Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta se debe resolver el sistema formado por las ecuaciones de ambas.

En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discriminante,

     \[ \Delta = b^2 - 4ac \]

las siguientes soluciones:

Secantes

En este caso tenemos que el discriminante es positivo

     \[ \Delta = b^2 - 4 ac > 0 \]

es decir, la cuadrática obtenida por las dos ecuaciones tendra dos soluciones las cuales seran

     \[ \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \textrm{y} \quad \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

es decir, se tendra la la recta y la cónica coincidirán en dos puntos y por tanto seran secantes

Conica y recta secantes
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Tangentes

En este caso, tenemos que el discriminante es igual a cero  \Delta = 0 y se tendra una sola solución para la ecuación cuadrática resultante

    \[ \frac{-b}{2a} \]

es decir, la recta y la cónica serán tangentes.

Conica y recta tangentes

Exteriores

Finalmente tenemos que el discriminante es menor a cero, en este caso no se tendrán soluciones reales en la ecuación cuadrática por lo tanto la recta y la cónica seran exteriores

conica y recta sin puntos en comun

 

Ejemplos de ejercicios entre la posición relativa de una cónica y una recta

1 Calcula la posición relativa de la circunferencia x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0 y la recta 3x + y - 5 = 0 .

Tenemos que

     \[ \left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}-2 x-3=0 \\ 3 x+y-5=0 \end{array} \quad \Rightarrow \quad y=5-3 x\right.\]

entonces

     \[ x^{2} + ( 5 - 3x)^{2} - 2x - 3 = 5x^{2} - 16x + 11 = 0 \]

resolviendo la ecuación cuadrática

     \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{256-220}}{10}=\frac{16 \pm 6}{10} \]

es decir, tenemos dos soluciones

    \[ x_ 1 = \frac{11}{5} \quad \textrm{y} \quad x_2 = 1 \]

Utilizando estas dos coordenadas como abscisa , encontramos la ordenada teniendo que los dos puntos de corte entre la cónica y la recta son

    \[ P\left(\frac{11}{5},-\frac{8}{5}\right), \quad \quad Q(1,2) \]

Concluyendo que son secantes.

Conica y recta secantes del ejemplo 1
2 Estudiar la posición relativa de la circunferencia x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 con la rectas:

a x + 7y -20 = 0

En este caso

     \[ \left\{\begin{array}{c} x^{2}+y^{2}-4 x+2 y-20=0 \\ x+7 y-20=0 \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad x=20-7y\right. \]

sustituyendo

    \[ y^2 - 5y + 6 = 0 \]

Resolvemos la ecuación cuadrática, obteniendo que la solución a la ecuación y los puntos de coincidencia son

    \[ \begin{array}{lll} y_{1}=3 \quad \Rightarrow \quad x_{1}=-1 \quad \Rightarrow \quad P(-1,3) \\ y_{2}=2 \quad \Rightarrow \quad x_{2}=6 \quad \Rightarrow \quad Q(6,2) \end{array} \]

Al ser dos puntos, concluimos que son secantes.

Recta y conica secantes del ejemplo 2
b  3x + 4y - 27 = 0

Con esta recta tendremos que

     \[ \left\{\begin{array}{c} x^{2}+y^{2}-4 x+2 y-20=0 \\ 3 x+4 y-27=0 \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad x=\frac{-4 y+27}{3} \]

sustituyendo

    \[ y^{2}-6 y+9=0 \]

resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos una solución

     \[ y=3 \quad \Rightarrow \quad x=5 \quad \Rightarrow \quad P(5,3) \]

Por tanto tangentes.


c x + y - 10 = 0

Resolvemos el sistema de ecuaciones

     \[ \left\{\begin{array}{c} x^{2}+y^{2}-4 x+2 y-20=0 \\ x+y-10=0 \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad y = 10- x\]

Sustituyendo obtenemos que

     \[ x^2 -13 x + 50 = 0 \]

Notemos que al calcular el discriminante de la ecuación cuadrática anterior obtenemos que

     \[ \Delta = (-13)^2 - 4\cdot 50 < 0 \]

es decir, es menor que cero y por tanto son exteriores

Conica y recta exteriores del ejercicio 3
3 Calcular la posición relativa de la recta r \equiv x + y - 5 = 0 respecto a la parábola  y^2 = 16x .

Iniciamos resolviendo el sistema de ecuaciones

     \[ \left\{\begin{array}{c} y^{2}= 16x \\ y = 5-x \end{array}\right. \]

Sustituyendo

    \[ (5-x)^2 = 16x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 26x +25 = 0 \]

por tanto

     \[x_ 1 = 25 \quad \quad x_2 = 1 \]

De lo anterior obtenemos las coordenadas de los puntos

     \[P(25,-20) \quad \quad Q(1,4) \]

es decir, al ser dos puntos concluimos que son secantes.

Parabola y recta secantes del ejemplo 3
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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗