1. La recta viene definida por un punto y un vector

Sea una recta definida por el punto A y el vector Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 1. y un plano cuyo vector normal es Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 2. Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

Posición Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 3 A
Recta contenida en el plano = 0 Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 4 π
Recta y plano paralelos = 0 Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 5 π
Recta y plano secantes ≠ 0  

Recta contenida en el planoExplicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 6

Recta y plano paralelosExplicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 7

Recta y plano secantesExplicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 8

2. La recta viene definida por dos planos secantes

Sea la recta: Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 9 y el plano Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 10.

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 11

Si:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:

Posición r r'
Recta contenida en el plano 2 2
Recta y plano paralelos 2 3
Recta y plano secantes 3 3

Ejemplos

Hallar la posición relativa de la recta y el plano:

1. Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 12

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 13

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 14

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 15

Comparamos los rangos

La recta y el plano se cortan en un punto.

2. Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 16

Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 17

Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 18

Explicaciones y ejemplos de posiciones relativas de una recta y un plano - 19

La recta y el plano son paralelos.