Las fórmulas para calcular determinantes vienen dadas de acuerdo al orden del determinante. También existe un método general para realizar el cálculo para cualquier orden.

 

Fórmulas de determinantes

 

Cálculo de un determinante de orden 1

Al tratarse de un solo elemento, el determinante es el mismo elemento

|a_{11}|=a_{11}

 

Cálculo de un determinante de orden 2

Se obtiene de restar al producto de los elementos de la diagonal el producto de los elementos de la antidiagonal

\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}

 

Cálculo de un determinante de orden 3

Un método frecuentemente empleado es la regla de Sarrus, en la que los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

 

Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|=\begin{array}{r}a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}\\ -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}\end{array}

 

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó −1.

Seguiremos los siguientes pasos:

 1  Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

\left|\begin{array}{cccc}2&3&3&6\\ 2&3&6&7\\ 21&82&0&3\\ 2&23&\begin{tabular}{|c|}\hline 1 \\ \hline\end{tabular}&1\end{array}\right|

 

 2  En caso negativo seguiremos alguno de los siguientes pasos:

 a  Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó un −1 (operando con alguna línea paralela ).

\left|\begin{array}{cccc}2&3&3&6\\ 2&3&6&7\\ 4&82&0&3\\ 5&23&2&3\end{array}\right| \underrightarrow{f_2=f_2-f_1} \left|\begin{array}{cccc}2&3&3&6\\ 0&0&3&\begin{tabular}{|c|}\hline 1 \\ \hline\end{tabular}\\ 4&82&0&3\\ 5&23&2&3\end{array}\right|

 

 b  Dividiendo la línea fila (o la columna) por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir, sacamos factor común en una fila (o una columna) de uno de sus elementos.

\left|\begin{array}{cccc}2&3&3&6\\ 2&3&6&7\\ 4&4&0&3\\ 2&5&2&3\end{array}\right|=2\cdot \left|\begin{array}{cccc}\begin{tabular}{|c|}\hline 1 \\ \hline\end{tabular}&3&3&6\\ 1&3&6&7\\ 2&4&0&3\\ 1&5&2&3\end{array}\right|

 

 3  Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

2\cdot \left|\begin{array}{cccc}1&3&3&6\\ 1&3&6&7\\ 2&4&0&3\\ 1&5&2&3\end{array}\right|\underrightarrow{\begin{array}{lr}f_2=f_2-f_1&\\ f_3=f_3-2f_1&\\ f_4=f_4-f_1&\end{array}}2\cdot\left|\begin{array}{cccc}\begin{tabular}{|c|}\hline 1 \\ \hline\end{tabular}&3&3&6\\ 0&0&3&1\\ 0&-2&-6&-9\\ 0&2&-1&-3\end{array}\right|

 

 4  Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

2\cdot\left|\begin{array}{ccc}0&3&1\\ -2&-6&-9\\ 2&-1&-3\end{array}\right|=2(-58)=-116

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Vamos

Propiedades de los determinantes

 1 El determinante de una matriz y el de su transpuesta son iguales.

 

 2 Si el determinante de una matriz es cero, entonces

aPosee dos filas (o columnas) iguales.

bTodos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

cLos elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

 

 3 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

 

 4 Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

 

 5 Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

 

 6 Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

 

 7 Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

\left|\begin{array}{ccc}2&1&2\\ a+b&a+c&a+d\\ 3&5&6\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}2&1&2\\ a&a&a\\ 3&5&6\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}2&1&2\\ b&c&d\\ 3&5&6\end{array}\right|

 

 8 El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes

 

Cálculo de la matriz inversa

Para calcular la inversa de una matriz A empleamos la siguiente fórmula

A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}\cdot \left(A^*\right)^t

 

con

\begin{tabular}{ll}A^{-1}& \text{la matriz inversa}\\ \left| A\right| & \text{el determinante de la matriz}\\ A^*& \text{la matriz adjunta}\\ \left(A^*\right)^t& \text{la matriz transpuesta de la adjunta}\end{tabular}

 

Cálculo del rango de una matriz

El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.

 

Podemos descartar una línea si:

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos líneas iguales.

Una línea es proporcional a otra.

Una línea es combinación lineal de otras.

 

En general, los pasos a seguir para el cálculo del rango por determinates son:

 1  Descartamos las filas (o columnas) que cumplan las condiciones vistas anteriormente.

 2  Si al menos un elemento de la matriz no es cero su determinante no será nulo y, por tanto, el rango será mayor o igual a 1.

 3  El rango será mayor o igual a 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

 4  El rango será mayor o igual a 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

 5 El rango será mayor o igual a 4 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 4, tal que su determinante no sea nulo.

 

De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4, hasta que la submatriz (o las submatrices) del mayor orden posible tenga (o tengan) determinante nulo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗