Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1.

Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

Superprof

2.

Dos vectores son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3.

Dos vectores libres = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Ejemplo

Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores , y . Escribir como combinación lineal de y, siendo k el valor calculado.

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

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Marta

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guzman
guzman
Invité
10 May.

QUIEro comprobar si los vectores V=i+2j; V2=6i+j; V3=-2j y V4=4i-j son linealmente dependiente, porque 2V1+ V2+2V3+V4=0

AYUDAME PLIS ESPARA HOY😢

Luis Maciel Baron
Luis Maciel Baron
Editor
10 Jun.

¡Hola guzman! Disculpa la demora en responder tu duda.

Para que dos o más vectores sean linealmente dependientes se requiere que sus componentes sean proporcionales. En este caso, ninguno de los vectores que tienes es linealmente dependiente a algún otro.

Por ejemplo, tomemos V1 y V2,
V1 = i + 2j
V2 = 6i + j

Si divides las componentes de ‘i’ y ‘j’ obtenemos:
1/6 y 2, que son distintos y, por lo tanto, no son linealmente dependientes.

Haciendo lo mismo con los demás vectores notarás que en ninguno obtenemos vectores linealmente dependientes

Juan Manuel Sanchez Perez
Juan Manuel Sanchez Perez
Editor
22 Jun.

Hola, Alexandra. Una disculpa por la respuesta incorrecta anterior.

La definición más exacta de dependencia lineal es, dado un conjunto de vectores \{ v_1, v_2, \dots, v_n \}, este conjunto será linealmente dependiente si existen alguna combinación lineal

 \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = 0

donde al menos un \alpha_i es diferente de cero.

¡Tú ya nos diste esta combinación lineal! La combinación que nos diste es

 2 v_1 + v_2 + 2 v_3 + v_4 = 0

en donde todos los \alpha_i son distintos a cero. Por lo tanto, por definición, tu conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Espero haber resuelto tus dudas. Cualquier otra pregunta con gusto la respondemos.

guzman
guzman
Invité
10 May.

Me puede ayudar

Superprof
Superprof
Administrateur
14 May.

Hola, Guzmán, déjanos tus dudas en comentarios y te las responderemos lo antes posible 🙂

Salinas
Salinas
Invité
7 Jul.

Cuál es el valor de k para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes: V=(k,4,-4) ;V1=(1,k,-2) ;V2=(1,0,k)?

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
22 Jul.

Hola,
 
calculamos el determinante de los vectores e igualamos a cero
 
\left|\begin{array}{ccc} k & 4 & -4 \\ 1 & k & -2 \\ 1 & 0 & k \end{array}\right|=-8+k^3=0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ k=2
 
Espero te sea de utilidad.
Un saludo