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¿A qué llamamos vectores linealmente dependientes?
Propiedades de vectores linealmente dependientes
Ejemplo de ejercicio con vectores linealmente dependientes

¿A qué llamamos vectores linealmente dependientes?

Varios vectores libres del plano ( $\vec{v_1},\ \vec{v_2},\ \cdots ,\ \vec{v_n}$ ) se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero ( $\vec{0}$ ), sin que sean cero todos los coeficientes ( $a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n$ ) de la combinación lineal.

$a_1 \cdot \vec{v_1}+a_2 \cdot \vec{v_2}+\cdots +a_n \cdot \vec{v_n}=\vec{0}$

Nota: El vector cero o vector nulo se refiere a un vector que posee módulo nulo y todas sus componentes son nulas. Se representa como $\vec{0}$ .

$\vec{0}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$

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Propiedades de vectores linealmente dependientes

1Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

Para ver esto tomemos los vectores linealmente dependientes $\vec{v_1},\ \vec{v_2},\ \cdots ,\ \vec{v_n}$ , ya que son linealmente dependientes entonces podemos escribir:

$a_1 \cdot \vec{v_1}+a_2 \cdot \vec{v_2}+\cdots +a_n \cdot \vec{v_n}=\vec{0}$

Ahora restamos el vector $a_1 \cdot \vec{v_1}$ a ambos lados de la igualdad y tenemos:

$a_2 \cdot \vec{v_2}+a_3 \cdot \vec{v_3}+\cdots +a_n \cdot \vec{v_n}=-a_1 \cdot \vec{v_1}$

Lo siguiente es dividir todo entre $-a_1$ (para esto suponemos que $a_1\neq 0$ )

$-\frac{a_2}{a_1} \cdot \vec{v_2}-\frac{a_3}{a_1} \cdot \vec{v_3}-\cdots - \frac{a_n}{a_1} \cdot \vec{v_n}= \vec{v_1}$

Por último reescribimos y tomamos como $b_1=-\frac{a_2}{a_1},\ b_2=-\frac{a_3}{a_1},\ \cdots ,\ b_m=-\frac{a_n}{a_1}$ para visualizar mejor las cosas, de este modo tenemos:

$b_1 \cdot \vec{v_2}+b_2 \cdot \vec{v_3}+\cdots +b_m \cdot \vec{v_n}= \vec{v_1}$

Por lo que al final llegamos a que efectivamente podemos expresar un vector como combinación lineal de los demás.

También se cumple el recíproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2 Dos vectores son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

Para ver la veracidad de esto tomemos dos vectores $\vec{v}$ y $\vec{u}$ y supongamos que son paralelos, por lo que existe un número $k\neq 0$ tal que:

$\vec{v}=k\cdot \vec{u}$

Por lo que podemos restar $k\cdot \vec{u}$ a ambos lados de la ecuación y tenemos:

$\vec{v}-k\cdot \vec{u}=\vec{0}$

Por lo que tenemos una combinación lineal de los vectores $\vec{v}$ y $\vec{u}$ donde los coeficientes son distintos de cero. Por lo que por definición los vectores son linealmente dependientes.

3 Dos vectores libres $\vec{v}=(v_1,v_2)$ y $\vec{u}=(u_1,u_2)$ son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Esto se sigue directamente de la propiedad anterior, ya que las componentes de los vectores son proporcionales si existe un número $k$ tal que:

$\vec{v}=k\cdot\vec{u} \Rightarrow (v_1,v_2)=(k\cdot u_1,k\cdot u_2)$

Ejemplo de ejercicio con vectores linealmente dependientes

Determinar los valores de $k$ para que sean linealmente dependientes los vectores $\vec{u}=(3,k,-6)$ , $\vec{v}=(-2,1,k+3)$ y $\vec{w}=(1,k+2,4)$ . Escribir $\vec{u}$ como combinación lineal de $\vec{v}$ y $\vec{w}$ , siendo $k$ el valor calculado.

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que $3$ .

Entonces igualamos el determinante a $0$ y resolvemos para $k$

$\begin{vmatrix} 3 & k & -6\\ -2 & 1 & k+3 \\ 1 & k+2 & 4 \end{vmatrix}=0$

$\Rightarrow -2k^2+8k+24=0 \Rightarrow k^2-4k-12=0$

Si resolvemos usando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado obtenemos que los valores son: $k=-2$ y $k=-6$

Para resolver la segunda parte utilizaremos el valor de $k=-2$ .

Por lo que tenemos que encontrar dos números $a$ y $b$ tales que:

$\vec{u}=a\cdot\vec{v}+b\cdot\vec{w}$

Por lo que tenemos el siguiente sistema:

$\begin{matrix} 3= & -2a+b\\ -2= & a \\ -6=& a+4b \end{matrix}$

De la segunda ecuación tenemos que $a=-2$ , por lo que si sustituimos ese valor en la tercera ecuación tenemos:

$-6=-2+4b \Rightarrow -4=4b \Rightarrow b=-1$

Por lo que tenemos que la combinación lineal es:

$\vec{u}=-2\vec{v}-\vec{w}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Resumen de vectores y producto escalar

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Yair

Abril 2022

Cuáles de los siguientes conjuntos en P, son linealmente dependientes (Id)?
a) 3+x+x²,2-x+5x²,4-3x²

b) 1+3x+3x²₁x + 4x²,5 + 6x+3x²,7+2x-x²
Ayuda

Jose Angel Lopez

Diciembre 2021

Me pueden ayudar resolviendo esto:( ¿Para que valores reales de los siguientes vectores forman un conjunto

Linealmente dependiente en R3

v1= (,0,-4) , v2 = (-1, ,17) , v3 = (0,-1, ─ 8)

por favor

Guadalupe Marisol Hernández Lynche

Junio 2021

Quiero comprarbar si son dependientes o independiente W
2,-1,4,1) v (5,7-5,8) u (-1,3,4,7) e(2,8-4,1)

raquel sanchez

Junio 2021

EL VECTOR CANONICO 0=(0,0,0) PUEDE SER LINEALMENTE DEPENDIENTE,, eXPLIQUE MEDIANTE UN EJEMPLO…POR FAVOR ME PUEDEN AYUDAR…

Paola

Marzo 2021

Dados los vectores v1 = (1, 1, 0, m), v2 = (3, −1, n, −1) y v3 = (−3, 5, m, −4) hallar
los valores de m y n para que dichos vectores sean linealmente dependiente.

Tatiana

Febrero 2021

Hola quiero saber que Calcular el valor de m para que los vectores =(1,-1,2) =(2,0,1) y =(4,-2,m) sean linealmente independientes. por favor

Gilmer Marín Cotrina

Enero 2021

Difinicion de vectores linealmente independientes

MARILIN LISBETH ILBAY GARCIA

Diciembre 2020

Me pueden ayudar
Determine si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o independiente
En C[0, 1] : x, √x, √3 x

fernanda

Noviembre 2020

me pueden ayudar
Para que valores de c son «linealmente independientes» los vectores
(1-c, 1+c) y (1+c, 1-c)

francisco

Octubre 2020

me pueden ayudar porfavor? Cuál es el valor de k para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes: V=(k,-1/2,-1/2); v1=(-1/2,k,-1/2); v2=(-1/2,-1/2,k)

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