Marta

22 diciembre 2020

 

Bisectriz de un ángulo

 

La Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo.

 

ecuacion de bisectrices 1

 

Ecuaciones de las bisectrices

 

Para encontrar la ecuación de la bisectriz de un ángulo, consideramos dos rectas que forman el ángulo

 

r \equiv A_1 x + B_1 y + C_1 = 0

s \equiv A_2 x + B_2 y + C_2 = 0

 

También consideramos un punto sobre la bisectriz P(x, y)

 

De la definición de bisectriz se tiene que la distancia del punto P a las rectas r, s es la misma

 

d(P, r) = d(P, s)

 

Así, la ecuación de las bisectrices, se obtiene de resolver la siguiente ecuación

 

\cfrac{|A_1 x+ B_1 y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \cfrac{|A_2 x+ B_2 y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

 

Ejemplo: Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r \equiv 3x - 4y + 5 = 0 y s \equiv 6x + 8y + 1 = 0

 

Sustituimos los datos en la ecuación que se utiliza para obtener las bisectrices

 

\cfrac{|3x - 4y + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \cfrac{|6x + 8y + 1|}{\sqrt{6^2 + 8^2}}

 

Resolvemos los denominadores

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{|3x - 4y + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} & = & \cfrac{|6x + 8y + 1|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} \\\\ \cfrac{|3x - 4y + 5|}{\sqrt{25}} & = & \cfrac{|6x + 8y + 1|}{\sqrt{100}} \\\\ \cfrac{|3x - 4y + 5|}{5} & = & \cfrac{|6x + 8y + 1|}{10} \end{array}

 

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por10

 

\begin{array}{rcl} 10 \cdot \cfrac{|3x - 4y + 5|}{5} & = & 10 \cdot \cfrac{|6x + 8y + 1|}{10} \\\\ 2 |3x - 4y + 5| & = & |6x + 8y + 1| \end{array}

 

De la ecuación con valor absoluto, se obtienen dos ecuaciones lineales

 

\begin{array}{rcl} 2(3x - 4y + 5) & = & 6x + 8y + 1 \\\\ 2(3x - 4y + 5) & = & - (6x + 8y + 1) \end{array}

 

Resolvemos la primera ecuación

 

\begin{array}{rcl} 2(3x - 4y + 5) & = & 6x + 8y + 1 \\\\ 6x - 8y + 10 & = & 6x + 8y + 1 \\\\ -16y + 9 & = & 0 \end{array}

 

Resolvemos la segunda ecuación

 

\begin{array}{rcl} 2(3x - 4y + 5) & = & - (6x + 8y + 1) \\\\ 6x - 8y + 10 & = & -6x - 8y - 1 \\\\ 12x + 11 & = & 0 \end{array}

 

Así, las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r, s son

 

\begin{array}{rcl} -16y + 9 & = & 0 \\\\ 12x + 11 & = & 0 \end{array }

 

ecuacion bisectrices 2

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗