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Fórmulas de determinantes
Propiedades de los determinantes
Cálculo de la matriz inversa
Cálculo del rango de una matriz

Las fórmulas para calcular determinantes vienen dadas de acuerdo al orden del determinante. También existe un método general para realizar el cálculo para cualquier orden.

Fórmulas de determinantes

Cálculo de un determinante de orden 1

Al tratarse de un solo elemento, el determinante es el mismo elemento

$|a_{11}|=a_{11}$

Cálculo de un determinante de orden 2

Se obtiene de restar al producto de los elementos de la diagonal el producto de los elementos de la antidiagonal

$\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$

Cálculo de un determinante de orden 3

Un método frecuentemente empleado es la regla de Sarrus, en la que los términos con signo $+$ están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo $−$ están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

$\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|=\begin{array}{r}a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}\\ -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}\end{array}$

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó −1.

Seguiremos los siguientes pasos:

1 Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

$\left|\begin{array}{cccc}2&3&3&6\\ 2&3&6&7\\ 21&82&0&3\\ 2&23&\begin{tabular}{|c|}\hline 1 \\ \hline\end{tabular}&1\end{array}\right|$

2 En caso negativo seguiremos alguno de los siguientes pasos:

a Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó un −1 (operando con alguna línea paralela ).

$\left|\begin{array}{cccc}2&3&3&6\\ 2&3&6&7\\ 4&82&0&3\\ 5&23&2&3\end{array}\right| \underrightarrow{f_2=f_2-f_1} \left|\begin{array}{cccc}2&3&3&6\\ 0&0&3&\begin{tabular}{|c|}\hline 1 \\ \hline\end{tabular}\\ 4&82&0&3\\ 5&23&2&3\end{array}\right|$

b Dividiendo la línea fila (o la columna) por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir, sacamos factor común en una fila (o una columna) de uno de sus elementos.

$\left|\begin{array}{cccc}2&3&3&6\\ 2&3&6&7\\ 4&4&0&3\\ 2&5&2&3\end{array}\right|=2\cdot \left|\begin{array}{cccc}\begin{tabular}{|c|}\hline 1 \\ \hline\end{tabular}&3&3&6\\ 1&3&6&7\\ 2&4&0&3\\ 1&5&2&3\end{array}\right|$

3 Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

$2\cdot \left|\begin{array}{cccc}1&3&3&6\\ 1&3&6&7\\ 2&4&0&3\\ 1&5&2&3\end{array}\right|\underrightarrow{\begin{array}{lr}f_2=f_2-f_1&\\ f_3=f_3-2f_1&\\ f_4=f_4-f_1&\end{array}}2\cdot\left|\begin{array}{cccc}\begin{tabular}{|c|}\hline 1 \\ \hline\end{tabular}&3&3&6\\ 0&0&3&1\\ 0&-2&-6&-9\\ 0&2&-1&-3\end{array}\right|$