Puntos de incidencias

Un punto en el plano P(p_1, p_2) es incidente, o el punto P pertenece a la recta de ecuación

    $$r\equiv Ax + By + C = 0,$$

cuando las coordenadas del punto satisfacen la igualdad, esto es

    $$Ap_1 + Bp_2 + C = 0,$$

Si un punto P pertenece a una recta r se dice que r incide en P o que r pasa por P.

Ejemplo.

1

Determina si los puntos A (3, 5) y B(0, 1) pertenecen o no a la recta r \equiv x + 2 y - 13 = 0.

Lo que haremos será reemplazar los valores de las coordenadas de los puntos en la ecuación de la recta. Empezamos con el punto A

    $$ (3) + 2(5) - 13 = 3+10-13=13-13=0,$$

Ya que el punto satisface la igualdad podemos concluir que A es un punto incidente de la recta r. Ahora continuamos con el punto B,

    $$ (0) + 2(1) - 13 = 2-13=-11\neq 0,$$

podemos notar que el punto el B no satisface la ecuación, por lo tanto B no es incidente.

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Vamos

Intersección de dos rectas

 

Consideremos dos rectas secantes r\equiv A_1x + B_1y + C_1 = 0 y s\equiv A_2x + B_2y + C_2 = 0, al intersectarlas tenemos que su intersección es un punto P(p_1,p_2). Es decir, las rectas r y s ambas inciden en el punto P(p_1,p_2).

Para hallar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las rectas,

    $$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0\\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases}$$

Ejemplos.

1

Hallar el punto de intersección de las rectas de ecuaciones r \equiv 2 x - y - 1 = 0 y s \equiv x - y + 1 = 0.

Debemos resolver el sistema

    $$\begin{cases} 2 x - y - 1 = 0\\ x - y + 1 = 0 \end{cases}$$

Para esto, de la segunda ecuación tenemos que y=x+1 reemplazando esta expresión en la primera ecuación se sigue que

    $$2 x - y - 1 = 0,$$

    $$2 x - (x+1) - 1 = 0,$$

    $$x-2= 0\Rightarrow x=2.$$

Dado que x=2 de nuevo de la segunda ecuación podemos concluir que y=2+1=3. Así las coordenadas del punto de intersección son

    $$P(2,3).$$

 
2

Demostrar que las siguiente rectas son secantes

    $$r\equiv\begin{cases} x=1+2t\\ y=2+5t, \end{cases}$$

    $$s\equiv 7x+y-28=0.$$

Hallar el punto de intersección.

Primero transformamos la ecuación de la recta r, esto lo hacemos multiplicando a x por 5 y a y por 2 y obtenemos

    $$r\equiv\begin{cases} 5x=5+10t\\ 2y=4+10t, \end{cases}$$

restando las ecuaciones se sigue que

    $$r\equiv 5x-2y=5-4=1\Rightarrow r\equiv 5x-2y-1=0.$$

Sabemos que dos rectas son secantes si los coeficientes de x y y respectivos no son proporcionales, en nuestro caso

    $$\cfrac{5}{-2}\neq\cfrac{7}{1}.$$

Por lo tanto podemos concluir que las rectas son secantes.

Ahora resolvemos el siguiente sistema para hallar el punto de intersección

    $$\begin{cases} 5x-2y-1=0\\ 7x+y-28=0. \end{cases}$$

De la segunda ecuación se tiene que y=-7x+28, reemplazando en la primera ecuación tenemos que

    $$5x-2(-7x+28)-1=5x+14x-56-1=19x-57=0,$$

    $$x=\cfrac{57}{19}=3.$$

Ahora reemplazando el valor de x en la segunda ecuación obtenemos que y=-7(3)+28=-21+28=7. Así que el punto de intersección es igual a

    $$P(3,7).$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗