Bisectriz de un ángulo

 

La Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo.

 

ecuacion de bisectrices 1

 

Ecuaciones de las bisectrices

 

Para encontrar la ecuación de la bisectriz de un ángulo, consideramos dos rectas que forman el ángulo

 

r \equiv A_1 x + B_1 y + C_1 = 0

s \equiv A_2 x + B_2 y + C_2 = 0

 

También consideramos un punto sobre la bisectriz P(x, y)

 

De la definición de bisectriz se tiene que la distancia del punto P a las rectas r, s es la misma

 

d(P, r) = d(P, s)

 

Así, la ecuación de las bisectrices, se obtiene de resolver la siguiente ecuación

 

\cfrac{|A_1 x+ B_1 y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \cfrac{|A_2 x+ B_2 y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

 

Ejemplo: Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r \equiv 3x - 4y + 5 = 0 y s \equiv 6x + 8y + 1 = 0

 

Sustituimos los datos en la ecuación que se utiliza para obtener las bisectrices

 

 \cfrac{|3x - 4y + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}  =  \cfrac{|6x + 8y + 1|}{\sqrt{6^2 + 8^2}}

 

Resolvemos los denominadores

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{|3x - 4y + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} & = & \cfrac{|6x + 8y + 1|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} \\\\ \cfrac{|3x - 4y + 5|}{\sqrt{25}} & = & \cfrac{|6x + 8y + 1|}{\sqrt{100}}  \\\\ \cfrac{|3x - 4y + 5|}{5} & = & \cfrac{|6x + 8y + 1|}{10} \end{array}

 

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por10

 

\begin{array}{rcl} 10 \cdot \cfrac{|3x - 4y + 5|}{5} & = & 10 \cdot \cfrac{|6x + 8y + 1|}{10} \\\\  2 |3x - 4y + 5| & = & |6x + 8y + 1| \end{array}

 

De la ecuación con valor absoluto, se obtienen dos ecuaciones lineales

 

\begin{array}{rcl} 2(3x - 4y + 5) & = & 6x + 8y + 1 \\\\  2(3x - 4y + 5) & = & - (6x + 8y + 1) \end{array}

 

Resolvemos la primera ecuación

 

\begin{array}{rcl} 2(3x - 4y + 5) & = & 6x + 8y + 1 \\\\  6x - 8y + 10 & = & 6x + 8y + 1 \\\\ -16y + 9 & = & 0  \end{array}

 

Resolvemos la segunda ecuación

 

\begin{array}{rcl} 2(3x - 4y + 5) & = & - (6x + 8y + 1) \\\\  6x - 8y + 10 & = & -6x - 8y - 1 \\\\ 12x + 11 & = & 0  \end{array}

 

Así, las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r, s son

 

\begin{array}{rcl} -16y + 9 & = & 0 \\\\ 12x + 11 & = & 0  \end{array }

 

ecuacion bisectrices 2

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗