Para hablar de sistemas de referencia en el plano cartesiano, primero debemos definir la noción de base. A partir de ahi podremos definir dos tipos de sistemas de referencia, el ortogonal y el ortonormal.

Base

Dos vectores en el plano \vec{u} y \vec{v} son linealmente independiente, si \vec{u}\neq k\vec{v} para toda constante k. Dichos vectores linealmente independientes, con distintas direcciones, forman una base, porque cualquier vector del plano puede ser escrito como combinación lineal de \vec{u} y \vec{v}, esto es, dado un vector \vec{w},

    $$\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.$$

Como primer ejemplo tenemos la siguiente grafica,

Vectores linealmente independientes

Las coordenadas del vector \vec{w} respecto a la base definida por \vec{u} y \vec{v} estan dadas por

    $$\vec{w}=(a,b).$$

Ejemplos
1 Dados lo siguiente vectores obtener sus coordenadas respecto a la base definida por \vec{u} y \vec{v}.

    $$\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v},\quad \vec{z}=-\cfrac{1}{2}\vec{u}-2\vec{v}.$$

Como solución tenemos que las coordenadas estan dadas por

    $$\vec{w}=(2,3),\quad \vec{z}=\left(-\cfrac{1}{2},-2\right).$$

2 Que pares de los siguiente vectores forman una base,

    $$\vec{u}=(2,-3),\quad \vec{v}=\left(5,1\right),\quad \vec{w}=(-4,6).$$

Para saber si dos vectores (a,b) y (c,d) forman una base, comprobamos si la siguiente igualdad no se satisfaga,

    $$ad=bc.$$

Para la pareja \left{\vec{u},\vec{v}\right}, tenemos

    $$(2)(1)=2\neq-15=(5)(-3).$$

Por lo tanto \left{\vec{u},\vec{v}\right} forman una base.

Para la pareja \left{\vec{u},\vec{w}\right}, tenemos

    $$(2)(6)=12=12=(-4)(-3).$$

Por lo tanto \left{\vec{u},\vec{w}\right} no forman una base.

Para la pareja \left{\vec{v},\vec{w}\right}, tenemos

    $$(5)(6)=30\neq-4=(1)(-4).$$

Por lo tanto \left{\vec{v},\vec{w}\right} forman una base.

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Vamos

Sistemas de referencia

En el plano un sistema de referencia esta formado por un punto O y un plano \{\vec{u},\vec{v}\}

Sistema de referencia en el plano

EL punto O del sistema de referencia se llama origen y los vectores linealmente independientes \{\vec{u},\vec{v}\} forman una base.

Sistema de referencia ortogonal

Un sistema de referencia se dice ortogonal si los vectores \{\vec{u},\vec{v}\} son una base perpendicular y tienen distinto modulo,

    $$\langle\vec{u},\vec{v} \rangle=0,\quad ||\vec{u}||\neq||\vec{v}||.$$

Base ortogonal

Sistema de referencia ortonormal

Un sistema de referencia se dice ortonormal si los vectores \{\vec{u},\vec{v}\} son una base perpendicular y tienen modulo unitario,

    $$\langle\vec{u},\vec{v} \rangle=0,\quad ||\vec{u}||=1=||\vec{v}||.$$

Base ortonormal

EL ejemplo más importante de una base ortonormal es la base canónica, esta compuesta por los siguiente vectores,

    $$\vec{i}:=(1,0),\quad \vec{j}:=(0,1).$$

Recordemos que las rectas OX y OY se llaman ejes coordenados o ejes coordenados cartesianos. En los siguiente veremos algunos ejemplos,

Ejemplos.

1 Dados los vectores \vec{u}=(1,4) y \vec{v}=(1,3) que constituyen una base. Expresar en esta base al vector \vec{w}=(-1,-1).

Consideramos la siguiente ecuación

    $$(-1,-1)=a\vec{u}+b\vec{v}=a(1,4)+b(1,3),$$

luego obtenemos las siguientes ecuaciones

    $$-1=a+b,\Rightarrow a=-1-b,$$

    $$-1=4a+3b\Rightarrow -1=4(-1-b)+3b\Righatarrow b=-3.$$

Finalmente a=-1-b=-1-(-3)=2. Lo que nos da que \vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v}.

2 Dados los vectores \vec{u}=(2,1), \vec{v}=(1,4) y \vec{w}=(5,6). Determinar:

A Si los vectores \vec{u} y \vec{v} forman una base.

Para comprobar esto, vemos si el producto de la primera coordenada de \vec{u} con la segunda coordenada de \vec{v} es diferente al producto de la primera coordenada de \vec{v} con la segunda coordenada de \vec{u},

    $$(2)(4)=8\neq1=(1)(1).$$

Por lo tanto podemos concluir que si forman una base.

B Expresar a \vec{w} como una combinación de los elementos de la base formada por \vec{u} y \vec{v}.

Consideramos la siguiente ecuación

    $$(5,6)=a\vec{u}+b\vec{v}=a(2,1)+b(1,4),$$

luego obtenemos las siguientes ecuaciones

    $$5=2a+b,\Rightarrow 5-2a=b,$$

    $$6=a+4b\Rightarrow 6=a+4(5-2a)\Rightarrow a=2.$$

Finalmente b=5-2a=5-2(2)=1. Lo que nos da que \vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}.

C Dado el vector \vec{w} con coordenadas (3,5) en la base canonica. Que coordenadas tendrá en la base formanada por \vec{u} y \vec{v}.

De nuevo formamos el siguiente sistema de ecuaciones,

    $$(3,5)=a\vec{u}+b\vec{v}=a(2,1)+b(1,4),$$

luego obtenemos las siguientes ecuaciones

    $$3=2a+b,\Righttarrow 3-2a=b,$$

    $$5=a+4b\Righttarrow 5=a+4(5-2a)\Rightarrow a=\cfrac{7}{3}.$$

Finalmente b=5-2a=5-2\left(\cfrac{7}{3}\right)=\cfrac{1}{3}. Lo que nos da que las coordenadas ene la base de \vec{u} y \vec{v} son \left(\cfrac{7}{3},\cfrac{1}{3}\right).

D Dados los vectores \vec{a}=3\vec{u}+2\vec{v}, \vec{b}=\vec{u}-3\vec{v} y \vec{c}=3\vec{a}-2\vec{b}. Calcular las coordenadas de \vec{c} en la base \vec{u} y \vec{v}.

Ahora reemplazamos las expresiones para \vec{a} y \vec{b} en \vec{c},

    $$\vec{c}=3\vec{a}-2\vec{b}$$

    $$=3(3\vec{u}+2\vec{v})-2(\vec{u}-3\vec{v})$$

    $$=9\vec{u}+6\vec{v}-2\vec{u}+6\vec{v}$$

    $$=7\vec{u}+12\vec{v}$$

Por lo tanto las coordenadas para \vec{c} son (7,12).

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗