Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

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Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 2 son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

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Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar el el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

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Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

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Dados los vectores Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 10y Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 11, hallar los módulos de Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 12 y Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 13·

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Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 15

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

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Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

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Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

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Vector unitario

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

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Operaciones de vectores en el espacio

Suma de vectores

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

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Ejemplos

Dados Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 23= (2, 1, 3), Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 24 = (1, −1, 0), Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 25 = (1, 2, 3), hallar el vector Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 26 = 2u + 3v − w.

Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 27 = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

Dados los vectores Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 28 y Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 29, hallar el módulo del vector Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 30.

Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 31

Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 32

Propiedades de la suma de vectores

Asociativa

Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 33 + (Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 34 + Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 35 ) = (Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 36 + Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 37) + Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 38

Conmutativa

Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 39 + Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 40 = Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 41 + Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 42

Elemento neutro

Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 43 + Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 44 = Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 45

Elemento opuesto

Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 46 + (− Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 47) = Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 48

Producto de un número real por un vector

El producto de un número real k Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 49 Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 50 por un vector Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 51 es otro vector:

De igual dirección que el vector Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 52.

Del mismo sentido que el vector Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 53 si k es positivo.

De sentido contrario del vector Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 54 si k es negativo.

De módulo Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 55

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

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Propiedades del producto de un número por un vector

Asociativa

k · (k' · Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 57 ) = (k · k') · Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 58

Distributiva respecto a la suma de vectores

k · ( Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 59 + Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 60 ) = k · Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 61 + k · Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 62

Distributiva respecto a los escalares

(k + k') · Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 63 = k · Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 64 + k' · Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 65

Elemento neutro

1 · Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 66 = Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 67

Ejemplo

Dado Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 68 = (6, 2, 0) determinar Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 69 de modo que sea 3Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 70 = Explicaciones y ejemplos de vectores en el espacio tridimensional - 71.

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