Razón o Relación

La razón o relación entre dos segmentos L y M, no es más que el cociente del

primero sobre el segundo, es decir, dos segmentos están en la relación r si

    $$\cfrac{L}{M}=r.$$

Dividir un segmento AB en una relación dada r significa determinar un punto P de la recta

que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, AP y PB, están en la relación r:

    $$\cfrac{AP}{PB}=r.$$

Ejemplos:

1 ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3)

y B(5, 6) en tres partes iguales?

ejemplo de segmento

Siguiendo la figura y dado que los puntos P y Q dividen el segmento  AB  en tres partes iguales, podemos concluir que tenemos dos relaciones. La primera para los segmentos  AP  y  AB,  éstos se encuentran en una relación de un tercio, esto es

    $$\cfrac{AP}{AB}=\cfrac{1}{3}.$$

Si el punto P tiene coordenadas (x_{P},y_{P}), entonces de la relación anterior se sigue que

    $$(x_{P}+1,y_{P}+3)=AP=\cfrac{1}{3}AB=\cfrac{1}{3}(5-(-1),6-(-3))=\cfrac{1}{3}(6,9).$$

De esto se tiene

    $$x_{P}+1=2,\qquad y_{P}+3=3,$$

Y concluimos que P=(x_{P},y_{P})=(1,0).

La segunda relación la encontramos entre los segmentos AP y AQ, los cuales están en una relación de  2.

    $$\cfrac{AQ}{AP}=2.$$

Si el punto Q tiene coordenadas (x_{Q},y_{Q}), entonces de la relación anterior se sigue que

    $$(x_{Q}+1,y_{Q}+3)=AQ=2AP=2(1-(-1),0-(-3))=2(2,3).$$

De esto se tiene

    $$x_{Q}+1=4,\qquad y_{Q}+3=6,$$

Así, podemos concluir que

    $$Q=(x_{Q},y_{Q})=(3,3).$$

2 Considere el segmento  AB  con extremos  A(2, 4)  y  B(3, 5).  Determinar el tamaño del segmento  AP,  donde el punto  P  es punto medio del segmento AB.

Dado que P es punto medio entonces los segmentos  AB  y  AP  están en relación  2.  Así, tenemos que

    $$(1,1)=(3-2,5-4)=AB=2AP=2\left(x_{P}-2,y_{P}-4\right).$$

Esto último nos deja lo siguiente

    $$2x_{P}-4=1,\qquad 2y_{P}-8=1.$$

Entonces,

    $$x_{P}=\cfrac{5}{2},\qquad y_{P}=\cfrac{9}{2},\qquad P=\left(\cfrac{5}{2},\cfrac{9}{2}\right).$$

Con las coordenadas de los puntos  A  y  P  podemos calcular el tamaño del segmento,

    $$|AP|=\sqrt{(x_{P}-x_{A})^{2}+(y_{P}-y_{A})^{2}}=\sqrt{(\cfrac{5}{2}-2)^{2}+(\cfrac{9}{2}-3)^{2}}=\cfrac{\sqrt{10}}{2}.$$

3 ¿Qué punto  P  divide al segmento de extremos  A(1, 1)  y  B(2, 2)  en dos partes iguales?
 

Dado que el punto P divide el segmento  AB  en dos partes iguales, podemos concluir que tenemos la siguiente relación para los segmentos  AP  y  AB,  los cuales se encuentran en relación de 2, es decir,

    $$\cfrac{AB}{AP}=2.$$

Si el punto  P  tiene coordenadas  (x_{P},y_{P}),  entonces de la relación anterior se sigue que

    $$(1,1)=(2-1,2-1)=AB=2AP=2(x_{P}-1,y_{P}-1).$$

De esto se tiene

    $$2x_{P}-1=1,\qquad 2y_{P}-1=1,$$

Y concluimos que P=(x_{P},y_{P})=\left(\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}\right).