Name: Determinantes matrices
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Definición de determinante
Determinante de orden uno
Determinante de orden dos
Determinante de orden tres

Definición de determinante

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

$\begin{equation*} det(A)=|\mathrm{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \cdots \\ a_{m} & a_{m 2} & \ldots & a_{m m} \end{array}\right| \end{equation*}$

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Determinante de orden uno

Para calcular el determinante de una matriz de tamaño $1\times 1$ se hace lo siguiente $|a_{11}| = a_{11}$

Ejemplo 1:

$|5|=5$

Ejemplo 2:

$|-3|=-3$

En el segundo ejemplo es conveniente aclarar que se hace referencia al determinante y no al valor absoluto.

Determinante de orden dos

Para calcular el determinante de una matriz de tamaño $2\times 2$ se hace lo siguiente:

$\begin{equation*} \left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \end{equation*}$

Ejemplo 1

$\begin{equation*} \left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=2\cdot 2-( (-1)\cdot 3)=4+3=7 \end{equation*}$

Ejemplo 2

$\begin{equation*} \left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array}\right|=2\cdot 5-(3\cdot 4)=10-12=-2 \end{equation*}$

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz $3\times 3$ arbitraria $A=(a_{ij})$ . El determinante de $A$ se define como sigue:

$\begin{equation*} |A|=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} &=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}\\ &-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32} \end{aligned} \end{equation*}$

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &A=\left|\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -5 \\ -2 & 1 & 4 \end{array}\right|\\ &=3 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot(-5) \cdot(-2)+1 \cdot 0 \cdot 1- \\ &-1 \cdot 2 \cdot(-2)-2 \cdot 0 \cdot 4-3 \cdot(-5) \cdot 1= \\ &=24+20+0-(-4)-0-(-15)= \\ &=44+4+15=63 \end{aligned} \end{equation*}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Antonela ayuda

Abril 2020

2 1 -2 1 1 -2 -1 0 1

Garcia

Abril 2020

En el orden tres no se respeta la misma regla [...]+a21 * a32 * a13 + a31 * a12 * a23... respetando este orden creo debiera ser así: [...] + 1 * 0 * 3 + 2 * 2 * (-1) y no [...] + 2 * (-1) * 2 + 3 * 1 *0 Explícame sí no es así.

Karla Paulette Flores Silva

Junio 2020

Hola,

Debido a que el orden de los factores no altera el producto, la manera en que lo escribes también correcta!

Nota que ambas expresiones al desarrollarlas resultan lo mismo

1 * 0 * 3 + 2 * 2 * (-1) = 0 - 4 = -4

2 * (-1) * 2 + 3 * 1 * 0 = -4 + 0 = -4

Te recomendamos usar la fórmula que te sea más fácil de aprender, y cuando quieras hacer ejercicios compara los resultados finales, ya que el determinante debe ser igual, independientemente de la fórmula que hayas usado.

Espero haber aclarado tu duda,
Saludos

jose

Abril 2020

Gracias me ha ayudado bastante .

Superprof

Abril 2020

¡Nos alegramos!

Monsalve

Abril 2020

Buenos dias, tengo que hacer un trabajo de algebra lineal, referente a matrizes y me dieron una ecuacion para despejarla y obtener valor de X la cual es: B-A^-1.X=A Ese menos uno, es el elevado de A, me gustaria saber si para obtener una ecuacion inversa es posible subar A y A^-1

Karla Paulette Flores Silva

Junio 2020

Hola Monsalve,

¿El A^-1 está multiplicando a X? De ser así hay que despejar tomando en cuenta que son matrices

Tenemos esta ecuación

B-A^-1X=A

Restamos la matriz B de ambos lados

-A^-1X=A-B

Multiplicamos por -1

A^-1X=B-A

Multiplicamos por la matriz A por el lado izquierdo

A*A^-1X=A*(B-A)

Como A y A^-1 son inversas se forma la matriz identidad

1X=A(B-A)

X=A(B-A)

Si te dieron las matrices A y B puedes calcular directamente X con la última ecuación

Espero haber sido de ayuda,
Saludos

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