1

Si el valor del determinante

    $$A=\begin{vmatrix} a&b&c\\ p&q&r\\ u&v&w\\ \end{vmatrix}=25.$$

Calcular el valor de:

    $$B=\begin{vmatrix} 2a&2c&2b\\ 2u&2w&2v\\ 2p&2r&2q\\ \end{vmatrix}.$$

Cada una de las filas de B esta multiplicada por 2 entonces por propiedades de determinantes tenemos que

    $$B=\begin{vmatrix} 2a&2c&2b\\ 2u&2w&2v\\ 2p&2r&2q\\ \end{vmatrix}=2\cdot2\cdot2\begin{vmatrix} a&c&b\\ u&w&v\\ p&r&q\\ \end{vmatrix}.$$

Ahora aplicaremos las siguiente operaciones columna y fila a la matriz

    $$\begin{vmatrix} a&c&b\\ u&w&v\\ p&r&q\\ \end{vmatrix}.$$

Primero cambiamos las columnas c_{2} y c_{3} y luego cambiamos las filas f_{2} y f_{3}, esto es,

    $$\begin{vmatrix} a&c&b\\ u&w&v\\ p&r&q\\ \end{vmatrix}(c_{2}\Rightarrow c_{3})\begin{vmatrix} a&b&c\\ u&v&w\\ p&q&r\\ \end{vmatrix}(f_{2}\Rightarrow f_{3})\begin{vmatrix} a&b&c\\ p&q&r\\ u&v&w\\ \end{vmatrix}.$$

Recordemos que mover filas o columnas de la matriz solo altera el valor del determinante en el signo. Como hicimos dos movimientos entonces seria menos por menos lo que nos da mas, entonces

    $$B=\begin{vmatrix} 2a&2c&2b\\ 2u&2w&2v\\ 2p&2r&2q\\ \end{vmatrix}=2\cdot2\cdot2\begin{vmatrix} a&c&b\\ u&w&v\\ p&r&q\\ \end{vmatrix}=-(-8)\begin{vmatrix} a&b&c\\ p&q&r\\ u&v&w\\ \end{vmatrix}=8\cdot 25=200.$$

2
Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

    $$\begin{vmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 2&3&4&5&6&1\\ 3&4&5&6&1&2\\ 4&5&6&1&2&3\\ 5&6&1&2&3&4\\ 6&1&2&3&4&5\\ \end{vmatrix}.$$

Para demostrar lo pedido, lo que haremos será sumar a la columna 6 cada una de las otras columnas, es decir, empezamos sumando la columna 6 y la columna 5, luego este resultado le sumamos la columna 4 y asi sucesivamente hasta llegar a la columna 1. Recordemos que hacer este tipo de operaciones elementales no afecta el valor del determinante.

    $$\begin{vmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 2&3&4&5&6&1\\ 3&4&5&6&1&2\\ 4&5&6&1&2&3\\ 5&6&1&2&3&4\\ 6&1&2&3&4&5\\ \end{vmatrix}(c_{6}=c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}+c_{5}+c_{6})\begin{vmatrix} 1&2&3&4&5&21\\ 2&3&4&5&6&21\\ 3&4&5&6&1&21\\ 4&5&6&1&2&21\\ 5&6&1&2&3&21\\ 6&1&2&3&4&21\\ \end{vmatrix}.$$

Ahora podemos sacar el factor 21 de la columna 6. Lo que nos da

    $$\begin{vmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 2&3&4&5&6&1\\ 3&4&5&6&1&2\\ 4&5&6&1&2&3\\ 5&6&1&2&3&4\\ 6&1&2&3&4&5\\ \end{vmatrix}=(c_{6}=c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}+c_{5}+c_{6})\begin{vmatrix} 1&2&3&4&5&21\\ 2&3&4&5&6&21\\ 3&4&5&6&1&21\\ 4&5&6&1&2&21\\ 5&6&1&2&3&21\\ 6&1&2&3&4&21\\ \end{vmatrix}$$

    $$=21\begin{vmatrix} 1&2&3&4&5&1\\ 2&3&4&5&6&1\\ 3&4&5&6&1&1\\ 4&5&6&1&2&1\\ 5&6&1&2&3&1\\ 6&1&2&3&4&1\\ \end{vmatrix}.$$

De esta forma tenemos que el determinante inicial es divisible por 21.

3

Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

    $$A=\begin{vmatrix} 1&4&9&16\\ 4&9&16&25\\ 9&16&25&36\\ 16&25&36&49\\ \end{vmatrix},\quad B=\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&4&6&8\\ 4&16&236&64\\ 8&64&216&512\\ \end{vmatrix},\quad C=\begin{vmatrix} 1&2&2&3\\ 0&3&4&1\\ -1&2&2&5\\ 2&-2&1&-3\\ \end{vmatrix}.$$

Primero recordemos que restar o sumar filas o columnas no afecta el resultado del determinante. Ahora haremos los cálculos de manera estructura indicando con los siguiente símbolos las operaciones que vayamos realizando. (f_{i}\pm f_{j}) significa que a la fila f_{i} le sumamos o le restamos la fila f_{j}, similarmente (c_{i}\pm c_{j}) significa que a columna c_{i} le sumamos o le restamos la columna c_{j}. Empezamos con la matrix A,

    $$A=\begin{vmatrix} 1&4&9&16\\ 4&9&16&25\\ 9&16&25&36\\ 16&25&36&49\\ \end{vmatrix}(f_{2}-f_{1},f_{3}-f_{2}, f_{4}-f_{3})\begin{vmatrix} 1&4&9&16\\ 3&5&7&9\\ 5&7&9&11\\ 7&9&11&13\\ \end{vmatrix}$$

[latex]$$=\begin{vmatrix}
1&4&9&16\\
3&5&7&9\\
5&7&9&11\\
7&9&11&13\\
\end{vmatrix}(f_{3}-f_{2},f_{4}-f_{3})\begin{vmatrix}
1&4&9&16\\
3&5&7&9\\
2&2&2&2\\
2&2&2&2\\
\end{vmatrix}=0.$$[/latex]El determinante es cero porque al final obtenemos dos columnas linealmente dependientes.

Continuamos con la matriz B,

    $$B=\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&4&6&8\\ 4&16&236&64\\ 8&64&216&512\\ \end{vmatrix}(c_{2}-c_{1},c_{3}-c_{2}, c_{4}-c_{3})\begin{vmatrix} 1&0&0&0\\ 2&2&2&2\\ 4&12&20&28\\ 8&56&152&296\\ \end{vmatrix}$$

    $$=2\begin{vmatrix} 2&2&2\\ 12&20&28\\ 56&152&296\\ \end{vmatrix}(c_{2}-c_{1},c_{3}-c_{2})2\begin{vmatrix} 1&0&0\\ 12&8&8\\ 56&96&144\\ \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 8&8\\ 96&144\\ \end{vmatrix}$$

    $$=2\cdot8\cdot8\begin{vmatrix} 1&1\\ 12&18\\ \end{vmatrix}=128(18-12)=768.$$

Finalmente para C tenemos que

    $$C=\begin{vmatrix} 1&2&2&3\\ 0&3&4&1\\ -1&2&2&5\\ 2&-2&1&-3\\ \end{vmatrix}(f_{3}+f_{1},f_{4}-2f_{1})\begin{vmatrix} 1&2&2&3\\ 0&3&4&1\\ 0&4&4&8\\ 0&-6&-3&-9\\ \end{vmatrix}$$

    $$=\begin{vmatrix} 3&4&1\\ 4&4&8\\ -6&-3&-9\\ \end{vmatrix}=-3\cdot4\begin{vmatrix} 3&4&1\\ 1&1&2\\ 2&1&3\\ \end{vmatrix}=-12(9+16+1-2-12-6)=-72$$

4
Calcular el valor de los siguientes determinantes:

    $$A=\begin{vmatrix} 3&a&a&a&a\\ a&3&a&a&a\\ a&a&3&a&a\\ a&a&a&3&a\\ a&a&a&a&3\\ \end{vmatrix},\quad B=\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&3&4&5\\ 2^{2}&3^{2}&4^{2}&5^{2}\\ 2^{3}&3^{3}&4^{3}&5^{3}\\ \end{vmatrix}.$$

Primero recordemos que restar o sumar filas o columnas no afecta el resultado del determinante. Ahora haremos los cálculos de manera estructura indicando con los siguiente símbolos las operaciones que vayamos realizando. (f_{i}\pm f_{j}) significa que a la fila f_{i} le sumamos o le restamos la fila f_{j}, similarmente (c_{i}\pm c_{j}) significa que a columna c_{i} le sumamos o le restamos la columna c_{j}. Empezamos con la matrix A,

    $$A=\begin{vmatrix} 3&a&a&a&a\\ a&3&a&a&a\\ a&a&3&a&a\\ a&a&a&3&a\\ a&a&a&a&3\\ \end{vmatrix}(c_{1}=c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}+c_{5})\begin{vmatrix} 4a+3&a&a&a&a\\ 4a+3&3&a&a&a\\ 4a+3&a&3&a&a\\ 4a+3&a&a&3&a\\ 4a+3&a&a&a&3\\ \end{vmatrix}=$$

[latex]$$(4a+3)\begin{vmatrix}
1&a&a&a&a\\
1&3&a&a&a\\
1&a&3&a&a\\
1&a&a&3&a\\
1&a&a&a&3\\
\end{vmatrix}$$[/latex]

    $$(f_{2}-f_{1},f_{3}-f_{1},f_{4}-f_{1},f_{5}-f_{1})$$

    $$ \begin{vmatrix} 1&a&a&a&a\\ 0&3-a&0&0&0\\ 0&0&3-a&0&0\\ 0&0&0&3-a&0\\ 0&0&0&0&3-a\\ \end{vmatrix}= $$

    $$(4a+3)\begin{vmatrix} 3-a&0&0&0\\ 0&3-a&0&0\\ 0&0&3-a&0\\ 0&0&0&3-a\\ \end{vmatrix}=(4a+3)(3-a)^{4}.$$

Continuamos con la matriz B,

    $$B=\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&3&4&5\\ 2^{2}&3^{2}&4^{2}&5^{2}\\ 2^{3}&3^{3}&4^{3}&5^{3}\\ \end{vmatrix}(f_{2}-2f_{1},f_{3}-2f_{2}, f_{4}-2f_{3})\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 0&1&2&3\\ 0&3&(2)(4)&(3)(5)\\ 0&3^{2}&(2)(4^{2})&(3)(5^{2})\\ \end{vmatrix}=$$

    $$=(2)(3)\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 3&4&5\\ 3^{2}&4^{2}&5^{2}\\ \end{vmatrix}(f_{2}-3f_{1},f_{3}-3f_{2})2\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 0&1&2\\ 0&4&(2)(5)\\ \end{vmatrix}=(6)(2)\begin{vmatrix} 1&1\\ 4&5\\ \end{vmatrix}=12.$$

5
¿Para qué valores de m la matriz

    $$ A=\begin{pmatrix} 1&1&m\\ m&0&-1\\ 6&-1&0\\ \end{pmatrix} $$

no admite matriz inversa?

Primero calculemos el determinante de la matriz,

    $$ \begin{vmatrix} 1&1&m\\ m&0&-1\\ 6&-1&0\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&-1\\ -1&0\\ \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} m&-1\\ 6&0\\ \end{vmatrix}+m\begin{vmatrix} m&0\\ 6&-1\\ \end{vmatrix}= .$$

[latex]$$=0-m^{2}-6-0-1-0=-m^{2}-7.$$[/latex]

Para que la matriz no admita una inversa se debe cumplir que

    $$-m^{2}-7=0 \Rightarrow m=\pm\sqrt{-7}.$$

Dado que \sqrt{-7} no pertenece a los números reales podemos concluir que la matriz siempre admite una inversa.

6

Resolver las ecuación matricial:

    $$A\cdot X+2\cdot B=3\cdot C,$$

donde {\rm det}(A)\neq0.

Dado que {\rm det}(A)\neq0, podemos decir que existe A^{-1}. Al multiplicar en ambos lados de la igualdad tenemos que

    $$A^{-1}(A\cdot X+2\cdot B)=A^{-1}(3\cdot C),$$

[latex]$$A^{-1}A\cdot X+2\cdot A^{-1}B=3\cdot A^{-1}C,$$[/latex]

    $$X+2\cdot A^{-1}B=3\cdot A^{-1}C,$$

    $$X=-2\cdot A^{-1}B+3\cdot A^{-1}C,$$

    $$X=A^{-1}(3\cdot C-2\cdot B).$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗