Definición de determinante

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

    \begin{equation*} det(A)=|\mathrm{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \cdots \\ a_{m} & a_{m 2} & \ldots & a_{m m} \end{array}\right| \end{equation*}

|5|=5

Ejemplo 2:

|-3|=-3

En el segundo ejemplo es conveniente aclarar que se hace referencia al determinante y no al valor absoluto.

 

Determinante de orden dos

Para calcular el determinante de una matriz de tamaño 2\times 2 se hace lo siguiente:

    \begin{equation*} \left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \end{equation*}

Ejemplo 1

    \begin{equation*} \left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=2\cdot 2-( (-1)\cdot 3)=4+3=7 \end{equation*}

Ejemplo 2

    \begin{equation*} \left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array}\right|=2\cdot 5-(3\cdot 4)=10-12=-2 \end{equation*}

 

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3\times 3 arbitraria A=(a_{ij}). El determinante de A se define como sigue:

    \begin{equation*} |A|=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} &=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}\\ &-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32} \end{aligned} \end{equation*}

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo:

    \begin{equation*} \begin{aligned} &A=\left|\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -5 \\ -2 & 1 & 4 \end{array}\right|\\ &=3 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot(-5) \cdot(-2)+1 \cdot 0 \cdot 1- \\ &-1 \cdot 2 \cdot(-2)-2 \cdot 0 \cdot 4-3 \cdot(-5) \cdot 1= \\ &=24+20+0-(-4)-0-(-15)= \\ &=44+4+15=63 \end{aligned} \end{equation*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗