Identidades trigonométricas fundamentales

 

1 Relación seno coseno

 

cos^{2}a+sen^{2}a=1

 

 

2 Relación secante tangente

 

sec^{2}a=1 +tg^{2}a

 

 

3 Relación cosecante cotangente

 

cosec^{2}a=1 +cotg^{2}a

 

\displaystyle cosec \ \alpha =\frac{1}{sen \ \alpha}

 

\displaystyle sec \ \alpha =\frac{1}{cos \ \alpha}

 

\displaystyle cotg \ \alpha =\frac{1}{tg \ \alpha}=\frac{cos \ \alpha}{sen \ \alpha}

 

 

Superprof

Ejemplos de ejercicios con identidades trigonométricas fundamentales 

 

1 Sabiendo que tg \ \alpha =2, y que  180^{o}< \alpha< 270^{o}, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo  \alpha .

 

 

\displaystyle cos \ \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sec \ \alpha=-\sqrt{1+4}=-\sqrt{5}

 

\displaystyle sen \ \alpha =2 \cdot \left ( -\frac{\sqrt{5}}{5} \right )=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cosec \ \alpha=-\frac{\sqrt{5}}{2}

 

\displaystyle tg\ \alpha =2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cotg \ \alpha=\frac{1}{2}

 

 

2 Sabiendo que sen \displaystyle sen\ \alpha =\frac{3}{5}, y que  90^{o}< \alpha< 180^{o} , calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo  \alpha .

 

\displaystyle sen\ \alpha =\frac{3}{5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cosec\ \alpha =\frac{5}{3}

 

\displaystyle cos\ \alpha =-\sqrt{1-\left ( \frac{3}{5} \right )^{2}}=-\frac{4}{5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sec\ \alpha =-\frac{5}{4}

 

\displaystyle tg\ \alpha =-\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cotg\ \alpha =-\frac{4}{3}

 

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

 

 

sen(a+b)= sen \ a \ cos \ b \ + cos \ a \ sen \ b

 

sen(a-b)= sen \ a \ cos \ b \ - cos \ a \ sen \ b

 

cos(a+b)= cos \ a \ cos \ b \ - sen \ a \ sen \ b

 

cos(a-b)= cos \ a \ cos \ b \ + sen \ a \ sen \ b

 

\displaystyle tg(a+b)= \frac{tg \ a+tg \ b}{1-tg \ a \cdot tg \ b}

 

\displaystyle tg(a-b)= \frac{tg \ a-tg \ b}{1+tg \ a \cdot tg \ b}

 

Ejemplos de ejercicios con suma y diferencia de ángulos

 

1sen \ 15^{o}=sen(45^{o}-30^{o})=sen \ 45^{o}\ cos \ 30^{o}-cos \45^{o}\ sen \ 30^{o}=

 

\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)

 

2cos \ 15^{o}=cos(45^{o}-30^{o})=cos \ 45^{o}\ cos \ 30^{o}+sen \45^{o}\ sen \ 30^{o}=

 

\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)

 

3\displaystyle = tg \ 15^{o}=\frac{tg \ 45^{o}-tg \ 30^{o}}{1+ tg \ 45^{o}\cdot tg \ 30^{o}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}

 

Razones trigonométricas del ángulo doble

 

sen \ 2 \ a= 2 \ sen \ a \cos \ a

 

cos \ 2 \ a= cos^{2}a-sen^{2}a

 

\displaystyle tg \ 2 \ a= \frac{2\ tg \ a}{1-tg^{2}a}

 

 

Ejemplos de ejercicios con ángulo doble

 

1\displaystyle sen \ 120^{o}= 2 \ sen \ 60^{o}cos \ 60^{o}=2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

2\displaystyle cos \ 120^{o}= cos^{2} \ 60^{o}- sen^{2} \ 60^{o}=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}

 

3\displaystyle tg \ 120^{o}= \frac{2 \ tg \ 60^{o}}{1-tg^{2}60^{o}}=\frac{2\sqrt{3}}{1-3}=-\sqrt{3}

 

Razones trigonométricas del ángulo mitad

 

\displaystyle sen \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos \ A}{2}}

 

\displaystyle cos \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos \ A}{2}}

 

\displaystyle tg \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos \ A}{1+cos \ A}}v

 

 

Ejemplos de ejercicios del ángulo mitad 

 

\displaystyle sen (22^{o}30')=sen\left ( \frac{45^{o}}{2} \right )= \sqrt{\frac{1-cos \ 45^{o}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

 

\displaystyle cos (22^{o}30')=cos \left ( \frac{45^{o}}{2} \right )= \sqrt{\frac{1+cos \ 45^{o}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

 

\displaystyle tg (22^{o}30')=tg \left ( \frac{45^{o}}{2} \right )= \sqrt{\frac{1-cos \ 45^{o}}{1+cos \ 45^{o}}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}

 

Transformación de operaciones

 

Transformaciones de sumas en productos

 

\displaystyle sen A + sen B=2sen\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}

 

\displaystyle sen A - sen B=2cos\frac{A+B}{2}sen\frac{A-B}{2}

 

\displaystyle cos A + cos B=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}

 

\displaystyle cos A - cos B=-2sen\frac{A+B}{2}sen\frac{A-B}{2}

 

 

Ejemplos de transformaciones de sumas en productos 

 

 

1 sen \ 40^{o} + sen \  20^{o}=2 \ sen \ 30^{o} \ cos \ 10^{o}

 

2 sen \ 40^{o} - sen \  20^{o}=2 \ cos \ 30^{o} \ sen \ 10^{o}

 

3 cos \ 40^{o} + cos \  20^{o}=2 \ cos \ 30^{o} \ cos \ 10^{o}

 

4 cos \ 40^{o} - cos \  20^{o}=-2 \ sen \ 30^{o} \ sen \ 10^{o}

 


Transformaciones de productos en sumas

 

\displaystyle sen A \cdot cos B=\frac{1}{2}\left [ sen(A+B)+sen(A-B) \right ]

 

\displaystyle cos A \cdot sen B=\frac{1}{2}\left [ sen(A+B)-sen(A-B) \right ]

 

\displaystyle cos A \cdot cos B=\frac{1}{2}\left [ cos(A+B)+cos(A-B) \right ]

 

\displaystyle sen A \cdot sen B=-\frac{1}{2}\left [ cos(A+B)-cos(A-B) \right ]

 

 

Ejemplos de transformaciones de productos en sumas 

 

1\displaystyle sen \ 3x \cdot cos \ x =\frac{1}{2}( sen \ 4x+ sen \ 2x)

 

2\displaystyle cos \ 3x \cdot sen \ x =\frac{1}{2}( sen \ 4x - sen \ 2x)

 

3\displaystyle cos \ 3x \cdot cos \ x =\frac{1}{2}( cos \ 4x + cos \ 2x)

 

4\displaystyle sen \ 3x \cdot sen \ x =-\frac{1}{2}( cos \ 4x - cos \ 2x)

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Garcia
Garcia
Invité
6 Jun.

Mi ejercicio es 2 tag2A=sec2A/1/2cosec2A no lo entiendo es identidades trigonometrica su tema

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
8 Jul.

Hola
 
en este ejercicio conviene desarrollar el lado derecho y a partir de esto obtener el lado izquierdo. Utilizamos las identidades
 
sec 2A=\displaystyle\frac{1}{cos 2A} y cosec 2A=\displaystyle\frac{1}{sen 2A}
 
Sustituimos las identidades anteriores en el lado derecho de la igualdad de nuestro ejercicio
 
\displaystyle\frac{sec 2A}{\displaystyle\frac{1}{2}cosec 2A} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{cos 2A}}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{sen 2A}}
 
Simplificamos la última expresión
 
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{cos 2A}}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{sen 2A}}=\displaystyle\frac{2 sen 2A}{cos 2A}
 
Aplicamos la identidad
 
tan 2A =\displaystyle\frac{sen 2A}{cos 2A}
 
y obtenemos
 
\displaystyle\frac{2 sen 2A}{cos 2A}=2 tan 2A
 
La cual es la igualdad deseada.
 
Espero haber sido de ayuda.
Un saludo