \right | (z - 1) & = & 0 \\\\ 4(x - 2) - 3y + 5(z - 1) & = & 0 \\\\ 4x - 3y + 5z - 13 & = & 0 \end{array}$

7 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos $A(1, -2, 4), B = (0, 3, 2)$ y es paralelo a la recta de ecuación

$\cfrac{x - 1}{4} = \cfrac{y - 2}{1} = \cfrac{z + 1}{2}$

1 De la ecuación de la recta se obtiene un vector director

$\vec{u} = (4, 1, 2)$

2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director

$\overrightarrow{AB} = (-1, 5, -2)$

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & -1 & 4 \\ y + 2 & 5 & 1 \\ z - 4 & -2 & 2 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 5 & 1 \\ -2 & 2 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} -1 & 4 \\ -2 & 2 \end{array} \right | ( y + 2 ) + \left | \begin{array}{cc} -1 & 4 \\ 5 & 1 \end{array} \right | (z - 4) & = & 0 \\\\ 4(x - 1) - 2(y + 2) - 7(z - 4) & = & 0 \\\\ 4x - 2y - 7z + 20 & = & 0 \end{array}$

8 Dadas las rectas

$r \equiv \cfrac{x + 2}{3} = \cfrac{y - 1}{2} = \cfrac{z + 1}{-1}, \ \ s \equiv \cfrac{x - 1}{-2} = \cfrac{y - 3}{-2} = \cfrac{z}{3}$

Determinar la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$

1 De las ecuaciones de las rectas se obtienen un punto del plano y los vectores directores

$A(-2, 1, -1), \ \ \vec{u} = (3, 2, -1), \ \ \vec{v} = (-2, -2, 3)$

2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x + 2 & 3 & -2 \\ y - 1 & 2 & -2 \\ z + 1 & -1 & 3 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( x + 2 ) - \left | \begin{array}{cc} 3 & -2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 2 & -2 \end{array} \right | (z + 1) & = & 0 \\\\ 4(x + 2) - 7(y - 1) - 2(z + 1) & = & 0 \\\\ 4x - 7y - 2z + 13 & = & 0 \end{array}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de Ecuaciones de la recta

Resumen de Ecuacion de la recta II

Teoría

Ecuacion canonica

Ecuaciones parametricas de la recta

Ecuaciones punto-pendiente de una recta

Ecuacion de la recta en forma explicita

Angulo que forman dos rectas

Incidencia de un punto y una recta

Calculo de la distancia de un punto a una recta

Ecuación de la mediatriz

Ecuaciones de la recta en el espacio

¿Cuales son las ecuaciones del plano?

Posicion relativa de dos planos

Ecuacion general de la recta

Rectas perpendiculares y paralelas

Rectas paralelas

Posicion relativa de dos rectas II

La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

¿Cuales son las posiciones relativas de dos rectas?

Ecuacion vectorial de la recta

Rectas paralelas a los ejes

Ecuaciones de las bisectrices

Posiciones relativas de una recta y un plano

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Posicion relativa de tres planos

Ecuación continua de la recta

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Ecuacion explicita de la recta

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Incidencia de puntos y rectas

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Ortocentro

Ecuaciones de las medianas y del baricentro de un triangulo

Rectas perpendiculares

Area de un triangulo

Ecuacion de la recta

Pendiente de una recta

¿Qué es el vector normal?

Definición de puntos y vectores coplanarios

Circuncentro

Ejemplos de puntos alineados

Lugares geométricos

Ecuacion normal de la recta. Cosenos directores

Bisectrices de un triangulo

Paralelismo de rectas

Haz de rectas y haz de rectas paralelas

Distancia y angulo entre rectas

Coordenadas del baricentro de un triangulo

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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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diomar holsen caldero becerra

Abril 2022

me podrian ayudar con este ejercicio Hallar la ecuación paramétrica vectorial del plano que contiene a los vectores a = (-1, 2,3)
b= (4—3,5) y pasa por el punto P (1, 0,2).

Rafael

Febrero 2022

buenas tardes, como puedo obtener la ecuación general del plano con 2 vectores únicamente, sin un punto, si me pudieran ayudar me ayudarían muchísimo

Andry Rodríguez

Febrero 2022

EXELENTE

Jason

Octubre 2021

no he podido solucionar este punto ¿Cuál es la ecuación normal del plano que contiene los puntos 𝑻(𝟎,𝟏,𝟑),𝑷(𝟎,𝟕,−𝟏)𝑦 𝑸(−𝟒,𝟏,𝟑)?. Desarrolle el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente

kena barraza

Agosto 2021

¡cuantas ecuaciones vectoriales del plano diferentes se pueden escribir a partir de 3 puntos?
¿Que caracteristicas en comun tiene todos los puntos de un plano paralelo al plano XZ?

yessenia

Diciembre 2020

me pueden ayudar:(
Di si estos sistemas de ecuaciones lineales tienen soluciones, y cuantas son, sin resolverlos.
x+2y+3z = 1 b. x+2y+3z = 1 c. x+2y+3z = 1
4x+5y+6z = 2 4x+5y+6z = 2 4x+5y+6z = 2
7x+8y+9z = 3 x – y -3z = -1 x – y -3z =-2

yessenia

Diciembre 2020

me pueden ayudar con este otro ejercicio

Muestra que los puntos de la forma (5t+4s,2t+3s,t-2s) con t,s ∈ R. forman un plano y di cual es su ecuacion.

yessenia

Diciembre 2020

Da una ecuacion del plano que contiene a los puntos (1,2,-3), (4,-5,6) y (0,3,2).

Veronica salamanca condori

Octubre 2020

Me podria ayudar con este ejercicio
Hallar ka ecuacion general del plano por los puntos A(2,-1,0) B(3,2,-1) ^ C(4,2,1)

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