Identidades trigonométricas fundamentales

 

1 Relación entre seno y coseno

 

 \cos^{2}{\alpha}+ \sin^{2}{\alpha}=1

 

 

2 Relación entre secante y tangente

 

 \sec^{2}{\alpha} = 1 + \tan^{2}{\alpha}

 

 

3 Relación entre cosecante y cotangente

 

 \csc^{2}{\alpha} = 1 + \cot^{2}{\alpha}

 

4 Funciones trigonométricas recíprocas

 

\displaystyle \csc{\alpha} =\frac{1}{ \sin{\alpha}}

 

\displaystyle \sec{\alpha} =\frac{1}{\cos{\alpha}}

 

\displaystyle \cot{\alpha} =\frac{1}{\tan{\alpha}}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}

 

 

Ejemplos de ejercicios con identidades trigonométricas fundamentales 

 

1 Sabiendo que \tan{\alpha} = 2 , y que  180^{\circ}< \alpha < 270^{\circ}, calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo  \alpha .

Obtengamos las demás funciones trigonométricas evaluadas en dicho ángulo. Empezaremos con \sec(\alpha) ya que la podemos obtener directamente de \tan{\alpha}

 

     \begin{align*} \sec^2{\alpha} &= 1 + \tan^2{\alpha}\\ \sec^2{\alpha} &= 1 + 4\\ \sec^2{\alpha} &= 5\\ \sec{\alpha} &= \pm \sqrt{5}\\ \end{align*}

 

Sin embargo, notemos que para el cuadrante (o rango) donde está definido \alpha, se cumple que \sec{\alpha} < 0, por lo tanto, tenemos que \sec{\alpha} = - \sqrt{5}.

 

Ahora podemos obtener el \cos{\alpha}

 

\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{1}{\sec{\alpha}} = - \frac{1}{\sqrt{5}} = - \frac{\sqrt{5}}{5}

 

Obtengamos el \sin{\alpha} y de este el \csc{\alpha}. Al igual que con el \sec{\alpha} , se tiene que seno es negativo para el cuadrante en el cual está definido \alpha, así

 

     \begin{align*} \tan{\alpha} &= \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\\ 2 &= \frac{\sin{\alpha}}{- \frac{\sqrt{5}}{5}}\\ - \frac{2\sqrt{5}}{5} &= \sin{\alpha} \end{align*}

 

Así ya obtuvimos \sin{\alpha}, ahora notemos que

 

\displaystyle \csc{\alpha} = \frac{1}{\sin{\alpha}} = \frac{1}{ - \frac{2\sqrt{5}}{5}} = -\frac{5}{2\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}

 

Por último, obtengamos \cot{\alpha}

 

\displaystyle \cot{\alpha} = \frac{1}{\tan{\alpha}} = \frac{1}{2}

 

2 Sabiendo que se cumple que \displaystyle \sin{\alpha} =\frac{3}{5}, y que  90^{\circ}< \alpha< 180^{\circ} , calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo  \alpha .

Obtengamos las demás funciones trigonométricas evaluadas en dicho ángulo. Empezaremos con \csc(\alpha) ya que la podemos obtener directamente

 

\displaystyle \csc{\alpha} = \frac{1}{\sin{\alpha}} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}

 

Ahora podemos obtener el \cos{\alpha}, notemos que por el intervalo donde está definido \alpha se cumple que el coseno es negativo, así

 

     \begin{align*} \cos^{2}{\alpha}+ \sin^{2}{\alpha} &=1 \\ \cos^{2}{\alpha}+ \left( \frac{3}{5} \right)^2 &= 1\\ \cos^{2}{\alpha}+ \frac{9}{25} &= 1\\ \cos^{2}{\alpha} &= 1 - \frac{9}{25}\\ \cos^{2}{\alpha} &= \frac{16}{25}\\ \cos{\alpha} &= - \sqrt{\frac{16}{25}}\\ \cos{\alpha} &= -\frac{4}{5}\\ \end{align*}

 

Ya que tenemos el coseno, podemos obtener \sec{\alpha} directamente

 

\displaystyle \sec{\alpha} = \frac{1}{\cos{\alpha}} = \frac{1}{-\frac{4}{5}} = -\frac{5}{4}

 

Ya solo nos falta obtener tangente y cotangente, estas las obtenemos de a partir del seno y el coseno

 

\displaystyle \tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{\frac{3}{5}}{ -\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}

 

\displaystyle \cot{\alpha} = \frac{1}{\tan{\alpha}} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}

 

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

 

 

1. \displaystyle \sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}

 

2. \displaystyle \sin{(\alpha - \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} - \cos{\alpha}\sin{\beta}

 

3. \displaystyle \cos{(\alpha + \beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}

 

4. \displaystyle \cos{(\alpha - \beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}

 

5. \displaystyle \tan{(\alpha + \beta)} = \frac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\beta}}

 

6. \displaystyle \tan{(\alpha - \beta)} = \frac{\tan{\alpha} - \tan{\beta}}{1 + \tan{\alpha}\tan{\beta}}

 

Ejemplos de ejercicios con suma y diferencia de ángulos

 

1. \displaystyle \sin{15^{\circ}}

Para resolver este ejercicio escribiremos nuestro ángulo como la suma de dos ángulos específicos, esto con el fin de utilizar las fórmulas de las funciones trigonométricas aplicada en suma y resta de ángulos

 

     \begin{align*} \sin{15^{\circ}} &= \sin{(45^{\circ} - 30^{\circ})}\\ &= \sin{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}} - \cos{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{3} - 1) \end{align*}

 

2. \displaystyle \cos{15^{\circ}}

Para resolver este ejercicio escribiremos nuestro ángulo como la suma de dos ángulos específicos, esto con el fin de utilizar las fórmulas de las funciones trigonométricas aplicada en suma y resta de ángulos

 

     \begin{align*} \cos{15^{\circ}} &= \cos{(45^{\circ} - 30^{\circ})}\\ &= \cos{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}} + \sin{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{3} + 1) \end{align*}

 

3. \displaystyle \tan{15^{\circ}}

Para resolver este ejercicio escribiremos nuestro ángulo como la suma de dos ángulos específicos, esto con el fin de utilizar las fórmulas de las funciones trigonométricas aplicada en suma y resta de ángulos

 

     \begin{align*} \tan{15^{\circ}} &= \tan{(45^{\circ} - 30^{\circ})}\\ &= \frac{\tan{45^{\circ}} - \tan{30^{\circ}}}{1 + \tan{45^{\circ}}\tan{30^{\circ}}}\\ &= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \left( 1 \right) \left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\\ &= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}\\ &= 2 - \sqrt{3} \end{align*}

 

 

Razones trigonométricas del ángulo doble

 

1. \displaystyle \sin{(2 \alpha)} = 2 \sin{(\alpha)}\cos{(\alpha)}

 

2. \displaystyle \cos{(2 \alpha)} = \cos^{2}{(\alpha)} - \sin^{2}{(\alpha)}

 

3. \displaystyle \tan{(2 \alpha)} = \frac{2 \tan{(\alpha)}}{1 - \tan^{2}{(\alpha)}}

 

Ejemplos de ejercicios con ángulo doble

 

1. \displaystyle \sin{120^{\circ}}

Para resolver este ejercicio primero encontraremos la mitad del ángulo dado y posteriormente utilizaremos la fórmula de la función trigonométrica de ángulo doble correspondiente:

 

     \begin{align*} \sin{120^{\circ}} &= 2 \sin{60^{\circ}} \cos{60^{\circ}}\\ &= 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left( \frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

 

2. \displaystyle \cos{120^{\circ}}

Para resolver este ejercicio primero encontraremos la mitad del ángulo dado y posteriormente utilizaremos la fórmula de la función trigonométrica de ángulo doble correspondiente:

 

     \begin{align*} \cos{120^{\circ}} &= \cos^2{60^{\circ}} - \sin^2{60^{\circ}}\\ &= \left( \frac{1}{2}\right)^2 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4} - \frac{3}{4}\\ &= - \frac{2}{4}\\ &= - \frac{1}{2} \end{align*}

 

3. \displaystyle \tan{120^{\circ}}

Para resolver este ejercicio primero encontraremos la mitad del ángulo dado y posteriormente utilizaremos la fórmula de la función trigonométrica de ángulo doble correspondiente:

 

     \begin{align*} \tan{120^{\circ}} &= \frac{2 \tan{60^{\circ}}}{1 - \tan^{2}{60^{\circ}}}\\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{1 - (\sqrt{3})^2}\\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{1 - 3}\\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{-2}\\ &= - \sqrt{3} \end{align*}

 

Razones trigonométricas del ángulo mitad

 

1. \displaystyle \sin{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos{(\alpha)}}{2}}

 

2. \displaystyle \cos{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos{(\alpha)}}{2}}

 

3. \displaystyle \tan{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos{(\alpha)}}{1 + \cos{(\alpha)}}

 

Ejemplos de ejercicios del ángulo mitad 

 

1. \displaystyle \sin{(22^{\circ} 30')}

Para resolver este ejercicio primero obtendremos el doble del ángulo dado y posteriormente aplicaremos la fórmula correspondiente a la función trigonométrica dada. Notemos que por el cuadrante donde está el ángulo, el valor del seno será positivo.

 

     \begin{align*} \sin{(22^{\circ} 30')} &= \sin{\left( \frac{45^{\circ}}{2}\right)}\\ &= \sqrt{\frac{1 - \cos{ 45^{\circ}}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}\\ &= \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\\ \end{align*}

 

2. \displaystyle \cos{(22^{\circ} 30')}

Para resolver este ejercicio primero obtendremos el doble del ángulo dado y posteriormente aplicaremos la fórmula correspondiente a la función trigonométrica dada. Notemos que por el cuadrante donde está el ángulo, el valor del coseno será positivo.

 

     \begin{align*} \cos{(22^{\circ} 30')} &= \cos{\left( \frac{45^{\circ}}{2}\right)}\\ &= \sqrt{\frac{1 + \cos{ 45^{\circ}}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{2 +\sqrt{2}}{4}}\\ &= \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\\ \end{align*}

 

3. \displaystyle \tan{(22^{\circ} 30')}

Para resolver este ejercicio primero obtendremos el doble del ángulo dado y posteriormente aplicaremos la fórmula correspondiente a la función trigonométrica dada. Notemos que por el cuadrante donde está el ángulo, el valor de la tangente será positivo.

 

     \begin{align*} \tan{(22^{\circ} 30')} &= \tan{\left( \frac{45^{\circ}}{2}\right)}\\ &= \sqrt{\frac{1 - \cos{ 45^{\circ}}}{1 + \cos{ 45^{\circ}}}}\\ &= \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}\\ &= \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}\\ &= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}\\ &= - 1 + \sqrt{2} \end{align*}

 

Transformación de operaciones

 

Transformaciones de sumas en productos

 

1. \displaystyle \sin{(\alpha)} + \sin{(\beta)} = 2 \sin{\left( \frac{\alpha + \beta}{2 }\right)}\cos{\left( \frac{\alpha - \beta}{2 }\right)}

 

2. \displaystyle \sin{(\alpha)} - \sin{(\beta)} = 2 \cos{\left( \frac{\alpha + \beta}{2 }\right)}\sin{\left( \frac{\alpha - \beta}{2 }\right)}

 

3. \displaystyle \cos{(\alpha)} + \cos{(\beta)} = 2 \cos{\left( \frac{\alpha + \beta}{2 }\right)}\cos{\left( \frac{\alpha - \beta}{2 }\right)}

 

4. \displaystyle \cos{(\alpha)} - \cos{(\beta)} = - 2 \sin{\left( \frac{\alpha + \beta}{2 }\right)}\sin{\left( \frac{\alpha - \beta}{2 }\right)}

 

Ejemplos de transformaciones de sumas en productos 

 

En los próximos ejercicio no escribiremos el valor de la suma, o diferencia, de la suma de las funciones trigonométricas, simplemente la transformaremos a producto de otras funciones trigonométricas, según sea la fórmula que se deba aplicar.

 

1. \displaystyle \sin{40^{\circ}} + \sin{20^{\circ}}

     \begin{align*} \sin{40^{\circ}} + \sin{20^{\circ}} &= 2 \sin{\left( \frac{40^{\circ} + 20^{\circ}}{2 }\right)}\cos{\left( \frac{40^{\circ} - 20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \sin{\left( \frac{60^{\circ}}{2 }\right)}\cos{\left(\frac{20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \sin{30^{\circ}}\cos{10^{\circ}}\\ \end{align*}

 

2. \displaystyle \sin{40^{\circ}} - \sin{20^{\circ}}

     \begin{align*} \sin{40^{\circ}} - \sin{20^{\circ}} &= 2 \cos{\left( \frac{40^{\circ} + 20^{\circ}}{2 }\right)}\sin{\left( \frac{40^{\circ} - 20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \cos{\left( \frac{60^{\circ}}{2 }\right)}\sin{\left(\frac{20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \cos{30^{\circ}}\sin{10^{\circ}}\\ \end{align*}

 

3. \displaystyle \cos{40^{\circ}} + \cos{20^{\circ}}

     \begin{align*} \cos{40^{\circ}} + \cos{20^{\circ}} &= 2 \cos{\left( \frac{40^{\circ} + 20^{\circ}}{2 }\right)}\cos{\left( \frac{40^{\circ} - 20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \cos{\left( \frac{60^{\circ}}{2 }\right)}\cos{\left(\frac{20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= 2 \cos{30^{\circ}}\cos{10^{\circ}}\\ \end{align*}

 

4. \displaystyle \cos{40^{\circ}} - \cos{20^{\circ}}

     \begin{align*} \cos{40^{\circ}} - \cos{20^{\circ}} &= -2 \sin{\left( \frac{40^{\circ} + 20^{\circ}}{2 }\right)}\sin{\left( \frac{40^{\circ} - 20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= -2 \sin{\left( \frac{60^{\circ}}{2 }\right)}\sin{\left(\frac{20^{\circ}}{2 }\right)}\\ &= -2 \sin{30^{\circ}}\sin{10^{\circ}}\\ \end{align*}

 

Transformaciones de productos en sumas

 

1. \displaystyle \sin{(\alpha)} \cdot \cos{(\beta)} = \frac{1}{2} \left[ \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)}\right]

 

2. \displaystyle \cos{(\alpha)} \cdot \sin{(\beta)} = \frac{1}{2} \left[ \sin{(\alpha + \beta)} - \sin{(\alpha - \beta)} \right]

 

3. \displaystyle \cos{(\alpha)} \cdot \cos{(\beta)} = \frac{1}{2} \left[ \cos{(\alpha + \beta)} + \cos{(\alpha - \beta)}\right]

 

4. \displaystyle \sin{(\alpha)} \cdot \sin{(\beta)} = - \frac{1}{2} \left[ \cos{(\alpha + \beta)} - \cos{(\alpha - \beta)}\right]

 

Ejemplos de transformaciones de productos en sumas 

 

En los próximos ejercicio no escribiremos el valor de la multiplicación de las funciones trigonométricas, simplemente la transformaremos a la suma, o diferencia, de otras funciones trigonométricas, según sea la fórmula que se deba aplicar.

 

1. \displaystyle \sin{3x}\cos{x}

     \begin{align*} \sin{3x}\cos{x} &= \frac{1}{2} \left[ \sin{(3x + x)} + \sin{(3x - x)}\right]\\ &= \frac{1}{2} \left[ \sin{4x} + \sin{2x}\right]\\ \end{align*}

 

2. \displaystyle \cos{3x}\sin{x}

     \begin{align*} \cos{3x}\sin{x} &= \frac{1}{2} \left[ \sin{(3x + x)} - \sin{(3x - x)}\right]\\ &= \frac{1}{2} \left[ \sin{4x} - \sin{2x}\right]\\ \end{align*}

 

3. \displaystyle \cos{3x}\cos{x}

     \begin{align*} \cos{3x}\cos{x} &= \frac{1}{2} \left[ \cos{(3x + x)} + \cos{(3x - x)}\right]\\ &= \frac{1}{2} \left[ \cos{4x} + \cos{2x}\right]\\ \end{align*}

 

4. \displaystyle \sin{3x}\sin{x}

     \begin{align*} \sin{3x}\sin{x} &= -\frac{1}{2} \left[ \cos{(3x + x)} - \cos{(3x - x)}\right]\\ &= - \frac{1}{2} \left[ \cos{4x} - \cos{2x}\right]\\ \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗