¿A qué llamamos vectores linealmente dependientes?

 

Varios vectores libres del plano (\vec{v_1},\ \vec{v_2},\ \cdots ,\ \vec{v_n}) se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero (\vec{0}), sin que sean cero todos los coeficientes (a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n) de la combinación lineal.

 

a_1 \cdot \vec{v_1}+a_2 \cdot \vec{v_2}+\cdots +a_n \cdot \vec{v_n}=\vec{0}
 

Nota: El vector cero o vector nulo se refiere a un vector que posee módulo nulo y todas sus componentes son nulas. Se representa como \vec{0}.

 

\vec{0}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}
 

 

1Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

 

Para ver esto tomemos los vectores linealmente dependientes \vec{v_1},\ \vec{v_2},\ \cdots ,\ \vec{v_n}, ya que son linealmente dependientes entonces podemos escribir:

 

a_1 \cdot \vec{v_1}+a_2 \cdot \vec{v_2}+\cdots +a_n \cdot \vec{v_n}=\vec{0}
 

Ahora restamos el vector a_1 \cdot \vec{v_1} a ambos lados de la igualdad y tenemos:

 

a_2 \cdot \vec{v_2}+a_3 \cdot \vec{v_3}+\cdots +a_n \cdot \vec{v_n}=-a_1 \cdot \vec{v_1}
 

Lo siguiente es dividir todo entre -a_1 (para esto suponemos que a_1\neq 0)

 

-\frac{a_2}{a_1} \cdot \vec{v_2}-\frac{a_3}{a_1} \cdot \vec{v_3}-\cdots - \frac{a_n}{a_1} \cdot \vec{v_n}= \vec{v_1}
 

Por último reescribimos y tomamos como b_1=-\frac{a_2}{a_1},\ b_2=-\frac{a_3}{a_1},\ \cdots ,\ b_m=-\frac{a_n}{a_1} para visualizar mejor las cosas, de este modo tenemos:

 

b_1 \cdot \vec{v_2}+b_2 \cdot \vec{v_3}+\cdots +b_m \cdot \vec{v_n}= \vec{v_1}
 

Por lo que al final llegamos a que efectivamente podemos expresar un vector como combinación lineal de los demás.

 

También se cumple el recíproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

 

2 Dos vectores son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

 

Para ver la veracidad de esto tomemos dos vectores \vec{v} y \vec{u} y supongamos que son paralelos, por lo que existe un número k\neq 0 tal que:

 

\vec{v}=k\cdot \vec{u}
 

Por lo que podemos restar k\cdot \vec{u} a ambos lados de la ecuación y tenemos:

 

\vec{v}-k\cdot \vec{u}=\vec{0}
 

Por lo que tenemos una combinación lineal de los vectores \vec{v} y \vec{u} donde los coeficientes son distintos de cero. Por lo que por definición los vectores son linealmente dependientes.

3 Dos vectores libres \vec{v}=(v_1,v_2) y \vec{u}=(u_1,u_2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

 

Esto se sigue directamente de la propiedad anterior, ya que las componentes de los vectores son proporcionales si existe un número k tal que:

 

\vec{v}=k\cdot\vec{u} \Rightarrow (v_1,v_2)=(k\cdot u_1,k\cdot u_2)
 

Ejemplo de ejercicio con vectores linealmente dependientes

 

Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores \vec{u}=(3,k,-6), \vec{v}=(-2,1,k+3) y \vec{w}=(1,k+2,4). Escribir \vec{u} como combinación lineal de \vec{v} y \vec{w}, siendo k el valor calculado.

 

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Entonces igualamos el determinante a 0 y resolvemos para k

 

\begin{vmatrix} 3 & k & -6\\ -2 & 1 & k+3 \\ 1 & k+2 & 4 \end{vmatrix}=0
 

\Rightarrow -2k^2+8k+24=0 \Rightarrow k^2-4k-12=0
 

Si resolvemos usando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado obtenemos que los valores son: k=-2 y k=-6

Para resolver la segunda parte utilizaremos el valor de k=-2.

Por lo que tenemos que encontrar dos números a y b tales que:

 

\vec{u}=a\cdot\vec{v}+b\cdot\vec{w}
 

Por lo que tenemos el siguiente sistema:

 

\begin{matrix} 3= & -2a+b\\ -2= & a \\ -6=& a+4b \end{matrix}
 

De la segunda ecuación tenemos que a=-2, por lo que si sustituimos ese valor en la tercera ecuación tenemos:

 

-6=-2+4b \Rightarrow -4=4b \Rightarrow b=-1
 

Por lo que tenemos que la combinación lineal es:

 

\vec{u}=-2\vec{v}-\vec{w}
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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗