Propiedades de los determinantes

1Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

A=\begin{vmatrix} 1 & a & b+c\\ 1& b & a+c \\ 1& c & a+b \end{vmatrix} \hspace{2cm} B=\begin{vmatrix} a & 3a & 4a\\ a & 5a & 6a\\ a & 7a & 8a \end{vmatrix}

 

1 Determinante de A

A la columna 3 le sumamos la columna 2 y obtenemos:
A=\begin{vmatrix} 1 & a & b+c\\ 1& b & a+c \\ 1& c & a+b \end{vmatrix} \xrightarrow{C_3+C_2} \begin{vmatrix} 1 & a & a+b+c\\ 1& b & a+b+c \\ 1& c & a+b+c \end{vmatrix}=(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & a & 1\\ 1& b & 1 \\ 1& c & 1 \end{vmatrix}=0

Tiene dos columnas iguales, por lo tanto su determinante debe ser igual a 0.

 

2 Determinante de B

Notamos que la tercera columna es igual a la suma de las otras dos, así que su determinante es 0.

B=\begin{vmatrix} a & 3a & 4a\\ a & 5a & 6a\\ a & 7a & 8a \end{vmatrix}=0

 

 

2Si A=\begin{vmatrix} x & y & z\\ 3 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=5, calcula los determinantes B y C 

  • B=\begin{vmatrix} 2x & 2y & 2z\\ \frac{3}{2} & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}
  • C=\begin{vmatrix} x & y & z\\ 3x+3 & 3y & 3z+2\\ x+1 & y+1 & z+1 \end{vmatrix}

 

1 Determinante de B

\displaystyle B=\begin{vmatrix} 2x & 2y & 2z\\ \frac{3}{2} & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}= 2 \begin{vmatrix} x & y & z\\ \frac{3}{2} & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=2\cdot \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x & y & z\\ 3 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & y & z\\ 3 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=5

2 Determinante de C

 

\displaystyle C=\begin{vmatrix} x & y & z\\ 3x+3 & 3y & 3z+2\\ x+1 & y+1 & z+1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\ \xrightarrow{\; f_2-3f_1\; }\\ \xrightarrow{\ f_3-f_1\ } \end{matrix} \begin{vmatrix} x & y & z\\ 3 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=5

 

3Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

A=\begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\\ 3 & 2 & 0\\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\hspace{2cm} B=\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3\\ 2 & -1 & 3\\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}

 

1 Determinante de A

 

A=\begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\\ 3 & 2 & 0\\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\xrightarrow{\ \ c_1=c_1+c_2-c_3 \ \ }\begin{vmatrix} 5 & 4 & 1\\ 5 & 2 & 0\\ 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=5\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}

No nos interesa saber el valor exacto de la última matriz, pues sabemos que debe ser un número entero y que al multiplicarse por el 5 de la izquierda, el determinante de A resultará un múltiplo de 5.

 

2 Determinante de B

 

B=\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3\\ 2 & -1 & 3\\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}\xrightarrow{\ \ c_1=c_1+c_2+c_3 \ \ }\begin{vmatrix} 4 & 2 & 3\\ 4 & -1 & 3\\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix}=4\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 3\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}

De manera análoga, ignoramos el valor exacto de la última matriz, ya que al ser un número entero y al multiplicarse por el 4 de la izquierda, el determinante de B resultará un múltiplo de 4

 

4 Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

\begin{vmatrix} 1 & 5 & 0\\ 2 & 2 & 5\\ 2 & 5 & 5 \end{vmatrix}

 

\begin{vmatrix} 1 & 5 & 0\\ 2 & 2 & 5\\ 2 & 5 & 5 \end{vmatrix}\xrightarrow{\ \ 100c_1+10c_2+c_3 \ \ }\begin{vmatrix} 1 & 5 & 150\\ 2 & 2 & 225\\ 2 & 5 & 225 \end{vmatrix}=15\begin{vmatrix} 1 & 5 & 10\\ 2 & 2 & 15\\ 2 & 5 & 17 \end{vmatrix}

No nos interesa saber el valor exacto de la última matriz, pues sabemos que debe ser un número entero y que al multiplicarse por el 15 de la izquierda, el determinante de  resultará un múltiplo de 15

 

 

5Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

    • \begin{vmatrix} x+y & y+z & z+x\\ p+q & q+r & r+p\\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=2\cdot \begin{vmatrix} x & y & z\\ p & q & r\\ a & b & c \end{vmatrix}

 

  • \begin{vmatrix} a^2 & a & bc\\ b^2 & b & ca\\ c^2 & c & ab \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a^3 & a^2 & 1\\ b^3 & b^2 & 1\\ c^3 & c^2 & 1 \end{vmatrix}

 

1 \begin{vmatrix} x+y & y+z & z+x\\ p+q & q+r & r+p\\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=2\cdot \begin{vmatrix} x & y & z\\ p & q & r\\ a & b & c \end{vmatrix}

 

Expresamos la matriz como suma de dos matrices

|A|=\begin{vmatrix} x+y & y+z & z+x\\ p+q & q+r & r+p\\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & y+z & z+x\\ p & q+r & r+p\\ a & b+c & c+a \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y & y+z & z+x\\ q & q+r & r+p\\ b & b+c & c+a \end{vmatrix}

Cada uno de estos sumandos es a su vez la suma de otras dos matrices

|A|=\begin{vmatrix} x & y+z & z\\ p & q+r & r\\ a & b+c & c \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x & y+z & x\\ p & q+r & p\\ a & b+c & a \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y & y & z+x\\ q & q & r+p\\ b & b & c+a \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y & z & z+x\\ q & r & r+p\\ b & c & c+a \end{vmatrix}

Pero la segunda y tercera matriz tiene dos columnas iguales, por lo que su determinante será cero. Así que

|A|=\begin{vmatrix} x & y+z & z\\ p & q+r & r\\ a & b+c & c \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y & z & z+x\\ q & r & r+p\\ b & c & c+a \end{vmatrix}

Separamos como sumas nuevamente estas dos matrices y nos queda

|A|=\begin{vmatrix} x & y & z\\ p & q & r\\ a & b & c \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x & z & z\\ p & r & r\\ a & c & c \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y & z & z\\ q & r & r\\ b & c & c \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y & z & x\\ q & r & p\\ b & c & a \end{vmatrix}

Nuevamente la segunda y tercera matriz tiene dos columnas iguales, por lo que su determinante será cero.

|A|=\begin{vmatrix} x & y & z\\ p & q & r\\ a & b & c \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y & z & x\\ q & r & p\\ b & c & a \end{vmatrix}

|A|=\begin{vmatrix} x & y & z\\ p & q & r\\ a & b & c \end{vmatrix}+(-1)(-1)\begin{vmatrix} x & y & z\\ p & q & r\\ a & b & c \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} x & y & z\\ p & q & r\\ a & b & c \end{vmatrix}

Cada factor (-1) sale de haber intercambiado la posición de un par de columnas

 

2 \begin{vmatrix} a^2 & a & bc\\ b^2 & b & ca\\ c^2 & c & ab \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a^3 & a^2 & 1\\ b^3 & b^2 & 1\\ c^3 & c^2 & 1 \end{vmatrix}

 

Multiplicamos la 1ª fila por la a, la 2ª por b y la tercera por c, por tanto tenemos que dividir por abc para que el resultado no varíe.

\displaystyle \begin{vmatrix} a^2 & a & bc\\ b^2 & b & ca\\ c^2 & c & ab \end{vmatrix}=\frac{1}{abc}\begin{vmatrix} a^3 & a^2 & abc\\ b^3 & b^2 & abc\\ c^3 & c^2 & abc \end{vmatrix}=\frac{abc}{abc}\begin{vmatrix} a^3 & a^2 & 1\\ b^3 & b^2 & 1\\ c^3 & c^2 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a^3 & a^2 & 1\\ b^3 & b^2 & 1\\ c^3 & c^2 & 1 \end{vmatrix}

 

6Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

A=\begin{vmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4 & 5 &6 \\ 7 & 8 &9 \end{vmatrix} \hspace{2cm} B=\begin{vmatrix} 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &1 \end{vmatrix}\hspace{2cm} C=\begin{vmatrix} 2 & 3 &4\\ 2 & a+3 &b+4 \\ 2 & c+3 &d+4 \end{vmatrix}

 

1 Determinante A

 

A= \begin{vmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4 & 5 &6 \\ 7 & 8 &9 \end{vmatrix}\begin{matrix} \\ \xrightarrow{\ \ f_2-f_1\ \ }\\ \xrightarrow{\ \ f_3-f_2\ \ }\\ \end{matrix}\begin{vmatrix} 1 & 2 &3 \\ 3 & 3 &3 \\ 3 & 3 &3 \end{vmatrix}=0

 

2 Determinante B

 

B=\begin{vmatrix} 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &1 \end{vmatrix}=1\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1

 

3 Determinante C

 

C=\begin{vmatrix} 2 & 3 &4\\ 2 & a+3 &b+4 \\ 2 & c+3 &d+4 \end{vmatrix}\begin{matrix} \\ \xrightarrow{\ \ f_2-f_1\ \ }\\ \xrightarrow{\ \ f_3-f_1\ \ }\\ \end{matrix}\begin{vmatrix} 2 & 3 &4\\ 0 & a &b \\ 0 & c &d \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=2(ad-bc)

 

8Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

    • A \cdot X = B, donde

A=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \hspace{2cm} B=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & -5 \end{pmatrix}

    • X \cdot A + B = C donde

A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\hspace{2cm} B=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\hspace{2cm}C=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}

 

1 A \cdot X = B

 

|A|=1 \not = 0, existe la matriz inversa A^{-1}.

A^{-1} (A\cdot X) = A^{-1} \cdot B

( A^{-1}\cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot B

I \cdot X = A^{-1} \cdot B

X = A^{-1} \cdot B

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}

 

X=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & -5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 17\\ 1 & -11 \end{pmatrix}

 

 2  X \cdot A + B = C

 

|A| = 1 \not = 0, existe la matriz inversa A^{-1}

(X \cdot A + B) - B = C -B

X \cdot A + (B - B) = C - B

X \cdot A + 0 = C - B

X \cdot A = C -B

X \cdot A \cdot A^{-1} = ( C - B) \cdot A^{-1}

X (A \cdot A^{-1} ) = ( C - B) \cdot A^{-1}

X \cdot I = ( C - B) \cdot A^{-1}

X = ( C - B) \cdot A^{-1}

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}

 

X=\left[ \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\right ]\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ -1 &1 \end{pmatrix}

X= \begin{pmatrix} -1 &1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ -1 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 &2 \\ 4 &-3 \end{pmatrix}

 

Determinantes triangulares

9Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

      A=\begin{vmatrix} a & 1 & 1 &1 \\ 1 & a & 1 &1 \\ 1 & 1 & a &1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{vmatrix} \hspace{2cm} B= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 5 &5 & 5\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7\\ 1&3 &5 &7 & 9 \end{vmatrix}

 

1 Determinante A

 

|A|= \begin{vmatrix} a & 1 & 1 &1 \\ 1 & a & 1 &1 \\ 1 & 1 & a &1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{vmatrix} \begin{matrix} \\ \xrightarrow{\ \ f_2-f_1\ \ }\\ \xrightarrow{\ \ f_3-f_1\ \ }\\ \xrightarrow{\ \ f_4-f_1\ \ }\\ \end{matrix}\begin{vmatrix} a+3 & 1 & 1 &1 \\ a+3 & a & 1 &1 \\ a+3 & 1 & a &1 \\ a+3 & 1 & 1 & a \end{vmatrix}

|A|=(a+3) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & a-1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & a-1 &0 \\ 0 & 0 & 0& a-1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\ \xrightarrow{f_2-f_1}\\ \xrightarrow{f_3-f_1}\\ \xrightarrow{f_4-f_1 } \end{matrix}(a+3) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 & a & 1 &1 \\ 1 & 1 & a &1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{vmatrix}

|A|=(a+3)(a-1)^3

 

2 Determinante B

 

B= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 5 &5 & 5\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7\\ 1&3 &5 &7 & 9 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\ \xrightarrow{\ \ f_2-f_1\ \ }\\ \xrightarrow{\ \ f_3-f_1\ \ }\\ \xrightarrow{\ \ f_4-f_1\ \ }\\ \xrightarrow{\ \ f_5-f_1\ \ } \end{matrix}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 &2 & 2\\ 0 & 0 & 0& 2 & 2\\ 0&0 &0 &0 & 2 \end{vmatrix}=1\cdot 2^4=16

 

Determinantes de Vandermonde

10Calcular los determinantes de Vandermonde:

       A=\begin{vmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} \hspace{2cm} B=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2\\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix}

 

1 Determinante A

 

|A|= \begin{vmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}\begin{matrix} \\ \xrightarrow{\ \ c_2-a\cdot c_1\ \ }\\ \xrightarrow{\ \ c_3-a\cdot c_2\ \ }\\ \end{matrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & b-a & b^2-ab\\ 1 & c-a & c^2-ac \end{vmatrix}

 

|A|= \begin{vmatrix} b-a & b(b-a)\\ c-a & c(c-a) \end{vmatrix}

 

|A|=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & b\\ 1 & c \end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)

 

2 Determinante B

 

|B|= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2\\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix}\begin{matrix} \\ \xrightarrow{\ \ f_2-a\cdot f_1\ \ }\\ \xrightarrow{\ \ f_3-a\cdot f_2\ \ }\\ \xrightarrow{\ \ f_4-a\cdot f_1\ \ } \end{matrix}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & b-a & c-a & d-a \\ 0 & b^2-ab & c^2-ac & d^2-ad\\ 0 & b^3-ab^2 & c^3-ac^2 & d^3-ad^2 \end{vmatrix}

 

|B|=\begin{vmatrix} b-a & c-a & d-a \\ b(b-a) & c(c-a) & d(d-a)\\ b^2(b-a) & c^2(c-a) & d^2(d-a) \end{vmatrix}

 

|B|=(b-a)(c-a)(d-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b& c & d\\ b^2 & c^2 & d^2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\ \xrightarrow{f_2-b\cdot f_1 }\\ \xrightarrow{ f_3-b\cdot f_2 }\\ \end{matrix}(b-a)(c-a)(d-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0& c-b & d-b\\ 0 & c^2-bc & d^2-bd \end{vmatrix}

 

|B|=(b-a)(c-a)(d-a)\begin{vmatrix} c-b & d-b\\ c(c-b) & d(d-b) \end{vmatrix}

 

|B|=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)\begin{vmatrix} 1 & 1\\ c & d \end{vmatrix}

 

|B|=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

 

Matriz inversa

11Hallar la matriz inversa de:

A=\begin{pmatrix} 2 &0 &1 \\ 1 & 1 &-4 \\ 3& 7 & -3 \end{pmatrix}

 

Hallar la matriz inversa de:
El determinante es

A=\begin{vmatrix} 2 &0 &1 \\ 1 & 1 &-4 \\ 3& 7 & -3 \end{vmatrix}

La matriz adjunta y la matriz adjunta transpuesta están dadas por

A*=\begin{vmatrix} 25 &-9&4 \\ 7 & -9 &-14 \\ -1& 9 & 2 \end{vmatrix}\hspace{1.5cm}(A*)^t=\begin{vmatrix} 25 &7&-1 \\ -9 & -9 &9 \\ 4& -14 & 2 \end{vmatrix}

Finalmente la inversa es

\displaystyle A^{-1}=\begin{vmatrix} \frac{25}{54} &\frac{7}{54}&\frac{-1}{54} \\ \frac{-9}{54} & \frac{-9}{54} &\frac{9}{54} \\ \frac{4}{54}& \frac{-14}{54} & \frac{2}{54} \end{vmatrix}

 

12Para qué valores de x la matriz A=\begin{pmatrix} 3 & x & x\\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} no admite matriz inversa?

 

Calculamos el determinante

A=\begin{vmatrix} 3 & x & x\\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}=x\begin{vmatrix} 1 &-1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}=x

Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.

 

Rango de matrices

13Calcular el rango de las siguientes matrices:

    • A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 6\\ -1 & -2 & 0 & -3\\ 3 & 5 & 1 & 9 \end{pmatrix}

 

    • B=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 0& 2\\ 1 & -1 & 1 & 3\\ -1 & 2 & 4 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

 

  • C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 & -1\\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 5 & 0 & 3 & 3\\ 1 & 6 & 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}

 

1 Rango de A

 

A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 6\\ -1 & -2 & 0 & -3\\ 3 & 5 & 1 & 9 \end{pmatrix}

 

|2|=2\not =0

 

\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}\not =0

 

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & 1 \end{vmatrix}=0  \hspace{2cm} \begin{vmatrix} 2 & 3  & 6\\ -1 & -2  & -3\\ 3 & 5  & 9 \end{vmatrix}=0

\begin{vmatrix} 2  & 6 &1 \\ -1 &  -3&0\\ 3 &  9&1 \end{vmatrix}=0 \hspace{2cm} \begin{vmatrix} 6& 3 & 1\\ -3& -2 & 0 \\ 9& 5 & 1 \end{vmatrix}=0

 

Por lo tanto el rango es

r(A) = 2

 

2 Rango de B

 

B=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 0& 2\\ 1 & -1 & 1 & 3\\ -1 & 2 & 4 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

 

|3|=3\not =0

 

\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=1\not =0

 

\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}-7\not =0

\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 0& 2\\ 1 & -1 & 1 & 3\\ -1 & 2 & 4 & 2\end{pmatrix}=-99\not =0

 

Entonces el rango de B está dado por

r(B) = 4

 

3 Rango de C

 

C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 & -1\\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 5 & 0 & 3 & 3\\ 1 & 6 & 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}

 

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinación lineal de la primera y segunda:

c_5= -2 \cdot c_1 + c_2

 

El rango de C es equivalente al rango de la siguiente matriz

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4\\ 1 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}

 

|1|=1\not =0 \hspace{2cm} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\not =0

El rango de C es

r(C)=2

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗