Ecuación vectorial del plano

Para determinar un plano del espacio se necesita conocer un punto P y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 1

Para que el punto P pertenezca al plano π el vector Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 2 tiene que ser coplanario con Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 3 y Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 4, es decir, que dependa linealmente de Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 5 y Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 6.

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 7

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 8

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 9

Ecuaciones paramétricas del plano

Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 10

Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 11

Ecuación general o implícita del plano

Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 12

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 13

Desarrollando el determinante obtenemos:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 14

Damos los valores:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 15

Sustituimos:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 16

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 17

Obtenemos la ecuación general de plano:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 18

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 19

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 20

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 21

Ejercicios

1.

Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 22 y Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 23.

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 24

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 25

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 26

2.

Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 27.

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 28

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 29

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 30

3.

Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 1, −1), B(0, 1, 1) y C(4, −3, 2).

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 31

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 32

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 33

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 34

4.

Sea π el plano de ecuaciones paramétricas:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 35

Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, −1) pertenecen al plano.

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 36

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 37

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 38

5.

Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 39

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 40

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 41

Dividiendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 42

6.

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1 y contiene a la recta de ecuación:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 43

De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 44.

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 45

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 46

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 47

7.

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −2, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta:

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 48

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 49

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 50

8.

Dadas las rectas

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 51

Determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 52

Explicaciones y ejemplos de ecuación del plano - 53