¡Bienvenido a los desafiantes ejercicios de determinantes! En esta serie de prácticas, nos sumergiremos en el emocionante mundo de las matrices y los determinantes, una poderosa herramienta matemática con aplicaciones en diversas áreas, como la física, la ingeniería, la economía y más.
Los determinantes son valores numéricos que se calculan a partir de una matriz y nos proporcionan información crucial sobre sus propiedades lineales y su comportamiento en sistemas de ecuaciones lineales. A lo largo de estos ejercicios, aprenderemos a calcular determinantes para matrices de diferentes tamaños y a interpretar sus resultados. ¡Comencemos a descubrir los secretos de los determinantes juntos!
Si el valor del determinante
Calcular el valor de:
Cada una de las filas de 
esta multiplicada por 
entonces por propiedades de determinantes tenemos que
Ahora aplicaremos las siguiente operaciones columna y fila a la matriz 
Primero cambiamos las columnas 
y 
y luego cambiamos las filas 
y 
, esto es,
Recordemos que mover filas o columnas de la matriz solo altera el valor del determinante en el signo. Como hicimos dos movimientos entonces seria menos por menos lo que nos da mas, entonces
Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 
:
Para demostrar lo pedido, lo que haremos será sumar a la columna 
cada una de las otras columnas, es decir, empezamos sumando la columna y la columna 
, luego este resultado le sumamos la columna 
y asi sucesivamente hasta llegar a la columna 
. Recordemos que hacer este tipo de operaciones elementales no afecta el valor del determinante.
Ahora podemos sacar el factor de la columna . Lo que nos da
De esta forma tenemos que el determinante inicial es divisible por .
Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:
Primero recordemos que restar o sumar filas o columnas no afecta el resultado del determinante. Ahora haremos los cálculos de manera estructura indicando con los siguiente símbolos las operaciones que vayamos realizando. 
significa que a la fila 
le sumamos o le restamos la fila 
, similarmente 
significa que a columna 
le sumamos o le restamos la columna 
. Empezamos con la matrix 
,
El determinante es cero porque al final obtenemos dos columnas linealmente dependientes.
Continuamos con la matriz ,
Finalmente para 
tenemos que
Calcular el valor de los siguientes determinantes:
Primero recordemos que restar o sumar filas o columnas no afecta el resultado del determinante. Ahora haremos los cálculos de manera estructura indicando con los siguiente símbolos las operaciones que vayamos realizando. significa que a la fila le sumamos o le restamos la fila , similarmente significa que a columna le sumamos o le restamos la columna . Empezamos con la matrix ,
Continuamos con la matriz ,
¿Para qué valores de 
la matriz
no admite matriz inversa?
Primero calculemos el determinante de la matriz,
Para que la matriz no admita una inversa se debe cumplir que
Dado que 
no pertenece a los números reales podemos concluir que la matriz siempre admite una inversa.
¿Para qué valores de 
la matriz
no admite matriz inversa?
Primero calculemos una matriz equivalente de ,
Ahora calculamos el determinante de la matriz equivalente,
Para que la matriz no admita una inversa se debe cumplir que
Podemos concluir que la matriz no admite inversa para 
.
Encuentra el valor de para la ecuación
Primero calculemos una matriz equivalente,
Ahora calculamos el determinante de la matriz equivalente e igualamos a cero,
Resolviendo la última igualdad, se tiene que
Si
Encuentra el valor de
Primero observamos que la primera columna tiene como factor común 
, entonces
Observamos que la segunda columna tiene como factor común , entonces
Encontramos una matriz equivalente
conocemos el valor del último determinante, por lo que sustituimos y obtenemos
Resolver la ecuación matricial:
donde 
.
Dado que , podemos decir que existe 
. Al multiplicar a la derecha en ambos lados de la igualdad tenemos que
Resolver las ecuación matricial:
donde .
Dado que , podemos decir que existe . Al multiplicar en ambos lados de la igualdad tenemos que
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ME PUEDEN DAR LA AUTORA Y EL AÑO EN QUE SE PUBLICO
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«Superprof. Ejercicios de determinantes II. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Falta la propiedad de la inversa de una matriz= 1/ la matriz
Hola, si tenemos un artículo con el tema de la inversa de una matriz es este «https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/matrices/formulas-de-matriz-inversa.html».
Hola. Una sugerencia:
En el aparte 5, sugiero añadir algo a la explicación de la regla de invariancia citada previamente.
La original dice: «Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.»
La sugerencia sería: «Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás y de ella misma, el valor del determinante no varía.»
Espero que eso ayude…
Gracias por estar ahí… Saludos!!
Buenos días.
Si en el ejemplo del punto 5 anterior hacemos la siguiente transformación
C3=2C1+C2-C3
el determinante resultante cambia de signo (para a valer -16).
Y esto sería otra combinación lineal en la que se incluye a la propia columna 3…
Fijate que me aparece el articulo «Ejercicios de determinantes II» y no encuentro lo que mencionas, podrias indicarme el articulo que mencionas, gracias por la sugerencia.
Colo resolver el método de determinante de
5×-2y=1
3×+y=5
(1-1 0 0 2 1 1 3 -1