¿Como se forma la base de dos vectores?

 

Dos vectores \vec{u} y \vec{v} con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.

\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}

 

 

Representación gráfica de dos vectores
Las coordenadas del vector respecto a la base son:

\vec{x}=(a,b)

 

Ejemplo:

 

\displaystyle \begin{matrix} \vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}\; \; & & \vec{w}=(2,3) \\ & & \\ \vec{z}=-\cfrac{1}{2}\vec{u}-2\vec{v} & & \; \; \; \; \; \; \; \vec{z}=\left ( -\cfrac{1}{2},-2 \right ) \end{matrix}

 

Los dos vectores que forman una base no pueden ser paralelos.

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (36 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (26 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (45 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (77 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (24 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (36 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (26 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (45 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (77 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (24 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
1ª clase gratis>

Clasificación de bases

Base ortogonal

 

Vectores con base ortogonal representación gráfica

 

Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí.

Base ortonormal

 

Vectores ortonormales representación gráfica

 

Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

 

\left \{ \vec{i},\vec{j} \right \}

 

\begin{matrix} \vec{i}=(1,0) & & \vec{i}=(0,1)\\ & & \\ \vec{i}\perp \vec{j}\; \; \; \; \; \; & & \; \; \; \; \left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=1 \end{matrix}

 

 

Esta base formada por los vectores \vec{i} y \vec{j} se denomina base canónica.

Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone que se está trabajando en esa base.

 

Ejemplos:

 1 ¿Qué pares de los siguientes vectores forman una base?

 

\vec{u}=(2,-3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \vec{v}=(5,1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \vec{w}=(-4,6)

 

Sabemos que si los vectores son paralelos, no pueden formar una base. Entonces, para averiguar cuales de los vectores anteriores la forman, vamos a tomarlos por pares y comprobar si son paralelos o no.

 

Primero, estudiamos los vectores  \vec u y  \vec v :

 

 \displaystyle  \cfrac{2}{-3}=\cfrac{5}{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  2\neq 15

 

Los vectores  \vec u y  \vec v no son paralelos, y entonces forman una base: \left \{ \vec{u}, \vec{v} \right \}

 

Seguimos comparando los vectores  \vec u y  \vec w :

 

\displaystyle  \cfrac{2}{-3}=\cfrac{-4}{6} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12=12

 

Los vectores  \vec u y  \vec w son los dos iguales a  12, entonces paralelos. No forman una base.

 

Por ultimo, estudiamos los vectores  \vec v y  \vec w :

 

\displaystyle  \cfrac{5}{1}=\cfrac{-4}{6} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  30\neq 4

 

Los vectores  \vec v y  \vec w no son paralelos, y entonces forman una base: \left \{ \vec{v}, \vec{w} \right \}

 

 

 2 Sean los vectores libres \vec{u}=(2,1), \vec{v}=(1,4) y \vec{w}=(5,6). Determinar:

 

A Si forman una base \vec{u} y \vec{w}.

 

Para comprobar si forman una base, seguimos los mismos pasos que en el ejemplo anterior para ver si son paralelos o no:

 

\displaystyle  \cfrac{2}{1}=\cfrac{1}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\cdot 4\neq 1\cdot 1

 

Los dos vectores no son paralelos, entonces forman una base:

 

\left \{ \vec{u}, \vec{w} \right \}

 

B Expresar \vec{w} como combinación lineal de los de la base

 

Sabemos que:

 

\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}

 

Entonces:

 

(5,6)=a(2,1)+b(1,4)

 

\left\{\begin{matrix} 5=2a+b\\ 6=a+4b \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; a=2\; \; \; \; \; b=1

 

La combinación lineal es:

 

\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}

 

3 Un vector \vec{w} tiene de coordenadas (3, 5) en la base canónica.

¿Qué coordenadas tendrá referido a la base \vec{u}=(1,2), \vec{v}=(2,1)?

 

(3,5)=a(1,2)+b(2,1)

 

5=2a+b

3 = a + 2b

 

Rasolvemos el sistema de ecuaciones:

 

Sabiendo que:

3 = a + 2b

 

Despejamos la incógnita a :

 

a=3-2b

 

Sustituimos el valor de a en la segunda ecuación:

 

5=2a+b

 

5=2(3-2b)+b

 

5=6-4b+b

 

5=6-3b

 

3b=6-5

 

3b=1

 

\displaystyle  b=\frac{1}{3}

 

Teniendo el valor de b, lo sustituimos en la primera ecuación:

 

a=3-2b

 

\displaystyle  a=3-2(\frac{1}{3})

 

\displaystyle  a= 3 - \frac{2}{3}

 

\displaystyle  a=  \frac{9}{3} - \frac{2}{3}

 

\displaystyle  a=  \frac{7}{3}

 

Las coordenadas de \displaystyle  \vec{w} en la base B son \left ( \cfrac{7}{3},\cfrac{1}{3} \right ).

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 3,57/5 - 14 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗