Ecuación vectorial de la recta


Explicaciones y ejemplos de rectas en el espacio - 1

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada Explicaciones y ejemplos de rectas en el espacio - 2.

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector Explicaciones y ejemplos de rectas en el espacio - 3 tiene igual dirección que Explicaciones y ejemplos de rectas en el espacio - 4, luego es igual a Explicaciones y ejemplos de rectas en el espacio - 5 multiplicado por un escalar:

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Ecuaciones paramétricas de la recta

Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Explicaciones y ejemplos de rectas en el espacio - 9

Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:

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Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

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Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Explicaciones y ejemplos de rectas en el espacio - 12

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

Ejercicios

1.

Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es Explicaciones y ejemplos de rectas en el espacio - 13.

Ecuaciones paramétricas

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Ecuaciones en forma continua

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Ecuaciones implícitas

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2.

Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

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3.

Dada la recta r:

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Hallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica.

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4.

Sea r la recta de ecuación:

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¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

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5.

Obtener la ecuación de la recta que, siendo paralela la recta dada por x = 3λ, y = λ, z = 2λ + 2, contiene al punto P(0, 1, −1).

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6.

Una recta es paralela a los planos x + y = 0, x + z = 0 y pasa por por el punto (2, 0, 0). Hallar sus ecuaciones.

El vector director de la recta es perpendicular a a los vectores normales de cada plano.

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