Name: Base ortogonal y base ortonormal de dos vectores
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¿Como se forma la base de dos vectores?
Clasificación de bases

¿Como se forma la base de dos vectores?

Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.

$\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}$

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

$\vec{x}=(a,b)$

Ejemplo:

$\displaystyle \begin{matrix} \vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}\; \; & & \vec{w}=(2,3) \\ & & \\ \vec{z}=-\cfrac{1}{2}\vec{u}-2\vec{v} & & \; \; \; \; \; \; \; \vec{z}=\left ( -\cfrac{1}{2},-2 \right ) \end{matrix}$

Los dos vectores que forman una base no pueden ser paralelos.

Superprof

Clasificación de bases

Base ortogonal

Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí.

Base ortonormal

Vectores ortonormales representación gráfica

Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo $1$ .

$\left \{ \vec{i},\vec{j} \right \}$

$\begin{matrix} \vec{i}=(1,0) & & \vec{i}=(0,1)\\ & & \\ \vec{i}\perp \vec{j}\; \; \; \; \; \; & & \; \; \; \; \left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=1 \end{matrix}$

Esta base formada por los vectores $\vec{i}$ y $\vec{j}$ se denomina base canónica.

Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone que se está trabajando en esa base.

Ejemplos:

1 ¿Qué pares de los siguientes vectores forman una base?

$\vec{u}=(2,-3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{v}=(5,1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{w}=(-4,6)$

Sabemos que si los vectores son paralelos, no pueden formar una base. Entonces, para averiguar cuales de los vectores anteriores la forman, vamos a tomarlos por pares y comprobar si son paralelos o no.

Primero, estudiamos los vectores $\vec u$ y $\vec v$ :

$\displaystyle \cfrac{2}{-3}=\cfrac{5}{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\neq 15$

Los vectores $\vec u$ y $\vec v$ no son paralelos, y entonces forman una base: $\left \{ \vec{u}, \vec{v} \right \}$

Seguimos comparando los vectores $\vec u$ y $\vec w$ :

$\displaystyle \cfrac{2}{-3}=\cfrac{-4}{6} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12=12$

Los vectores $\vec u$ y $\vec w$ son los dos iguales a $12$ , entonces paralelos. No forman una base.

Por ultimo, estudiamos los vectores $\vec v$ y $\vec w$ :

$\displaystyle \cfrac{5}{1}=\cfrac{-4}{6} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30\neq 4$

Los vectores $\vec v$ y $\vec w$ no son paralelos, y entonces forman una base: $\left \{ \vec{v}, \vec{w} \right \}$

2 Sean los vectores libres $\vec{u}=(2,1)$ , $\vec{v}=(1,4)$ y $\vec{w}=(5,6)$ . Determinar:

A Si forman una base $\vec{u}$ y $\vec{w}$ .

Para comprobar si forman una base, seguimos los mismos pasos que en el ejemplo anterior para ver si son paralelos o no:

$\displaystyle \cfrac{2}{1}=\cfrac{1}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\cdot 4\neq 1\cdot 1$

Los dos vectores no son paralelos, entonces forman una base:

$\left \{ \vec{u}, \vec{w} \right \}$

B Expresar $\vec{w}$ como combinación lineal de los de la base

Sabemos que:

$\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}$

Entonces:

$(5,6)=a(2,1)+b(1,4)$

$\left\{\begin{matrix} 5=2a+b\\ 6=a+4b \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; a=2\; \; \; \; \; b=1$

La combinación lineal es:

$\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}$

3 Un vector $\vec{w}$ tiene de coordenadas $(3, 5)$ en la base canónica.

¿Qué coordenadas tendrá referido a la base $\vec{u}=(1,2)$ , $\vec{v}=(2,1)$ ?

$(3,5)=a(1,2)+b(2,1)$

$5=2a+b$

$3 = a + 2b$

Rasolvemos el sistema de ecuaciones:

Sabiendo que:

$3 = a + 2b$

Despejamos la incógnita $a$ :

$a=3-2b$

Sustituimos el valor de $a$ en la segunda ecuación:

$5=2a+b$

$5=2(3-2b)+b$

$5=6-4b+b$

$5=6-3b$

$3b=6-5$

$3b=1$

$\displaystyle b=\frac{1}{3}$

Teniendo el valor de $b$ , lo sustituimos en la primera ecuación:

$a=3-2b$

$\displaystyle a=3-2(\frac{1}{3})$

$\displaystyle a= 3 - \frac{2}{3}$

$\displaystyle a= \frac{9}{3} - \frac{2}{3}$

$\displaystyle a= \frac{7}{3}$

Las coordenadas de $\displaystyle \vec{w}$ en la base $B$ son $\left ( \cfrac{7}{3},\cfrac{1}{3} \right )$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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luna
Invité

25 Mar.

muy buena informacion, gracias

luna
Invité

26 Mar.

solo faltaría anexar multiplicación de vectores

Superprof
Administrateur

30 Mar.

Hola, gracias por tu comentario, tenemos una página entera dedicada a las operaciones con vectores, dónde encontrarás también la multiplicación de vectores. Para encontrarla, usa el buscador arriba a la derecha con las palabras «multiplicacion vectores». Un saludo!

Copa
Invité

26 Mar.

Te amo Marta

Huanca
Invité

26 Mar.

Si al punto P = (3, 2) se le aplica una traslación en el vector v = (-2, 1) y luego se refleja respecto al eje de las ordenadas, ¿cuál es la coordenada de la imagen de P bajo estas transformaciones?

Porfa

Superprof
Administrateur

30 Mar.

Hola, notamos con P’ la imagen de P, P’=P + el vector v

P’= (3, 2) + (-2, 1)
P’= (3+(-2), 2+1)
P’= (1, 3)

Para mejor entender las traslaciones de vectores, y otras nociones que te pueden ayudar, no dudes en usar el buscador arriba a la derecha escribiendo las palabras claves que corresponden a tus búsquedas. En nuestra página «traslaciones» encontrarás todas las explicaciones necesarias. ¡Un saludo!

Barrionuevo
Invité

30 Mar.

¿Que modifica de un vector el multiplicarlo por una constante?

Superprof
Administrateur

30 Mar.

Hola Maria, multiplicando un vector por una constante (o escalar K), obtenemos otro vector que satisface algunas propiedades: – tendrá la misma dirección que el vector inicial, si la constante es positiva, también este nuevo vector tendrá el mismo sentido, en el caso de que la constante sea negativa – tendrá sentido opuesto. Si quieres leer más sobre las operaciones con vectores y ver los ejercicios y problemas que te proponemos, te aconsejamos usar el buscador arriba a la derecha. ¡Un saludo!

Suarez
Invité

30 Mar.

Excelente ejercicio

Suarez
Invité

30 Mar.

excelent

Suarez
Invité

30 Mar.

Excelente apliacion para aprender

lilibeth rivera
Invité

1 Abr.

Una hormiga se mueve en un plano bidimensional de tal manera que la posición de la hormiga está determinada por la expresión \vec{s}=(35,0\ \hat{i}-41,0\ \hat{j})m. A partir de la anterior información:
determine el trabajo realizado por la hormiga, teniendo en cuenta que la fuerza ejercida por la hormiga en su desplazamiento \vec{F}=(-11,0\ \hat{i}-7,00\ \hat{j})N.
El ángulo de inclinación entre el vector posición y el vector fuerza.

Karla Paulette Flores Silva
Editor

18 Jun.

Hola,

El ángulo entre dos vectores a y b se calcula con:

|a| |b| cos A =a · b

donde A es el ángulo entre ellos, y el punto denota el producto punto. Por ejemplo, con los vectores que nos compartes sería

|√ (35²+(-41)²)| |√ ((-11)²+(-7)²)| cos A = (35,-41)· (-11,-7)

53.9 * 13.03 cos A = -35*11 + 41*7

702.77 cos A = -385 + 287

702.77 cos A = -98

cos A = -98/702.77

A = cos^-1(-0.1394)

A = 98°

el ángulo de inclinación entre la posición y fuerza es de 98°

¡saludos!

Bazan
Invité

2 Abr.

Hola! Lo que no entiendo es en que situación no sería una combinación lineal, por ejemplo si en un ejercicio me piden que exprese si es posible la continuación lineal de un vector con respecto a otros, yo hago los cálculos que usted explica muy bien pero en que caso no sería combinación lineal??. Nose si entiende mi planteó, ojala que si porque estoy tratando de estudiar esto sola por la cuarentena y me esta costando demasiado. Muchas gracias

Superprof
Administrateur

2 Abr.

Hola, y gracias por el comentario, una combinación lineal es en realidad una suma de vectores multiplicados por escalares. Si usas el buscador arriba a la derecha poniendo combinación lineal como palabra clave, encontrarás nuestra página de explicaciones que acabamos de actualizar para facilitar la comprehension del tema. No seria combinación lineal si los vectores no se suman. Espero haberte ayudado. Ánimo con la cuarentena, y no dudes en escribirnos si te cuesta entender. ¡Un saludo!

Barreto
Invité

3 Abr.

Porque los ejercicios no están resueltos ??

Superprof
Administrateur

3 Abr.

Hola Barreto, todos los ejercicios están resueltos en este artículo. ¿Has encontrado un error en otra página? En el caso que si, te agradecemos si podrías enviarnos un comentario en la página misma donde faltarían las soluciones para poder añadirlas. ¡Un saludo!

Gimenez
Invité

5 Abr.

Como saca los determinantes???? Debería explicar mejor esa parte

Superprof
Administrateur

5 Abr.

Gracias por el comentario, hemos actualizado la página y hemos añadido explicaciones en la resolución de los ejemplos. Espero haberte ayudado a entender mejor. Si todavía te resulta difícil, ¡no dudes en escribirnos! Un saludo 🙂

hernandez goicochea
Invité

5 Abr.

Me ha gustado. En mi opinión yo trato de profundizar en darle a los vectores tambienbuna connotación de rectas. Ya que en si las coordenadas siempre obtenidas. Son coordenadas finales del punto del vector. Quienes dan la escala direccion y sentido. Ahi me parece que para los chicos abriria una puerta de mayor entendimiento y enlace entre la fisica y la geometria. Dando asi mayores caminos y herramientas. Peo muy bien con el resumen.

Superprof
Administrateur

6 Abr.

¡Gracias por el comentario! Un saludo.

Villena
Invité

6 Abr.

Quiero saber … que es traslacion.. rotacion … simetria axial y central …

Superprof
Administrateur

8 Abr.

Hola, te aconsejamos usar el buscador arriba a la derecha, para encontrar las páginas donde explicamos cada uno de estos conceptos. ¡Un saludo!

Bases de dos vectores

¿Como se forma la base de dos vectores?

Clasificación de bases

Base ortogonal

Base ortonormal

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Base ortogonal y base ortonormal – tres vectores

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