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Identidades trigonométricas fundamentales
Ejemplos de ejercicios con identidades trigonométricas fundamentales
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Ejemplos de ejercicios con suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Ejemplos de ejercicios con ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Ejemplos de ejercicios del ángulo mitad
Transformación de operaciones

Identidades trigonométricas fundamentales

1 Relación entre seno y coseno

$\cos^{2}{\alpha}+ \sin^{2}{\alpha}=1$

2 Relación entre secante y tangente

$\sec^{2}{\alpha} = 1 + \tan^{2}{\alpha}$

3 Relación entre cosecante y cotangente

$\csc^{2}{\alpha} = 1 + \cot^{2}{\alpha}$

4 Funciones trigonométricas recíprocas

$\displaystyle \csc{\alpha} =\frac{1}{ \sin{\alpha}}$

$\displaystyle \sec{\alpha} =\frac{1}{\cos{\alpha}}$

$\displaystyle \cot{\alpha} =\frac{1}{\tan{\alpha}}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

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Ejemplos de ejercicios con identidades trigonométricas fundamentales

1 Sabiendo que $\tan{\alpha} = 2$ , y que $180^{\circ}< \alpha < 270^{\circ}$ , calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ .

Obtengamos las demás funciones trigonométricas evaluadas en dicho ángulo. Empezaremos con $\sec(\alpha)$ ya que la podemos obtener directamente de $\tan{\alpha}$

$\begin{align*} \sec^2{\alpha} &= 1 + \tan^2{\alpha}\\ \sec^2{\alpha} &= 1 + 4\\ \sec^2{\alpha} &= 5\\ \sec{\alpha} &= \pm \sqrt{5}\\ \end{align*}$

Sin embargo, notemos que para el cuadrante (o rango) donde está definido $\alpha$ , se cumple que $\sec{\alpha} < 0$ , por lo tanto, tenemos que $\sec{\alpha} = - \sqrt{5}$ .

Ahora podemos obtener el $\cos{\alpha}$

$\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{1}{\sec{\alpha}} = - \frac{1}{\sqrt{5}} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Obtengamos el $\sin{\alpha}$ y de este el $\csc{\alpha}$ . Al igual que con el $\sec{\alpha}$ , se tiene que seno es negativo para el cuadrante en el cual está definido $\alpha$ , así

$\begin{align*} \tan{\alpha} &= \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\\ 2 &= \frac{\sin{\alpha}}{- \frac{\sqrt{5}}{5}}\\ - \frac{2\sqrt{5}}{5} &= \sin{\alpha} \end{align*}$

Así ya obtuvimos $\sin{\alpha}$ , ahora notemos que

$\displaystyle \csc{\alpha} = \frac{1}{\sin{\alpha}} = \frac{1}{ - \frac{2\sqrt{5}}{5}} = -\frac{5}{2\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

Por último, obtengamos $\cot{\alpha}$

$\displaystyle \cot{\alpha} = \frac{1}{\tan{\alpha}} = \frac{1}{2}$

2 Sabiendo que se cumple que $\displaystyle \sin{\alpha} =\frac{3}{5}$ , y que $90^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$ , calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ .

Obtengamos las demás funciones trigonométricas evaluadas en dicho ángulo. Empezaremos con $\csc(\alpha)$ ya que la podemos obtener directamente

$\displaystyle \csc{\alpha} = \frac{1}{\sin{\alpha}} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$

Ahora podemos obtener el $\cos{\alpha}$ , notemos que por el intervalo donde está definido $\alpha$ se cumple que el coseno es negativo, así

$\begin{align*} \cos^{2}{\alpha}+ \sin^{2}{\alpha} &=1 \\ \cos^{2}{\alpha}+ \left( \frac{3}{5} \right)^2 &= 1\\ \cos^{2}{\alpha}+ \frac{9}{25} &= 1\\ \cos^{2}{\alpha} &= 1 - \frac{9}{25}\\ \cos^{2}{\alpha} &= \frac{16}{25}\\ \cos{\alpha} &= - \sqrt{\frac{16}{25}}\\ \cos{\alpha} &= -\frac{4}{5}\\ \end{align*}$

Ya que tenemos el coseno, podemos obtener $\sec{\alpha}$ directamente

$\displaystyle \sec{\alpha} = \frac{1}{\cos{\alpha}} = \frac{1}{-\frac{4}{5}} = -\frac{5}{4}$

Ya solo nos falta obtener tangente y cotangente, estas las obtenemos de a partir del seno y el coseno

$\displaystyle \tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{\frac{3}{5}}{ -\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

$\displaystyle \cot{\alpha} = \frac{1}{\tan{\alpha}} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

1. $\displaystyle \sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}$

2. $\displaystyle \sin{(\alpha - \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} - \cos{\alpha}\sin{\beta}$

3. $\displaystyle \cos{(\alpha + \beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}$

4. $\displaystyle \cos{(\alpha - \beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}$

5. $\displaystyle \tan{(\alpha + \beta)} = \frac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\beta}}$

6. $\displaystyle \tan{(\alpha - \beta)} = \frac{\tan{\alpha} - \tan{\beta}}{1 + \tan{\alpha}\tan{\beta}}$

Ejemplos de ejercicios con suma y diferencia de ángulos

1. $\displaystyle \sin{15^{\circ}}$

Para resolver este ejercicio escribiremos nuestro ángulo como la suma de dos ángulos específicos, esto con el fin de utilizar las fórmulas de las funciones trigonométricas aplicada en suma y resta de ángulos

$\begin{align*} \sin{15^{\circ}} &= \sin{(45^{\circ} - 30^{\circ})}\\ &= \sin{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}} - \cos{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{3} - 1) \end{align*}$

2. $\displaystyle \cos{15^{\circ}}$

$\begin{align*} \cos{15^{\circ}} &= \cos{(45^{\circ} - 30^{\circ})}\\ &= \cos{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}} + \sin{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{3} + 1) \end{align*}$

3. $\displaystyle \tan{15^{\circ}}$

$\begin{align*} \tan{15^{\circ}} &= \tan{(45^{\circ} - 30^{\circ})}\\ &= \frac{\tan{45^{\circ}} - \tan{30^{\circ}}}{1 + \tan{45^{\circ}}\tan{30^{\circ}}}\\ &= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \left( 1 \right) \left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\\ &= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}\\ &= 2 - \sqrt{3} \end{align*}$

Razones trigonométricas del ángulo doble

1. $\displaystyle \sin{(2 \alpha)} = 2 \sin{(\alpha)}\cos{(\alpha)}$

2. $\displaystyle \cos{(2 \alpha)} = \cos^{2}{(\alpha)} - \sin^{2}{(\alpha)}$

3. $\displaystyle \tan{(2 \alpha)} = \frac{2 \tan{(\alpha)}}{1 - \tan^{2}{(\alpha)}}$

Ejemplos de ejercicios con ángulo doble

1. $\displaystyle \sin{120^{\circ}}$

Para resolver este ejercicio primero encontraremos la mitad del ángulo dado y posteriormente utilizaremos la fórmula de la función trigonométrica de ángulo doble correspondiente:

$\begin{align*} \sin{120^{\circ}} &= 2 \sin{60^{\circ}} \cos{60^{\circ}}\\ &= 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left( \frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

2. $\displaystyle \cos{120^{\circ}}$

Para resolver este ejercicio primero encontraremos la mitad del ángulo dado y posteriormente utilizaremos la fórmula de la función trigonométrica de ángulo doble correspondiente:

$\begin{align*} \cos{120^{\circ}} &= \cos^2{60^{\circ}} - \sin^2{60^{\circ}}\\ &= \left( \frac{1}{2}\right)^2 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4} - \frac{3}{4}\\ &= - \frac{2}{4}\\ &= - \frac{1}{2} \end{align*}$

3. $\displaystyle \tan{120^{\circ}}$

Para resolver este ejercicio primero encontraremos la mitad del ángulo dado y posteriormente utilizaremos la fórmula de la función trigonométrica de ángulo doble correspondiente:

$\begin{align*} \tan{120^{\circ}} &= \frac{2 \tan{60^{\circ}}}{1 - \tan^{2}{60^{\circ}}}\\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{1 - (\sqrt{3})^2}\\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{1 - 3}\\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{-2}\\ &= - \sqrt{3} \end{align*}$

Razones trigonométricas del ángulo mitad

1. $\displaystyle \sin{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos{(\alpha)}}{2}}$

2. $\displaystyle \cos{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos{(\alpha)}}{2}}$

3. $\displaystyle \tan{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos{(\alpha)}}{1 + \cos{(\alpha)}}$

Ejemplos de ejercicios del ángulo mitad

1. $\displaystyle \sin{(22^{\circ} 30')}$

Para resolver este ejercicio primero obtendremos el doble del ángulo dado y posteriormente aplicaremos la fórmula correspondiente a la función trigonométrica dada. Notemos que por el cuadrante donde está el ángulo, el valor del seno será positivo.

$\begin{align*} \sin{(22^{\circ} 30')} &= \sin{\left( \frac{45^{\circ}}{2}\right)}\\ &= \sqrt{\frac{1 - \cos{ 45^{\circ}}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}\\ &= \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\\ \end{align*}$

2. $\displaystyle \cos{(22^{\circ} 30')}$

$\begin{align*} \cos{(22^{\circ} 30')} &= \cos{\left( \frac{45^{\circ}}{2}\right)}\\ &= \sqrt{\frac{1 + \cos{ 45^{\circ}}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{2 +\sqrt{2}}{4}}\\ &= \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\\ \end{align*}$

3. $\displaystyle \tan{(22^{\circ} 30')}$

$\begin{align*} \tan{(22^{\circ} 30')} &= \tan{\left( \frac{45^{\circ}}{2}\right)}\\ &= \sqrt{\frac{1 - \cos{ 45^{\circ}}}{1 + \cos{ 45^{\circ}}}}\\ &= \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}\\ &= \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}\\ &= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}\\ &= - 1 + \sqrt{2} \end{align*}$

Transformación de operaciones

Transformaciones de sumas en productos

1. $\displaystyle \sin{(\alpha)} + \sin{(\beta)} = 2 \sin{\left( \frac{\alpha + \beta}{2 }\right)}\cos{\left( \frac{\alpha - \beta}{2 }\right)}$

2. $\displaystyle \sin{(\alpha)} - \sin{(\beta)} = 2 \cos{\left( \frac{\alpha + \beta}{2 }\right)}\sin{\left( \frac{\alpha - \beta}{2 }\right)}$

3. $\displaystyle \cos{(\alpha)} + \cos{(\beta)} = 2 \cos{\left( \frac{\alpha + \beta}{2 }\right)}\cos{\left( \frac{\alpha - \beta}{2 }\right)}$

4. $\displaystyle \cos{(\alpha)} - \cos{(\beta)} = - 2 \sin{\left( \frac{\alpha + \beta}{2 }\right)}\sin{\left( \frac{\alpha - \beta}{2 }\right)}$

Ejemplos de transformaciones de sumas en productos

En los próximos ejercicio no escribiremos el valor de la suma, o diferencia, de la suma de las funciones trigonométricas, simplemente la transformaremos a producto de otras funciones trigonométricas, según sea la fórmula que se deba aplicar.

1. $\displaystyle \sin{40^{\circ}} + \sin{20^{\circ}}$

$\begin{align*} \sin{40^{\circ}} + \sin{20^{\circ}} &= 2 \sin{\left( \frac{40^{\circ} + 20^{\circ}}{2 }\right)}\cos{\left( \frac{40^{\circ} - 20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \sin{\left( \frac{60^{\circ}}{2 }\right)}\cos{\left(\frac{20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \sin{30^{\circ}}\cos{10^{\circ}}\\ \end{align*}$

2. $\displaystyle \sin{40^{\circ}} - \sin{20^{\circ}}$

$\begin{align*} \sin{40^{\circ}} - \sin{20^{\circ}} &= 2 \cos{\left( \frac{40^{\circ} + 20^{\circ}}{2 }\right)}\sin{\left( \frac{40^{\circ} - 20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \cos{\left( \frac{60^{\circ}}{2 }\right)}\sin{\left(\frac{20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \cos{30^{\circ}}\sin{10^{\circ}}\\ \end{align*}$

3. $\displaystyle \cos{40^{\circ}} + \cos{20^{\circ}}$

$\begin{align*} \cos{40^{\circ}} + \cos{20^{\circ}} &= 2 \cos{\left( \frac{40^{\circ} + 20^{\circ}}{2 }\right)}\cos{\left( \frac{40^{\circ} - 20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \cos{\left( \frac{60^{\circ}}{2 }\right)}\cos{\left(\frac{20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \cos{30^{\circ}}\cos{10^{\circ}}\\ \end{align*}$

4. $\displaystyle \cos{40^{\circ}} - \cos{20^{\circ}}$

$\begin{align*} \cos{40^{\circ}} - \cos{20^{\circ}} &= -2 \sin{\left( \frac{40^{\circ} + 20^{\circ}}{2 }\right)}\sin{\left( \frac{40^{\circ} - 20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= -2 \sin{\left( \frac{60^{\circ}}{2 }\right)}\sin{\left(\frac{20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= -2 \sin{30^{\circ}}\sin{10^{\circ}}\\ \end{align*}$

Transformaciones de productos en sumas

1. $\displaystyle \sin{(\alpha)} \cdot \cos{(\beta)} = \frac{1}{2} \left[ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)}\right]$

2. $\displaystyle \cos{(\alpha)} \cdot \sin{(\beta)} = \frac{1}{2} \left[ \sin{(\alpha + \beta)} - \sin{(\alpha - \beta)} \right]$

3. $\displaystyle \cos{(\alpha)} \cdot \cos{(\beta)} = \frac{1}{2} \left[ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha - \beta)}\right]$

4. $\displaystyle \sin{(\alpha)} \cdot \sin{(\beta)} = - \frac{1}{2} \left[ \cos{(\alpha + \beta)} - \cos{(\alpha - \beta)}\right]$

Ejemplos de transformaciones de productos en sumas

En los próximos ejercicio no escribiremos el valor de la multiplicación de las funciones trigonométricas, simplemente la transformaremos a la suma, o diferencia, de otras funciones trigonométricas, según sea la fórmula que se deba aplicar.

1. $\displaystyle \sin{3x}\cos{x}$

$\begin{align*} \sin{3x}\cos{x} &= \frac{1}{2} \left[ \sin{(3x + x)} + \sin{(3x - x)}\right]\\ &= \frac{1}{2} \left[ \sin{4x} + \sin{2x}\right]\\ \end{align*}$

2. $\displaystyle \cos{3x}\sin{x}$

$\begin{align*} \cos{3x}\sin{x} &= \frac{1}{2} \left[ \sin{(3x + x)} - \sin{(3x - x)}\right]\\ &= \frac{1}{2} \left[ \sin{4x} - \sin{2x}\right]\\ \end{align*}$

3. $\displaystyle \cos{3x}\cos{x}$

$\begin{align*} \cos{3x}\cos{x} &= \frac{1}{2} \left[ \cos{(3x + x)} + \cos{(3x - x)}\right]\\ &= \frac{1}{2} \left[ \cos{4x} + \cos{2x}\right]\\ \end{align*}$

4. $\displaystyle \sin{3x}\sin{x}$

$\begin{align*} \sin{3x}\sin{x} &= -\frac{1}{2} \left[ \cos{(3x + x)} - \cos{(3x - x)}\right]\\ &= - \frac{1}{2} \left[ \cos{4x} - \cos{2x}\right]\\ \end{align*}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de trigonometria I

Resumen de trigonometria II

Teoría

Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible

Medida de angulos

Resolucion de triangulos rectangulos

Seno, coseno y tangente de 30º, 45º y 60º

Teorema del seno y coseno

Las ecuaciones trigonometricas

Todo sobre las ecuaciones trigonometricas

Números cardinales

Funcion trigonometrica

Razones trigonometricas de angulos

Identidades trigonometricas fundamentales

Resolucion de triangulos conociendo dos lados y el angulo

Calculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible

Resolver un triangulo conociendo los tres lados

Ejercicios de triangulos rectangulos

Resolucion de triangulos oblicuangulos

Aplicaciones de la Trigonometría

Angulos negativos y mayores de 360º

Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles

Razones trigonometricas de otros angulos

Ángulos complementarios

Resolución de triángulos I

Definición y medida de ángulos

Angulos suplementarios

Angulos que se diferencian en 180°

Ángulos opuestos

Fórmulas

Que es el Arcocoseno

Qué es el Arcotangente

Área del triángulo

Que es la funcion cosecante: caracteristicas

Qué es la Función coseno

Qué es la Función cotangente

Qué es la Función secante

Qué es una Función tangente

Razones trigonometricas

Qué es la Secante

Qué es el Seno

Sistemas de ecuaciones trigonométricas

Razones trigonometricas del angulo doble

Formulas de trigonometria

Resolucion de triangulos

Reduccion de angulos al primer cuadrante

¿Que es el Arcoseno?

Que es un triangulo oblicuangulo

Angulos notables

Definicion de la tangente y propiedades

Definición de coseno y sus principales idéntidades trigonométricas

Qué es el Teorema del seno

Qué es una Función trigonométrica inversa

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Que es la cotangente

Los Teoremas de Trigonometría

Identidades trigonometrica

Qué es el Teorema del Coseno

Que es la Cosecante

Que es la funcion seno

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de medida de ángulos

Ejercicios interactivos de ángulos negativos, opuestos y que superan una vuelta

Ejercicios interactivos de triángulos rectángulos II

Ejercicios interactivos de razones trigonometricas

Ejercicios interactivos de ángulos notables

Ejercicios interactivos de ángulos complementarios y suplementarios II

Ejercicios de triangulos rectangulos

Ejercicios interactivos de ángulos complementarios y suplementarios

Ejercicios interactivos de identidades trigonometricas

Otros ejercicios

Ejercicios con triangulos oblicuangulos

Ejercicios y problemas resueltos de Trigonometria II

Ejercicios de identidades trigonometricas

Ejercicios con ecuaciones trigonometricas

Problemas de triangulos rectangulos

Ejercicios y problemas resueltos de trigonometria

Sistemas de ecuaciones trigonometricas

Ejercicios de Trigonometria

Ejercicios Trigonometría III

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Luis Alberto

Junio 2022

Por favor necesito ayuda con la expresión Sen (5n)/ Sen (4n)

Mari cruz

Abril 2022

Hola me podrian ayudar porfavor
Sec a + csc a = sen a + cos a
___________ __________
Sec a -csc a = sen a -cos a

David Paez

Marzo 2022

Holaa me podrias ayuda a resolver el siguiente ejercicio: Integral de 1 sobre X a la 4 más 3.

María Gonzalez

Febrero 2022

Hola mi ejercicio es Demostrar que sec A – tag A * sen A = cos A
ayudenme porfa

geanella

Febrero 2022

mi ejercicio es este Halla el valor de “x” Si: Cot(3x + 10°).Tan(x + 40º) = 1

Britney

Enero 2022

hola alguien me podria ayudar con el siguiente ejercicio
Verifique las siguientes entidades trigonometricas
tanα+cotα=secα x cscα

Mari cruz

Abril 2022

Hola me podrian ayudar porfavor
Sec a + csc a = sen a + cos a
___________ __________
Sec a -csc a = sen a -cos a

Identidades trigonométricas y sus propiedades

Identidades trigonométricas fundamentales

Ejemplos de ejercicios con identidades trigonométricas fundamentales

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

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