La multiplicación de un número k por un vector \vec u es otro vector:

Con igual dirección que el vector \vec u.

Con el mismo sentido que el vector \vec u si k es positivo.

Con sentido contrario del vector \vec u si k es negativo.

De módulo \left | k \right | \cdot \left | \vec u \right |.
 

 

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando el escalar, k, por las componentes del vector.
 

Si tenemos por ejemplo, el vector

 

\vec u = (u_1, u_2)

 
Y lo queremos multiplicar por un escalar k, el resultado obtenido es:

 
k \cdot (u_1, u_2) = (k \cdot u_1, k \cdot u_2)
 

Propiedades de la multiplicación de un vector por un número

 

Asociativa

 

k \cdot (k' \cdot \vec u) = (k \cdot k') \cdot \vec u
 

Distributiva

 

k \cdot (\vec u + \vec v) = k \cdot \vec u + k \cdot \vec v
 

(k + k') \cdot \vec u = k \cdot \vec u + k' \cdot \vec u
 

Elemento neutro

 

1 \cdot \vec u = \vec u

 

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Ejemplos de multiplicación de un vector por un número

 

Tenemos los siguientes vectores:
 

 \vec u = (-2, 5) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec v = (3, -1)
 

Si multiplicamos el vector  \vec u por  -1, obtenemos
 

-1 \cdot \vec u = ( - 1 \cdot (-2), -1 \cdot 5) = - \vec u = (2, -5)
 

Si multiplicamos el vector \vec v por 3 , tenemos:

 
3 \cdot \vec v = 3 \cdot (3, -1) = 3 \vec v = (3 \cdot 3, 3 \cdot (-1))

 

3 \vec v = (9, -3)