El producto mixto de los vectores Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 1, Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 2 y Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 3 se representa por [Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 4, Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 5, Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 6] y es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 7

El producto mixto de tres vectores equivale al desarrollo de un determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 8

Ejemplos

Calcular el producto mixto de los vectores:

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 9

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 10

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 11

Volumen del paralelepípedo

Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 12

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 13

Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 14

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 15

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 16

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 17

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 18

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 19

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 20

Propiedades del producto mixto

1.

El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen.

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 21

Explicaciones y ejemplos de producto mixto - 22

2.

Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0.