Name: Base ortogonal y base ortonormal de dos vectores
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¿Como se forma la base de dos vectores?
Clasificación de bases

¿Como se forma la base de dos vectores?

Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.

$\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}$

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

$\vec{x}=(a,b)$

Ejemplo:

$\displaystyle \begin{matrix} \vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}\; \; & & \vec{w}=(2,3) \\ & & \\ \vec{z}=-\cfrac{1}{2}\vec{u}-2\vec{v} & & \; \; \; \; \; \; \; \vec{z}=\left ( -\cfrac{1}{2},-2 \right ) \end{matrix}$

Los dos vectores que forman una base no pueden ser paralelos.

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Clasificación de bases

Base ortogonal

Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí.

Base ortonormal

Vectores ortonormales representación gráfica

Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo $1$ .

$\left \{ \vec{i},\vec{j} \right \}$

$\begin{matrix} \vec{i}=(1,0) & & \vec{i}=(0,1)\\ & & \\ \vec{i}\perp \vec{j}\; \; \; \; \; \; & & \; \; \; \; \left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=1 \end{matrix}$

Esta base formada por los vectores $\vec{i}$ y $\vec{j}$ se denomina base canónica.

Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone que se está trabajando en esa base.

Ejemplos:

1 ¿Qué pares de los siguientes vectores forman una base?

$\vec{u}=(2,-3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{v}=(5,1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{w}=(-4,6)$

Sabemos que si los vectores son paralelos, no pueden formar una base. Entonces, para averiguar cuales de los vectores anteriores la forman, vamos a tomarlos por pares y comprobar si son paralelos o no.

Primero, estudiamos los vectores $\vec u$ y $\vec v$ :

$\displaystyle \cfrac{2}{-3}=\cfrac{5}{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\neq 15$

Los vectores $\vec u$ y $\vec v$ no son paralelos, y entonces forman una base: $\left \{ \vec{u}, \vec{v} \right \}$

Seguimos comparando los vectores $\vec u$ y $\vec w$ :

$\displaystyle \cfrac{2}{-3}=\cfrac{-4}{6} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12=12$

Los vectores $\vec u$ y $\vec w$ son los dos iguales a $12$ , entonces paralelos. No forman una base.

Por ultimo, estudiamos los vectores $\vec v$ y $\vec w$ :

$\displaystyle \cfrac{5}{1}=\cfrac{-4}{6} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30\neq 4$

Los vectores $\vec v$ y $\vec w$ no son paralelos, y entonces forman una base: $\left \{ \vec{v}, \vec{w} \right \}$

2 Sean los vectores libres $\vec{u}=(2,1)$ , $\vec{v}=(1,4)$ y $\vec{w}=(5,6)$ . Determinar:

A Si forman una base $\vec{u}$ y $\vec{w}$ .

Para comprobar si forman una base, seguimos los mismos pasos que en el ejemplo anterior para ver si son paralelos o no:

$\displaystyle \cfrac{2}{1}=\cfrac{1}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\cdot 4\neq 1\cdot 1$

Los dos vectores no son paralelos, entonces forman una base:

$\left \{ \vec{u}, \vec{w} \right \}$

B Expresar $\vec{w}$ como combinación lineal de los de la base

Sabemos que:

$\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}$

Entonces:

$(5,6)=a(2,1)+b(1,4)$

$\left\{\begin{matrix} 5=2a+b\\ 6=a+4b \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; a=2\; \; \; \; \; b=1$

La combinación lineal es:

$\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}$

3 Un vector $\vec{w}$ tiene de coordenadas $(3, 5)$ en la base canónica.

¿Qué coordenadas tendrá referido a la base $\vec{u}=(1,2)$ , $\vec{v}=(2,1)$ ?

$(3,5)=a(1,2)+b(2,1)$

$5=2a+b$

$3 = a + 2b$

Rasolvemos el sistema de ecuaciones:

Sabiendo que:

$3 = a + 2b$

Despejamos la incógnita $a$ :

$a=3-2b$

Sustituimos el valor de $a$ en la segunda ecuación:

$5=2a+b$

$5=2(3-2b)+b$

$5=6-4b+b$

$5=6-3b$

$3b=6-5$

$3b=1$

$\displaystyle b=\frac{1}{3}$

Teniendo el valor de $b$ , lo sustituimos en la primera ecuación:

$a=3-2b$

$\displaystyle a=3-2(\frac{1}{3})$

$\displaystyle a= 3 - \frac{2}{3}$

$\displaystyle a= \frac{9}{3} - \frac{2}{3}$

$\displaystyle a= \frac{7}{3}$

Las coordenadas de $\displaystyle \vec{w}$ en la base $B$ son $\left ( \cfrac{7}{3},\cfrac{1}{3} \right )$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de vectores y producto escalar

Traslaciones, giros, simetria axial y central

Teoría

Simétrico de un punto respecto de otro

El vector unitario o de magnitud uno

Suma y resta de vectores

¿Cuales son los elementos y las clases de vectores?

La combinacion lineal de vectores

Sistema de referencia

Independencia lineal entre vectores

Dependencia e independencia lineal. Bases

Giros

Distancia entre dos puntos y modulo de un vector

Producto escalar de dos vectores

Operaciones con vectores – suma, resta y multiplicacion por escalar

Vectores en el espacio

Condicion para que tres puntos esten alineados

Traslaciones de vectores

Simetria axial

Coordenadas del baricentro

Coordenadas del punto medio de un segmento

El vector de posicion y el vector en el plano

Producto escalar de vectores en el espacio cartesiano

Definicion y ejemplos del producto mixto de tres vectores

Definicion de vectores equipolentes y libres

Aplicaciones de vectores y segmentos

Resumen de vectores de un plano

Producto de un numero por un vector

Division de un segmento en una relación dada

Operaciones con vectores en el espacio

Definición de vectores

Simetria central

Transformaciones geométricas

Fórmulas

Vectores ortogonales y ortonormales

Calcular la Distancia entre dos puntos

Producto escalar de vectores parte II

Fórmulas de vectores

Combinacion lineal de vectores en el espacio

Producto cruz

Tipos de vectores

Producto punto

Angulo de dos vectores

Vectores y coordenadas

Suma analitica y grafica de vectores

Multiplicacion de un escalar por un vector

¿Qué son los vectores linealmente independientes?

Vectores linealmente dependientes

Coordenadas cartesianas y polares

Ejercicios de vectores en el espacio

Interpretacion geometrica del producto escalar

Cosenos directores

Base ortogonal y base ortonormal – tres vectores

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Formulas del producto escalar de vectores

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Ejercicios interactivos: el punto simetrico

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Suma de Vectores Ejercicios Resueltos

Ejercicios interactivos de homotecias

Ejercicios interactivos de operaciones con vectores

Ejercicios interactivos: modulo de un vector, distancia entre dos puntos

Ejercicios interactivos del vector posición y coordenadas de un vector

Ejercicios interactivos de vectores unitarios

Otros ejercicios

Ejercicios resueltos de vectores II

Ejercicios del producto escalar y vectorial

Ejercicios resueltos de traslaciones

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Ejercicios y problemas resueltos de vectores y producto escalar

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Producto vectorial y mixto

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SabrinA

Marzo 2022

Como calculo un vector ortogonal a (3,4) y de norma 1?

Beñat

Diciembre 2021

Como seria el producto escalar de dos vectores en una base ortonormal?
Un saludo

juan

Junio 2021

V3 (R) determine la proyección ortogonal del vector v = (1, 1, −1) sobre el vector w = (1, 0, 1) con respecto al producto
escalar definido por la matriz
0 0 1
0 1 0
1 0 0

Villena

Abril 2020

Quiero saber … que es traslacion.. rotacion … simetria axial y central …

Superprof

Abril 2020

Hola, te aconsejamos usar el buscador arriba a la derecha, para encontrar las páginas donde explicamos cada uno de estos conceptos. ¡Un saludo!

hernandez goicochea

Abril 2020

Me ha gustado. En mi opinión yo trato de profundizar en darle a los vectores tambienbuna connotación de rectas. Ya que en si las coordenadas siempre obtenidas. Son coordenadas finales del punto del vector. Quienes dan la escala direccion y sentido. Ahi me parece que para los chicos abriria una puerta de mayor entendimiento y enlace entre la fisica y la geometria. Dando asi mayores caminos y herramientas. Peo muy bien con el resumen.

Superprof

Abril 2020

¡Gracias por el comentario! Un saludo.

Bases de dos vectores

¿Como se forma la base de dos vectores?

Clasificación de bases

Base ortogonal

Base ortonormal

Resumen

Resumen de vectores y producto escalar

Traslaciones, giros, simetria axial y central

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