Name: Ecuacion del plano
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Marta

22 diciembre 2020

Temas

Ecuación vectorial del plano
Ecuaciones paramétricas del plano
Ecuación general o implícita del plano
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Ejercicios

Ecuación vectorial del plano

Para determinar un plano del espacio, se necesita conocer un punto $P$ y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.

Para que el punto $P(x_0, y_0, z_0)$ pertenezca al plano $\pi$ el vector $\overrightarrow{PX}$ tiene que ser coplanario con los vectores $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ , es decir, que dependa linealmente de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ .

$\overrightarrow{PX} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$

En coordenadas se expresa

$\begin{array}{rcl} (x - x_0, y - y_0, z - z_0) & = & \lambda (u_1, u_2, u_3) + \mu (v_1, v_2, v_3) \\\\ (x, y, z) & = & (x_0, y_0, z_0) + \lambda (u_1, u_2, u_3) + \mu (v_1, v_2, v_3) \end{array}$

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Ecuaciones paramétricas del plano

Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

$(x, y, z) = (x_0 + u_1 \lambda + v_1 \mu, y_0 + u_2 \lambda + v_2 \mu, z_0 + u_3 \lambda + v_3 \mu)$

Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:

$\left \{ \begin{array}{l} x = x_0 + u_1 \lambda + v_1 \mu \\ y = y_0 + u_2 \lambda + v_2 \mu \\ z = z_0 + u_3 \lambda + v_3 \mu \end{array} \right.$

Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones paramétricas de la recta.

Ecuación general o implícita del plano

Un punto está en el plano $\pi$ si tiene solución el sistema:

$\left \{ \begin{array}{l} x - x_0 = u_1 \lambda + v_1 \mu \\ y - y_0 = u_2 \lambda + v_2 \mu \\ z - z_0 = u_3 \lambda + v_3 \mu \end{array} \right.$

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas $\lambda$ y $\mu$ · Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

$\left | \begin{array}{ccc} x - x_0 & u_1 & v_1 \\ y - y_0 & u_2 & v_2 \\ z - z_0 & u_3 & v_3 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\left | \begin{array}{cc} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{array} \right | ( x - x_0 ) - \left | \begin{array}{cc} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{array} \right | ( y - y_0 ) + \left | \begin{array}{cc} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{array} \right | ( z - z_0 ) = 0$

Damos los valores:

$A = \left | \begin{array}{cc} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{array} \right |, \ \ B = - \left | \begin{array}{cc} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{array} \right |, \ \ C = \left | \begin{array}{cc} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{array} \right |$

Sustituimos:

$A( x - x_0 ) + B ( y - y_0 ) + C ( z - z_0 ) = 0$

Realizamos las operaciones y le damos a $D$ el valor:

$D = -A x_0 - B y_0 - C z_0$

Obtenemos la ecuación general de plano:

$Ax + By + Cz + D = 0$

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos $A(a, 0, 0), B(0, b, 0)$ y $C(0, 0, c)$ , la ecuación canónica viene dada por:

$\cfrac{x}{a} + \cfrac{y}{b} + \cfrac{z}{c} = 1$

donde

$a = -\cfrac{D}{A}, \ \ b = -\cfrac{D}{B}, \ \ c = -\cfrac{D}{C}$

Ejercicios

1 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto $A(1, 1, 1)$ y tiene como vectores directores a $\vec{u} = (1, -1, 1)$ y $\vec{v} = (2, 3, -1)$

1 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene

$\left \{ \begin{array}{l} x = 1 + \lambda + 2 \mu \\ y = 1 - \lambda + 3 \mu \\ z = 1 + \lambda - \mu \end{array} \right.$

2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 1 & 2 \\ y - 1 & -1 & 3 \\ z - 1 & 1 & -1 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( z - 1 ) & = & 0 \\\\ -2(x - 1) + 3(y - 1) + 5(z - 1) & = & 0 \\\\ -2x + 3y + 5z - 6 & = & 0 \end{array}$

2 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos $A(-1, 2, 3)$ y $B(3, 1, 4)$ y contiene al vector $\vec{u} = (0, 0, 1)$

1 Se tiene un vector director; el otro vector director viene dado por

$\overrightarrow{AB} = (3 + 1, 1 - 2, 4 - 3) = (4, -1, 1)$

2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene

$\left \{ \begin{array}{l} x = -1 + 4 \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + \lambda + \mu \end{array} \right.$

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x + 1 & 4 & 0 \\ y - 2 & -1 & 0 \\ z - 3 & 1 & 1 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( x + 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( y - 2 ) + \left | \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -1 & 0 \end{array} \right | ( z - 3 ) & = & 0 \\\\ -(x + 1) - 4(y - 2) + 0(z - 3) & = & 0 \\\\ -x - 4y + 7 & = & 0 \end{array}$

3 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos $A(-1, 1, -1), B(0, 1, 1)$ y $C(4, -3, 2)$

1 Calculamos los vectores directores

$\begin{array}{l} \overrightarrow{AB} = (0 + 1, 1 - 1, 1 + 1) = (1, 0, 2) \\\\ \overrightarrow{AC} = (4 + 1, -3 - 1, 2 + 1) = (5, -4, 3) \end{array}$

2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene

$\left \{ \begin{array}{l} x = -1 + \lambda + 5 \mu \\ y = 1 - 4 \mu \\ z = -1 + 2 \lambda + 3 \mu \end{array} \right.$

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x + 1 & 1 & 5 \\ y - 1 & 0 & -4 \\ z + 1 & 2 & 3 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 0 & -4 \\ 2 & 3 \end{array} \right | ( x + 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 0 & -4 \end{array} \right | ( z + 1 ) & = & 0 \\\\ 8(x + 1) + 7(y - 1) - 4(z + 1) & = & 0 \\\\ 8x + 7y - 4z - 3 & = & 0 \end{array}$

4 Comprobar si los puntos $A (2, 1, 9/2)$ y $B(0, 9, -1)$ pertenecen al plano $\pi$ de ecuaciones paramétricas

$\left \{ \begin{array}{l} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = 2 - \lambda + 2 \mu \\ z = 4 \lambda - 3 \mu \end{array} \right.$

1 De la ecuación paramétrica se obtiene un punto del plano y los vectores directores

$P(1, 2, 0), \ \ \vec{u} = (1, -1, 4), \ \ \vec{v} = (1, 2, -3)$

2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 1 & 1 \\ y - 2 & -1 & 2 \\ z & 4 & -3 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 4 & -3 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 4 & -3 \end{array} \right | ( y - 2 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right | z & = & 0 \\\\ -5(x - 1) + 7(y - 2) + 3z & = & 0 \\\\ -5x + 7y + 3z - 9 & = & 0 \end{array}$

3 Sustituimos los puntos dados en la ecuación implícita del plano

$-5 \cdot 2 + 7 \cdot 1 + 3 \cdot \cfrac{9}{2} - 9 \neq 0$ , entonces $A \notin \pi$

$-5 \cdot 0 + 7 \cdot 9 + 3 \cdot (-1) - 9 \neq 0$ , entonces $B \notin \pi$

5 Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos $A(1, 1, 0), B(1, 0, 1)$ y $C(0, 1, 1)$ .

1 Calculamos los vectores directores

$\begin{array}{l} \overrightarrow{AB} = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1) \\\\ \overrightarrow{AC} = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (-1, 0, 1) \end{array}$

2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 0 & -1 \\ y - 1 & -1 & 0 \\ z & 1 & 1 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right | ( z ) & = & 0 \\\\ -(x - 1) - (y - 1) - (z) & = & 0 \\\\ -x - y - z + 2 & = & 0 \end{array}$

3 La ecuación segmentaria es

$\cfrac{x}{2} + \cfrac{y}{2} + \cfrac{z}{2} = 1$

6 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $A(2, 0, 1)$ y contiene a la recta de ecuación

$\cfrac{x - 1}{2} = \cfrac{y + 3}{1} = \cfrac{z}{-1}$

1 De la ecuación de la recta se obtiene un punto del plano y un vector director

$B(1, -3, 0), \ \ \vec{u} = (2, 1, -1)$

2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director

$\overrightarrow{AB} = (1 - 2, -3 - 0, 0 - 1) = (-1, -3, -1)$

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x - 2 & 2 & -1 \\ y & 1 & -3 \\ z - 1 & -1 & -1 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -1 & -1 \end{array} \right | ( x - 2 ) - \left | \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{array} \right | ( y ) + \left | \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & -3 \end{array} \right | (z - 1) & = & 0 \\\\ 4(x - 2) - 3y + 5(z - 1) & = & 0 \\\\ 4x - 3y + 5z - 13 & = & 0 \end{array}$

7 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos $A(1, -2, 4), B = (0, 3, 2)$ y es paralelo a la recta de ecuación

$\cfrac{x - 1}{4} = \cfrac{y - 2}{1} = \cfrac{z + 1}{2}$

1 De la ecuación de la recta se obtiene un vector director

$\vec{u} = (4, 1, 2)$

2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director

$\overrightarrow{AB} = (-1, 5, -2)$

3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & -1 & 4 \\ y + 2 & 5 & 1 \\ z - 4 & -2 & 2 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 5 & 1 \\ -2 & 2 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} -1 & 4 \\ -2 & 2 \end{array} \right | ( y + 2 ) + \left | \begin{array}{cc} -1 & 4 \\ 5 & 1 \end{array} \right | (z - 4) & = & 0 \\\\ 4(x - 1) - 2(y + 2) - 7(z - 4) & = & 0 \\\\ 4x - 2y - 7z + 20 & = & 0 \end{array}$

8 Dadas las rectas

$r \equiv \cfrac{x + 2}{3} = \cfrac{y - 1}{2} = \cfrac{z + 1}{-1}, \ \ s \equiv \cfrac{x - 1}{-2} = \cfrac{y - 3}{-2} = \cfrac{z}{3}$

Determinar la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$

1 De las ecuaciones de las rectas se obtienen un punto del plano y los vectores directores

$A(-2, 1, -1), \ \ \vec{u} = (3, 2, -1), \ \ \vec{v} = (-2, -2, 3)$

2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene

$\left | \begin{array}{ccc} x + 2 & 3 & -2 \\ y - 1 & 2 & -2 \\ z + 1 & -1 & 3 \end{array} \right | = 0$

Desarrollando el determinante obtenemos:

$\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( x + 2 ) - \left | \begin{array}{cc} 3 & -2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 2 & -2 \end{array} \right | (z + 1) & = & 0 \\\\ 4(x + 2) - 7(y - 1) - 2(z + 1) & = & 0 \\\\ 4x - 7y - 2z + 13 & = & 0 \end{array}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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narvaez

Mayo

como se pasa de una ecuación canónica a una ecuación general?

Superprof

Junio

Hola Navarez, explicamos todo el procedimiento en nuestro artículo sobre la ecuación canónica. Te aconsejamos usar el buscador arriba a la derecha para encontrarlo. ¡Un saludo!

bernabe

Mayo

me podrían ayudar con este ejercicio?
Encuentre la ecuación del plano que contenga la recta x=2+2t , y=4t , z= -6 y el punto P( 5 , 3 , 0)
por favor ¡¡

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola Bernabe,

cuando t=0, el punto que te da sobre la recta es

Q = (2,0,-6)

Un vector director de este plano será el vector director de la recta (se obtiene con los coeficientes de t)

v = (2,4,0)

El otro vector está dado por

PQ = (2-5,0-3,-6-0) = (-3, -3, -6)

Como pasa por el punto P = (5,3,0), la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\| x-5	2	-3 \|
\| y-3	4	-3 \|	= 0
\| z	0	-6 \|

La ecuación del plano es

-24x+12y+6z+84 = 0 y al dividir entre 6 nos da -4x+2y+z+14 = 0

Te recomendamos consultar nuestro artículo «Ejercicios resueltos de la ecuacion del plano». Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Veronica salamanca condori

Octubre

Me podria ayudar con este ejercicio
Hallar ka ecuacion general del plano por los puntos A(2,-1,0) B(3,2,-1) ^ C(4,2,1)

yessenia

Diciembre

Da una ecuacion del plano que contiene a los puntos (1,2,-3), (4,-5,6) y (0,3,2).

yessenia

Diciembre

me pueden ayudar con este otro ejercicio

Muestra que los puntos de la forma (5t+4s,2t+3s,t-2s) con t,s ∈ R. forman un plano y di cual es su ecuacion.

yessenia

Diciembre

me pueden ayudar:(
Di si estos sistemas de ecuaciones lineales tienen soluciones, y cuantas son, sin resolverlos.
x+2y+3z = 1 b. x+2y+3z = 1 c. x+2y+3z = 1
4x+5y+6z = 2 4x+5y+6z = 2 4x+5y+6z = 2
7x+8y+9z = 3 x – y -3z = -1 x – y -3z =-2

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Calculo de la distancia de un punto a una recta

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La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

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