Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.

Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

Ejemplos

1.

Comprobar si los puntos A(1, 2, 3), B(4, ,7, 8), C(3, 5, 5), D(−1, −2, −3) y E(2, 2, 2) son coplanarios.

Los puntos A, B, C, D y E son coplanarios si:

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Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.

2.

Determinar el valor de x para que los puntos A(0, 0, 1), B(0, 1, 2), C(−2, 1, 3) y D(x, x-1, 2) sean coplanarios.

Para que los puntos sean coplanarios, los vectores determinados por ellos también han de ser coplanarios, es decir, que el rango de los vectores sea 2.

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Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes de los vectores ha de ser igual a cero.

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3.

¿Qué en relación se ha de verificar entre los parámetros a, b y c para que los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1) y D(a, b, c) sean coplanarios?

Los puntos A, B, C y D son coplanarios si:

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4.

Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y (7, 2, 1) sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que los contiene.

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