Integrales inmediatas

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Integrales trigonométricas

Potencias pares de sen x o cos x

Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad:

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Potencias impares de sen x o cos x

Se relacionan el seno y el coseno mediante la fórmula:

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Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 18

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 19

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 20

Con exponente par e impar

El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.

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Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 26

Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)

Se transforman los productos en sumas:

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Integrales por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

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Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Ejemplo

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Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

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Integrales racionales

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

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Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:

1º Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 51 puede escribirse así:

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 52

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

Ejemplo

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Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 54

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 55

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 56

Se efectúa la suma:

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 57

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

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Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

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2º Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 62 puede escribirse así:

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 63

Ejemplo

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Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 65

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 66

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 67

Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.

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3º Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 73 puede escribirse así:

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 74

Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y otra de tipo arcotangente.

Ejemplo

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Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

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Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 83

Integrales por cambio de variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

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Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

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Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

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Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

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Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

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Se vuelve a la variable inical:

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Ejemplo

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Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 92

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Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 94

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Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 97

Cambios de variables usuales

1.

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2.

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 99

3.

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4.

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 101

5.

En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6.

Si Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 102 es par:

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 103

7.

Si Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 104 no es par:

Explicaciones y ejemplos de cálculo integral - 105