Name: Identidades trigonometricas
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Identidades trigonométricas fundamentales
Ejemplos de ejercicios con identidades trigonométricas fundamentales
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Ejemplos de ejercicios con suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Ejemplos de ejercicios con ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Ejemplos de ejercicios del ángulo mitad
Transformación de operaciones

Identidades trigonométricas fundamentales

1 Relación seno coseno

$cos^{2}a+sen^{2}a=1$

2 Relación secante tangente

$sec^{2}a=1 +tg^{2}a$

3 Relación cosecante cotangente

$cosec^{2}a=1 +cotg^{2}a$

$\displaystyle cosec \ \alpha =\frac{1}{sen \ \alpha}$

$\displaystyle sec \ \alpha =\frac{1}{cos \ \alpha}$

$\displaystyle cotg \ \alpha =\frac{1}{tg \ \alpha}=\frac{cos \ \alpha}{sen \ \alpha}$

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Ejemplos de ejercicios con identidades trigonométricas fundamentales

1 Sabiendo que $tg \ \alpha =2$ , y que $180^{o}< \alpha< 270^{o}$ , calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ .

$\displaystyle cos \ \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sec \ \alpha=-\sqrt{1+4}=-\sqrt{5}$

$\displaystyle sen \ \alpha =2 \cdot \left ( -\frac{\sqrt{5}}{5} \right )=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cosec \ \alpha=-\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\displaystyle tg\ \alpha =2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cotg \ \alpha=\frac{1}{2}$

2 Sabiendo que sen $\displaystyle sen\ \alpha =\frac{3}{5}$ , y que $90^{o}< \alpha< 180^{o}$ , calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ .

$\displaystyle sen\ \alpha =\frac{3}{5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cosec\ \alpha =\frac{5}{3}$

$\displaystyle cos\ \alpha =-\sqrt{1-\left ( \frac{3}{5} \right )^{2}}=-\frac{4}{5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sec\ \alpha =-\frac{5}{4}$

$\displaystyle tg\ \alpha =-\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cotg\ \alpha =-\frac{4}{3}$

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

$sen(a+b)= sen \ a \ cos \ b \ + cos \ a \ sen \ b$

$sen(a-b)= sen \ a \ cos \ b \ - cos \ a \ sen \ b$

$cos(a+b)= cos \ a \ cos \ b \ - sen \ a \ sen \ b$

$cos(a-b)= cos \ a \ cos \ b \ + sen \ a \ sen \ b$

$\displaystyle tg(a+b)= \frac{tg \ a+tg \ b}{1-tg \ a \cdot tg \ b}$

$\displaystyle tg(a-b)= \frac{tg \ a-tg \ b}{1+tg \ a \cdot tg \ b}$

Ejemplos de ejercicios con suma y diferencia de ángulos

1 $sen \ 15^{o}=sen(45^{o}-30^{o})=sen \ 45^{o}\ cos \ 30^{o}-cos \45^{o}\ sen \ 30^{o}=$

$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$

2 $cos \ 15^{o}=cos(45^{o}-30^{o})=cos \ 45^{o}\ cos \ 30^{o}+sen \45^{o}\ sen \ 30^{o}=$

$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$

3 $\displaystyle = tg \ 15^{o}=\frac{tg \ 45^{o}-tg \ 30^{o}}{1+ tg \ 45^{o}\cdot tg \ 30^{o}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

Razones trigonométricas del ángulo doble

$sen \ 2 \ a= 2 \ sen \ a \cos \ a$

$cos \ 2 \ a= cos^{2}a-sen^{2}a$

$\displaystyle tg \ 2 \ a= \frac{2\ tg \ a}{1-tg^{2}a}$

Ejemplos de ejercicios con ángulo doble

1 $\displaystyle sen \ 120^{o}= 2 \ sen \ 60^{o}cos \ 60^{o}=2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

2 $\displaystyle cos \ 120^{o}= cos^{2} \ 60^{o}- sen^{2} \ 60^{o}=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$

3 $\displaystyle tg \ 120^{o}= \frac{2 \ tg \ 60^{o}}{1-tg^{2}60^{o}}=\frac{2\sqrt{3}}{1-3}=-\sqrt{3}$

Razones trigonométricas del ángulo mitad

$\displaystyle sen \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos \ A}{2}}$

$\displaystyle cos \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos \ A}{2}}$

$\displaystyle tg \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos \ A}{1+cos \ A}}$ v

Ejemplos de ejercicios del ángulo mitad

$\displaystyle sen (22^{o}30')=sen\left ( \frac{45^{o}}{2} \right )= \sqrt{\frac{1-cos \ 45^{o}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$\displaystyle cos (22^{o}30')=cos \left ( \frac{45^{o}}{2} \right )= \sqrt{\frac{1+cos \ 45^{o}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$\displaystyle tg (22^{o}30')=tg \left ( \frac{45^{o}}{2} \right )= \sqrt{\frac{1-cos \ 45^{o}}{1+cos \ 45^{o}}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}$

Transformación de operaciones

Transformaciones de sumas en productos

$\displaystyle sen A + sen B=2sen\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$

$\displaystyle sen A - sen B=2cos\frac{A+B}{2}sen\frac{A-B}{2}$

$\displaystyle cos A + cos B=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$

$\displaystyle cos A - cos B=-2sen\frac{A+B}{2}sen\frac{A-B}{2}$

Ejemplos de transformaciones de sumas en productos

1 $sen \ 40^{o} + sen \ 20^{o}=2 \ sen \ 30^{o} \ cos \ 10^{o}$

2 $sen \ 40^{o} - sen \ 20^{o}=2 \ cos \ 30^{o} \ sen \ 10^{o}$

3 $cos \ 40^{o} + cos \ 20^{o}=2 \ cos \ 30^{o} \ cos \ 10^{o}$

4 $cos \ 40^{o} - cos \ 20^{o}=-2 \ sen \ 30^{o} \ sen \ 10^{o}$

Transformaciones de productos en sumas

$\displaystyle sen A \cdot cos B=\frac{1}{2}\left [ sen(A+B)+sen(A-B) \right ]$

$\displaystyle cos A \cdot sen B=\frac{1}{2}\left [ sen(A+B)-sen(A-B) \right ]$

$\displaystyle cos A \cdot cos B=\frac{1}{2}\left [ cos(A+B)+cos(A-B) \right ]$

$\displaystyle sen A \cdot sen B=-\frac{1}{2}\left [ cos(A+B)-cos(A-B) \right ]$

Ejemplos de transformaciones de productos en sumas

1 $\displaystyle sen \ 3x \cdot cos \ x =\frac{1}{2}( sen \ 4x+ sen \ 2x)$

2 $\displaystyle cos \ 3x \cdot sen \ x =\frac{1}{2}( sen \ 4x - sen \ 2x)$

3 $\displaystyle cos \ 3x \cdot cos \ x =\frac{1}{2}( cos \ 4x + cos \ 2x)$

4 $\displaystyle sen \ 3x \cdot sen \ x =-\frac{1}{2}( cos \ 4x - cos \ 2x)$

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Marta

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Garcia
Invité

6 Jun.

Mi ejercicio es 2 tag2A=sec2A/1/2cosec2A no lo entiendo es identidades trigonometrica su tema

Gaspar Leon
Editor

8 Jul.

Hola

en este ejercicio conviene desarrollar el lado derecho y a partir de esto obtener el lado izquierdo. Utilizamos las identidades

$sec 2A=\displaystyle\frac{1}{cos 2A}$ y $cosec 2A=\displaystyle\frac{1}{sen 2A}$

Sustituimos las identidades anteriores en el lado derecho de la igualdad de nuestro ejercicio

$\displaystyle\frac{sec 2A}{\displaystyle\frac{1}{2}cosec 2A} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{cos 2A}}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{sen 2A}}$

Simplificamos la última expresión

$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{cos 2A}}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{sen 2A}}=\displaystyle\frac{2 sen 2A}{cos 2A}$

Aplicamos la identidad

$tan 2A =\displaystyle\frac{sen 2A}{cos 2A}$

y obtenemos

$\displaystyle\frac{2 sen 2A}{cos 2A}=2 tan 2A$

La cual es la igualdad deseada.

Espero haber sido de ayuda.
Un saludo

Identidades trigonométricas y sus propiedades

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