Definición de la matriz inversa

 
El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.

A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A= I
Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.

 

 

 1  (A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}

 2  (A^{-1})^{-1}=A

 3  (k\cdot A)^{-1}=k^{-1}A^{-1}

 4  (A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}

 

Cálculo por determinantes

 
El cálculo de una matriz inversa por determinantes se basa en el siguiente resultado

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t
donde

    \begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}

 

Para entender el procedimiento, comenzaremos con un ejemplo:

 

  • A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3& 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

 1  Calculamos el determinante de la matriz.
 

En el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

|A|=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3& 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}=3

 

 2  Hallamos la matriz adjunta
 

Es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

 

A^{*}=\begin{pmatrix} \ \ \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 0\\ 5 & 1 \end{vmatrix} & \ \ \begin{vmatrix} 3 & 0\\ 5 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 1& 1 \end{vmatrix} &\ \ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 5 &1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 &0 \\ 5 &1 \end{vmatrix}\\ \ \ \begin{vmatrix} 0&1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2&1 \\ 3&0 \end{vmatrix} &\ \ \begin{vmatrix} 2& 0\\ 3 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &-3 &3 \\ 1 &-3 &-2 \\ 0& 3& 0 \end{pmatrix}

 
 3  Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
 

(A^*)^t=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -3 & -3 & 3\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}

 
 4  La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.
 

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -3 & -3 & 3\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}

 

¿Necesitas un/a profe de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,34/5 - 35 voto(s)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗