Definición

Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendoO el punto medio del segmento de extremos P y P'.
Simetría respecto a un punto O
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Vamos

Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0)

Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(0,0)tiene de coordenadas:

Simetría respecto al origen en el plano cartesiano

Una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°.

P'=(-x,-y)

x'=-x

y'=y

Trazo de un punto mediante simetría central

Coordenadas mediante una simetría de centro O(a, b)

Simetría respecto a un punto distinto al origen en el plano cartesiano

Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(a,b) tiene de coordenadas:

P'= (-x+ 2a, -y+ 2b)

x'=-x+ 2a

y'= -y+ 2b

Gráfica de las coordenadas de un punto y su simétrico, con punto central distinto al origen

Composición de simetrías centrales

Entenderemos como composición de simetrías centrales a la aplicación de dos o más transformaciones en las que puede o no cambiar el centro de rotación.

1 Con el mismo centro

En este caso, se realizan dos transformaciones sucesivas que dejan invariante al punto que se transforma.

Composición simétrica en la cual el punto P y el P' son iguales

Precisando, como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura, lo que se llama involución. Es una transformación involutiva.

2 Con distinto centro

Otro tipo de composición de transformaciones consiste en aplicar la transformación respecto a un punto y después, aplicar una segunda transformación considerando como punto de simetría uno distinto al original.

Ejemplificación de una composición simétrica en la que se cambia el punto de reflexión

La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación.

3 Centro de simetría

Figura en la que se muestra al centro O como centro de simetría

Finalmente, un punto es centro de simetría de una figura si define una simetría central.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗