1Calcula el valor del determinante

 

{\left|\begin{array}{rrrr} 2 & 3 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 6 & 7 \\ 4 & 82 & 0 & 3 \\ 2 & 23 & 2 & 3 \end{array}\right|}

1La primera columna es un múltiplo de 2, entonces

 

{\left|\begin{array}{rrrr} 2 & 3 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 6 & 7 \\ 4 & 82 & 0 & 3 \\ 2 & 23 & 2 & 3 \end{array}\right| = 2\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 6 & 7 \\ 2 & 82 & 0 & 3 \\ 1 & 23 & 2 & 3 \end{array}\right|}

 

2Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}, f_{4}} por {f_{2}-f_{1}, f_{3}-2f_{1}, f_{4}-f_{1}} respectivamente y obtenemos

 

 2\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 6 & 7 \\ 2 & 82 & 0 & 3 \\ 1 & 23 & 2 & 3 \end{array}\right| = 2\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 76 &-6 & -9 \\ 0 & 20 & -1 & -3 \end{array}\right|}

 

3Para la primera columna que contiene 3 ceros, aplicamos la matriz reducida y obtenemos

 

 2\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 76 &-6 & -9 \\ 0 & 20 & -1 & -3 \end{array}\right| = 2(1)\left|\begin{array}{rrr} 0 & 3 & 1 \\ 76 &-6 & -9 \\ 20 & -1 & -3 \end{array}\right|}

 

4Aplicamos la regla de Sarrus y obtenemos

 

 2(1)\left|\begin{array}{rrr} 0 & 3 & 1 \\ 76 &-6 & -9 \\ 20 & -1 & -3 \end{array}\right| = 376 }


¿Buscas un profe de mates?

2Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

{A = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right|}

 

{B= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0& 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|}

 

{C= \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3& 4 \\ 2 & a+3 & b+4 \\ 2 & c+3 & d+4 \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}} por {f_{2}-f_{1}, f_{3}-f_{2}} respectivamente y obtenemos

 

{A = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}\right|}

 

2Como se tienen dos filas iguales, las propiedades de los determinantes nos dicen que el resultado es cero

 

{A = 0}

 

Determinante B

 

{B= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0& 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|}

 

1Como se trata de una matriz triangular, las propiedades de los determinantes nos dicen que el resultado es el producto de los elementos de la diagonal

 

{B= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0& 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right| = (1)(1)(1) = 1}

 

Determinante C

 

{C= \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3& 4 \\ 2 & a+3 & b+4 \\ 2 & c+3 & d+4 \end{array}\right|}

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}} por {f_{2}-f_{1}, f_{3}-f_{1}} respectivamente y obtenemos

 

{C= \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3& 4 \\ 2 & a+3 & b+4 \\ 2 & c+3 & d+4 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3& 4 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{array}\right|}

 

2Para la primera columna que contiene 2 ceros, aplicamos la matriz reducida y obtenemos

 

{\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3& 4 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right|}

 

3Calculamos el último determinante y obtenemos

 

{2 \left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right| = 2(ad-bc)}

3Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

{A=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 9 & 16 & 25 & 36 \\ 16 & 25 & 36 & 49 \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 4 & 16 & 36 & 64 \\ 8 & 64 & 216 & 512 \end{array}\right|}

 

{C=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 &5 \\ 2 & -2 & 1 &-3 \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}, f_{4}} por {f_{2}-f_{1}, f_{3}-f_{2}, f_{4}-f_{3}} respectivamente y obtenemos

 

{A=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 9 & 16 & 25 & 36 \\ 16 & 25 & 36 & 49 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 3 & 5 & 7 & 9 \\ 5 & 7 & 9 & 11 \\ 7 & 9 & 11 & 13 \end{array}\right|}

 

2Nuevamente reemplazamos las filas {f_{3}, f_{4}} por {f_{3}-f_{2}, f_{4}-f_{3}} respectivamente y obtenemos

 

{ \left|\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 3 & 5 & 7 & 9 \\ 5 & 7 & 9 & 11 \\ 7 & 9 & 11 & 13 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 3 & 5 & 7 & 9 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{array}\right|}

 

3Como se tienen dos filas iguales, las propiedades de los determinantes nos dicen que el resultado es cero, esto es, {A=0}

 

Determinante B

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las columnas, reemplazamos las columnas {c_{2}, c_{3}, c_{4}} por {c_{2}-c_{1}, c_{3}-c_{2}, c_{4}-c_{3}} respectivamente y obtenemos

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 4 & 16 & 36 & 64 \\ 8 & 64 & 216 & 512 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 4 & 12 & 20 & 28 \\ 8 & 56 & 152 & 296 \end{array}\right|}

 

2Para la primera fila que contiene 3 ceros, aplicamos la matriz reducida y obtenemos

 

{\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 4 & 12 & 20 & 28 \\ 8 & 56 & 152 & 296 \end{array}\right| = (1) \left|\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2 \\ 1 2& 20 & 28 \\ 56 & 152 & 296 \end{array}\right|}

 

3La primera fila es un múltiplo de 2, entonces

 

{(1)\left|\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2 \\ 1 2& 20 & 28 \\ 56 & 152 & 296 \end{array}\right| = (1)(2) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 2& 20 & 28 \\ 56 & 152 & 296 \end{array}\right|}

 

4Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las columnas, reemplazamos las columnas {c_{2}, c_{3}} por {c_{2}-c_{1}, c_{3}-c_{2}} respectivamente y obtenemos

 

{(1)(2) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 2& 20 & 28 \\ 56 & 152 & 296 \end{array}\right| = (1)(2) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 2& 8 & 8 \\ 56 & 96 & 144 \end{array}\right|}

 

5Para la primera fila que contiene 2 ceros, aplicamos la matriz reducida y obtenemos

 

{(1)(2) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 2& 8 & 8 \\ 56 & 96 & 144 \end{array}\right| = (1)(2)(1) \left|\begin{array}{cc} 8 & 8 \\ 96 & 144 \end{array}\right| }

 

6Calculamos el determinante para la matriz de {2 \times 2}

 

{(1)(2)(1) \left|\begin{array}{cc} 8 & 8 \\ 96 & 144 \end{array}\right| = (1)(2)(1)(8\cdot 144 -8\cdot 96) = 768}

 

Determinante C

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos las filas {f_{3}, f_{4}} por {f_{3} + f_{1}, f_{4} - 2f_{1}} respectivamente y obtenemos

 

{C=\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 &5 \\ 2 & -2 & 1 &-3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & 8 \\ 0 & -6 & -3 & -9 \end{array}\right|}

 

2Para la primera columna que contiene 3 ceros, aplicamos la matriz reducida y obtenemos

 

{\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & 8 \\ 0 & -6 & -3 & -9 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrr} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 4 & 8 \\ -6 & -3 & -9 \end{array}\right|}

 

3La segunda fila es un múltiplo de 4 y la tercera es un múltiplo de -3, entonces

 

{ \left|\begin{array}{rrr} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 4 & 8 \\ -6 & -3 & -9 \end{array}\right| = -3 \cdot 4 \left|\begin{array}{rrr} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right| }

 

4Resolvemos el último determinante obtenido

 

{ -3 \cdot 4 \left|\begin{array}{rrr} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right| = -72 }

4Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de: 

{A=\left|\begin{array}{cccc} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a &1 \\ 1 & 1 & 1 &a \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las columnas, reemplazamos {c_{1}} por {c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4}} y obtenemos

 

{A=\left|\begin{array}{cccc} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a &1 \\ 1 & 1 & 1 &a \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrrr} a + 3 & 1 & 1 & 1 \\ a + 3 & a & 1 & 1 \\ a + 3 & 1 & a &1 \\ a + 3 & 1 & 1 &a \end{array}\right|}

 

2Como la primera columna es un múltiplo de a + 3, se tiene

 

{\left|\begin{array}{rrrr} a + 3 & 1 & 1 & 1 \\ a + 3 & a & 1 & 1 \\ a + 3 & 1 & a &1 \\ a + 3 & 1 & 1 &a \end{array}\right| = (a+3)\left|\begin{array}{crrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a &1 \\ 1 & 1 & 1 &a \end{array}\right|}

 

3Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos las filas {f_2, f_{3}, f_{4}} por {f_2 - f_1, f_{3} - f_{1}, f_{4} - f_{1}} respectivamente y obtenemos

 

{(a+3)\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{array}\right| = (a+3)\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 \end{array}\right| }

 

4El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal

 

{(a + 3)\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 \end{array}\right| = (a + 3)(a - 1)^3 }

 

Determinante B

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos las filas {f_2, f_{3}, f_{4}, f_5} por {f_2 - f_1, f_{3} - f_{2}, f_{4} - f_{3}, f_5 - f_4} respectivamente y obtenemos

 

{B=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right|}

 

2El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal

 

{\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right| = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16}

5Calcular los determinantes de Vandermonde: 

{A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} &d^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} &d^{3} \end{array}\right|}

 

Determinante A

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las columnas, reemplazamos {c_{2}, c_{3}} por {c_{2} - a \cdot c_{1}, c_{3} - a \cdot c_{2}} respectivamente y obtenemos

 

{A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & b - a & b^{2} - ab \\ 1 & c - a & c^{2} - ac \end{array}\right|}

 

2Para la primera fila que contiene 3 ceros, aplicamos la matriz reducida y obtenemos

 

{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & b - a & b^{2} - ab \\ 1 & c - a & c^{2} - ac \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rr} b - a & b(b - a)  \\ c - a & c(c - a) \end{array}\right|}

 

3Los elementos de la primera fila tienen un factor en común; lo mismo sucede para la segunda fila. Estos factores los sacamos del determinante y resolvemos el determinante obtenido

 

{\left|\begin{array}{rr} b - a & b(b - a) \\ c - a & c(c - a) \end{array}\right| = (b - a)(c - a)\left|\begin{array}{rr} 1 & b \\ 1 & c \end{array}\right| = (b - a)(c - a)(c - b)}

 

Determinante B

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos {f_{2}, f_{3}, f_4} por {f_{2} - a \cdot f_{1}, f_{3} - a \cdot f_{2}, f_4 - a \cdot f_3} respectivamente y obtenemos

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} &d^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} &d^{3} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & b - a & c - a & d - a \\ 0 & b^{2} - ab & c^{2} - ac &d^{2} - ad \\ 0 & b^{3} - ab^2 & c^{3} - ac^2 &d^{3} - ad^2 \end{array}\right|}

 

2Para la primera columna que contiene 3 ceros, aplicamos la matriz reducida y obtenemos

 

{\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & b - a & c - a & d - a \\ 0 & b^{2} - ab & c^{2} - ac &d^{2} - ad \\ 0 & b^{3} - ab^2 & c^{3} - ac^2 &d^{3} - ad^2 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} b - a & c - a & d - a \\ b(b - a) & c(c - a) & d(d - a) \\ b^{2}(b - a) & c^{2}(c - a) & d^{2}(d - a) \end{array}\right|}

 

3Los elementos de la primera columna tienen un factor en común; lo mismo sucede el resto de las columnas. Estos factores los sacamos del determinante

 

{\left|\begin{array}{ccc} b - a & c - a & d - a \\ b(b - a) & c(c - a) & d(d - a) \\ b^{2}(b - a) & c^{2}(c - a) & d^{2}(d - a) \end{array}\right| = (b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b & c & d \\ b^{2} & c^{2} & d^{2} \end{array}\right|}

 

4Reemplazamos {f_{2}, f_{3} por {f_{2} - b \cdot f_{1}, f_{3} - b \cdot f_{2}} respectivamente y obtenemos

 

{(b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b & c & d \\ b^{2} & c^{2} & d^{2} \end{array}\right| = (b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & c - b & d - b \\ 0 & c^{2} - bc & d^{2} - bd \end{array}\right|}

 

5Para la primera columna que contiene 3 ceros, aplicamos la matriz reducida y obtenemos

 

{(b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & c - b & d - b \\ 0 & c^{2} - bc & d^{2} - bd \end{array}\right| = (b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{cc} c - b & d - b \\ c(c - b) & d(d - b) \end{array}\right|}

 

6Los elementos de la primera columna tienen un factor en común; lo mismo sucede para la segunda columna. Estos factores los sacamos del determinante y resolvemos el determinante obtenido

 

{\begin{array}{rcl}(b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{cc} c - b & d - b \\ c(c - b) & d(d - b) \end{array}\right| & = & (b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b) \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ c & d \end{array}\right| \\\\ & = & (b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b)(d - c) \end{array}}

6Calcular el valor de los siguientes determinantes: 

A=\left|\begin{array}{ccccc} 3 & a & a & a & a \\ a & 3 & a & a & a \\ a & a & 3 & a & a \\ a & a & a & 3 & a \\ a & a & a & a & 3 \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} &5^{2} \\ 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} & 5^{3} \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las columnas, reemplazamos {c_{1}} por {c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} + c_5} y obtenemos

 

{A = \left|\begin{array}{ccccc} 3 & a & a & a & a \\ a & 3 & a & a & a \\ a & a & 3 & a & a \\ a & a & a & 3 & a \\ a & a & a & a & 3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccccc} 4a + 3 & a & a & a & a \\ 4a + 3 & 3 & a & a & a \\ 4a + 3 & a & 3 & a & a \\ 4a + 3 & a & a & 3 & a \\ 4a + 3 & a & a & a & 3 \end{array}\right|}

 

2Como la primera columna es un múltiplo de 4a + 3, se tiene

 

{\left|\begin{array}{ccccc} 4a + 3 & a & a & a & a \\ 4a + 3 & 3 & a & a & a \\ 4a + 3 & a & 3 & a & a \\ 4a + 3 & a & a & 3 & a \\ 4a + 3 & a & a & a & 3 \end{array}\right| = (4a + 3) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & a & a \\ 1 & 3 & a & a & a \\ 1 & a & 3 & a & a \\ 1 & a & a & 3 & a \\ 1 & a & a & a & 3 \end{array}\right|}

 

3Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos las filas {f_2, f_{3}, f_{4}, f_5} por {f_2 - f_1, f_{3} - f_{1}, f_{4} - f_{1}, f_5 - f_1} respectivamente y obtenemos

 

{(4a + 3) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & a & a \\ 1 & 3 & a & a & a \\ 1 & a & 3 & a & a \\ 1 & a & a & 3 & a \\ 1 & a & a & a & 3 \end{array}\right| = (4a + 3) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & a & a \\ 0 & 3 - a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 - a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 -a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 - a \end{array}\right| }

 

4El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal

 

{(4a + 3) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & a & a \\ 0 & 3 - a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 - a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 -a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 - a \end{array}\right| = (4a + 3)(3 - a)^4 }

 

Determinante B

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos {f_{2}, f_3, f_4} por {f_2 -2 f_1, f_3 - 2 f_2, f_4 -2 f_3} y obtenemos

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} &5^{2} \\ 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} & 5^{3} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \cdot 4 & 3 \cdot 5 \\ 0 & 3^{2} & 2 \cdot 4^{2} & 3 \cdot 5^{2} \end{array}\right|}

 

2Para la primera columna que contiene 3 ceros, aplicamos la matriz reducida y obtenemos

 

{\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \cdot 4 & 3 \cdot 5 \\ 0 & 3^{2} & 2 \cdot 4^{2} & 3 \cdot 5^{2} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 \cdot 4 & 3 \cdot 5 \\ 3^{2} & 2 \cdot 4^{2} & 3 \cdot 5^{2} \end{array}\right|}

 

3Como la segunda columna es un múltiplo de 2 y la tercera columna es un múltiplo de 3, se tiene

 

{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 \cdot 4 & 3 \cdot 5 \\ 3^{2} & 2 \cdot 4^{2} & 3 \cdot 5^{2} \end{array}\right| = 2 \cdot 3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3^{2} & 4^{2} & 5^{2} \end{array}\right|}

 

4Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las filas, reemplazamos {f_{2}, f_3} por {f_2 -3 f_1, f_3 - 3 f_2} y obtenemos

 

{2 \cdot 3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3^{2} & 4^{2} & 5^{2} \end{array}\right| = 2 \cdot 3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \cdot 5 \end{array}\right|}

 

5Para la primera columna que contiene 2 ceros, aplicamos la matriz reducida y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} 2 \cdot 3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \cdot 5 \end{array}\right| & = & 2 \cdot 3 \left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 4 & 2 \cdot 5 \end{array}\right| \\\\ & = & 12  \end{array}}

7Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero: 

{A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c \\ 1 & c & a+b \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} a & 3a & 4a \\ a & 5a & 6a \\ a & 7a & 8a \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Como el valor del determinante no cambia bajo combinación lineal de las columnas, reemplazamos {c_{3}} por {c_{3} + c_{2}} y obtenemos

 

{A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c \\ 1 & c & a+b \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a + b + c \\ 1 & b & a+ b + c \\ 1 & c & a + b + c \end{array}\right|}

 

2La tercera columna posee un factor común, luego

 

{\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a + b + c \\ 1 & b & a+ b + c \\ 1 & c & a + b + c \end{array}\right| = (a + b + c)\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{array}\right|}

 

3La primera y tercera columna son iguales por lo que el determinante es cero

 

{(a + b + c)\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{array}\right| = 0}

 

Determinante B

 

1La tercera columna es igual a la suma de la primera con la segunda, luego el determinante es cero

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} a & 3a & 4a \\ a & 5a & 6a \\ a & 7a & 8a \end{array}\right| = 0}

8Si el valor del determinante 

{A=\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ u & v & w \end{array}\right|=25.}

 

Calcular el valor de

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} 2a & 2c & 2b \\ 2u & 2w & 2v \\ 2p & 2r & 2q \end{array}\right|}

1Como las filas tienen como factor común el valor 2, se tiene

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} 2a & 2c & 2b \\ 2u & 2w & 2v \\ 2p & 2r & 2q \end{array}\right| = 2\cdot 2 \cdot 2 \left|\begin{array}{ccc} a & c & b \\ u & w & v \\ p & r & q \end{array}\right|}

 

2Intercambiamos las columnas dos y tres

 

{2\cdot 2 \cdot 2 \left|\begin{array}{ccc} a & c & b \\ u & w & v \\ p & r & q \end{array}\right| = -8 \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ u & v & w \\ p & q & r \end{array}\right|}

 

3Intercambiamos las filas dos y tres

 

\begin{array}{rcl}{-8 \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ u & v & w \\ p & q & r \end{array}\right| & = & (-1)(-8) \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ u & v & w \end{array}\right| \\\\ & = & 8 \cdot 25 \\\\ & = & 200 \end{array}}

9Sabiendo que {|A|=5}, calcula los otros determinantes: 

{A=\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} 2x & 2y & 2z \\ \cfrac{3}{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|}

 

{C=\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3x+3 & 3y & 3z+2 \\ x+1 & y+1 & z+1 \end{array}\right|}

Determinante B

 

1La fila uno posee un factor común, lo mismo para la segunda fila

 

{\begin{array}{rcl} B & = & \left|\begin{array}{ccc} 2x & 2y & 2z \\ \cfrac{3}{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| \\\\ & = & 2 \cdot \cfrac{1}{2} \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|  \\\\ & = & 5 \end{array}}

 

Determinante C

 

1Reemplazamos las filas f_2, f_3 por f_2 - 3f_1, f_3 - f_1 respectivamente

 

{\begin{array}{rcl} C & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3x+3 & 3y & 3z+2 \\ x+1 & y+1 & z+1 \end{array}\right| \\\\ & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| \\\\ & = & 5 \end{array}}

10Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos 

{A=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 7 & 1 & 3 \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Reemplazamos la columna c_1 por c_1 + c_2 - c_3

 

{ A=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 7 & 1 & 3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right| }

 

2La columna c_1 tiene por factor común el 5

 

{ \left|\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right| = 5 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right| }

 

Luego el determinante es un múltiplo de 5

 

Determinante B

 

1Reemplazamos la columna c_1 por c_1 + c_2 + c_3

 

{ B=\left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \end{array}\right| }

 

2La columna c_1 tiene por factor común el 4

 

{ \left|\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \end{array}\right| = 4 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right| }

 

Luego el determinante es un múltiplo de 4

11Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15: 

{A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 5 \end{array}\right|}

1Reemplazamos la columna c_3 por 100 c_1 + 10 c_2 + c_3

 

{ A = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 5 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 150 \\ 2 & 2 & 225 \\ 2 & 5 & 255 \end{array}\right| }

 

2La columna c_3 tiene por factor común el 15

 

{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 150 \\ 2 & 2 & 225 \\ 2 & 5 & 255 \end{array}\right| = 15 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 10 \\ 2 & 2 & 15 \\ 2 & 5 & 17 \end{array}\right| }

 

Luego el determinante es un múltiplo de 15

12Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

 

{A = \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1\\ 3 & 4 & 5 &6 & 1 & 2\\ 4 & 5 & 6 &1 & 2 & 3 \\ 5& 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array}\right|}

1Reemplazamos la columna c_6 por  c_1 + c_2 + c_3 + c_4 + c_5 + c_6

 

{ A = \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1\\ 3 & 4 & 5 &6 & 1 & 2\\ 4 & 5 & 6 &1 & 2 & 3 \\ 5& 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 21 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 21 \\ 3 & 4 & 5 &6 & 1 & 21 \\ 4 & 5 & 6 &1 & 2 & 21 \\ 5& 6 & 1 & 2 & 3 & 21 \\ 6& 1 & 2 & 3 & 4 & 21 \end{array}\right| }

 

2La columna c_6 tiene por factor común el 21

 

{ \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 21 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 21 \\ 3 & 4 & 5 &6 & 1 & 21 \\ 4 & 5 & 6 &1 & 2 & 21 \\ 5& 6 & 1 & 2 & 3 & 21 \\ 6& 1 & 2 & 3 & 4 & 21 \end{array}\right| = 21 \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\ 3 & 4 & 5 &6 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 6 &1 & 2 & 1 \\ 5& 6 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 6& 1 & 2 & 3 & 4 & 1 \end{array}\right| }

 

Luego el determinante es un múltiplo de 21, así el determinante es divisible por 21

13Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

 

{\left|\begin{array}{ccc} x+y & y+z & z+x \\ p+q & q+r & r+p \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right| = 2\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{array}\right| }

 

{\left|\begin{array}{ccc} a^{2} & a & bc \\ b^{2} & b & ca\\ c^{2} & c& ab \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a^{3} & a^{2} & 1 \\ b^{3} & b^{2} & 1 \\ c^{3} & c^{2} & 1 \end{array}\right| }

 

Primera igualdad

 

1Para el primer determinante utilizamos la propiedad de que las columnas están formados por dos sumandos, entonces el determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás columnas permanecen invariantes. Realizamos para la primera columna

 

{ \left|\begin{array}{ccc} x+y & y+z & z+x \\ p+q & q+r & r+p \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} x & y+z & z+x \\ p & q+r & r+p \\ a & b+c & c+a \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} y & y+z & z+x \\ q & q+r & r+p \\ b & b+c & c+a \end{array}\right| }

 

2Volvemos a aplicar la propiedad anterior para cada uno de los sumandos

 

{ \begin{array}{rcl} \left|\begin{array}{ccc} x & y+z & z+x \\ p & q+r & r+p \\ a & b+c & c+a \end{array}\right| & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z+x \\ p & q & r+p \\ a & b & c+a \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & z & z+x \\ p & r & r+p \\ a & c & c+a \end{array}\right| \\\\ & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & y & x \\ p & q & p \\ a & b & a \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & z & z \\ p & r & r \\ a & c & c \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & z & x \\ p & r & p \\ a & c & a \end{array}\right| \end{array} }

 

{ \begin{array}{rcl} \left|\begin{array}{ccc} y & y+z & z+x \\ q & q+r & r+p \\ b & b+c & c+a \end{array}\right| & = & \left|\begin{array}{ccc} y & y & z+x \\ q & q & r+p \\ b & b & c+a \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} y & z & z+x \\ q & r & r+p \\ b & c & c+a \end{array}\right| \\\\ & = & \left|\begin{array}{ccc} y & y & z \\ q & q & r \\ b & b & c \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} y & y & x \\ q & q & p \\ b & b & a \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} y & z & z \\ q & r & r \\ b & c & c \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} y & z & x \\ q & r & p \\ b & c & a \end{array}\right| \end{array} }

 

3Si se tienen dos columnas iguales, entonces el determinante es cero, por lo que tenemos

 

{ \begin{array}{rcl} \left|\begin{array}{ccc} x & y+z & z+x \\ p & q+r & r+p \\ a & b+c & c+a \end{array}\right| & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{array}\right| \end{array} }

 

{ \begin{array}{rcl} \left|\begin{array}{ccc} y & y+z & z+x \\ q & q+r & r+p \\ b & b+c & c+a \end{array}\right| & = & \left|\begin{array}{ccc} y & z & x \\ q & r & p \\ b & c & a \end{array}\right| \\\\ & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{array}\right| \end{array} }

 

4De esta forma se verifica que se cumple

 

{\left|\begin{array}{ccc} x+y & y+z & z+x \\ p+q & q+r & r+p \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right| = 2\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{array}\right| }

 

Segunda igualdad

 

1Multiplicamos la primera fila por a, la segunda fila por b y la tercera fila por , por lo que par mantenerla igualdad tenemos que multiplicar por \cfrac{1}{abc}

 

{ \left|\begin{array}{ccc} a^{2} & a & bc \\ b^{2} & b & ca\\ c^{2} & c& ab \end{array}\right| = \cfrac{1}{abc}\left|\begin{array}{ccc} a^{3} & a^2 & abc \\ b^{3} & b^2 & abc \\ c^{3} & c^2 & abc \end{array}\right| }

 

2La tercera columna tiene un factor en común

 

{ \cfrac{1}{abc}\left|\begin{array}{ccc} a^{3} & a^2 & abc \\ b^{3} & b^2 & abc \\ c^{3} & c^2 & abc \end{array}\right| = \cfrac{abc}{abc}\left|\begin{array}{ccc} a^{3} & a^2 & 1 \\ b^{3} & b^2 & 1 \\ c^{3} & c^2 & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a^{3} & a^2 & 1 \\ b^{3} & b^2 & 1 \\ c^{3} & c^2 & 1 \end{array}\right| }

14Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

 

{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x^{2} \end{array}\right|=0}

 

{\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a & x & c\\ a & b & x} \end{array}\right|=0}

Primera ecuación

 

1Reemplazamos las filas f_2, f_3 por  f_2 - f_1, f_3 - f_1

 

{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x^{2} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x - 1 & 0 \\ 0 & 0 & x^{2} - 1 \end{array}\right| }

 

2La matriz es triangular por lo que el determinante es igual al producto de su diagonal

 

{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x - 1 & 0 \\ 0 & 0 & x^{2} - 1 \end{array}\right| = (x - 1) \left ( x^2 - 1 \right ) }

 

3Como el determinante es igual a cero, se obtienen que x = \pm 1

 

Segunda ecuación

 

1La primera columna tiene un factor en común

 

{ \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a & x & c\\ a & b & x \end{array}\right| = a \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 1 & x & c\\ 1 & b & x \end{array}\right| }

 

2Reemplazamos las filas f_2, f_3 por f_1 - f_2, f_1 - f_3

 

{ a \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 1 & x & c\\ 1 & b & x \end{array}\right| = a \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 0 & b - x & 0\\ 0 & 0 & c - x \end{array}\right| }

 

3La matriz es triangular por lo que el determinante es igual al producto de su diagonal

 

{ a \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 0 & b - x & 0\\ 0 & 0 & c - x \end{array}\right| = a (b - x) \left ( c - x \right ) }

 

4Como el determinante es igual a cero, se obtienen que x = b y x = c

15Hallar la matriz inversa de:

 

{A=\left ( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{array} \right ) }

1Calculamos el determinante

 

{det \, A=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{array}\right| = 54}

 

2Calculamos la matriz adjunta

 

{ A^* = \left ( \begin{array}{ccc} 25 & -9 & 4 \\ 7 & -9 & -14\\ -1 & 9 & 2 \end{array}\right ) }

 

3Calculamos su transpuesta

 

{ \left ( A^* \right )^t = \left ( \begin{array}{ccc} 25 & 7 & -1 \\ -9 & -9 & 9 \\ 4 & -14 & 2 \end{array}\right ) }

 

4La inversa viene dada por A^{-1} = \cfrac{1}{det \, A} \left ( A^* \right )^t

 

{ A^{-1} = \cfrac{1}{54}\left ( \begin{array}{ccc} 25 & 7 & -1 \\ -9 & -9 & 9 \\ 4 & -14 & 2 \end{array}\right ) }

16¿Para qué valores de x la matriz

 

{A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & x & x \\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{array}\right)}

 

no admite matriz inversa?

1Calculamos el determinante reduciendo los cálculos a partir de la tercera columna

 

{\begin{array}{rcl} det \, A & = & \left|\begin{array}{ccc} 3 & x & x \\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{array}\right| \\\\ & = & x \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{array}\right| \\\\ & = & x \end{array} }

 

2Una matriz no posee inversa si su determinante es cero. Así, la matriz A no tiene inversa cuando x = 0

17¿Para qué valores de m la matriz

 

{A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & m \\ m & 0 & -1\\ 6 & -1 & 0 \end{array}\right)}

 

no admite matriz inversa?

1Calculamos el determinante

 

{\begin{array}{rcl} det \, A & = & \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & m \\ m & 0 & -1\\ 6 & -1 & 0 \end{array}\right| \\\\ & = & -m^2 - 7 \end{array} }

 

2Una matriz no posee inversa si su determinante es cero. El determinante -m^2 - 7 siempre es negativo para cualquier valor real de m. Así, la matriz A siempre posee inversa, independientemente del valor real de m

18Calcular el rango de las siguientes matrices:

 

{A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 &6 \\ -1 & -2 & 0 & -3\\ 3 & 5 & 1 & 9 \end{array}\right)}

 

{B = \left(\begin{array}{cccc} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 &2\\ 1& -1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 &2\\ 0 & 1 &-1 & 3 \end{array}\right)}

 

{C = \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 5 &0& 3 & 3\\ 1 & 6 & 0 & 3 & 4 \end{array}\right)}

Rango de A

 

1Calculamos los determinantes de las submatrices de rango 1

 

{\left| \begin{array}{c} 2 \end{array}\right|  \neq 0}

 

2Calculamos los determinantes de las submatrices de rango 2

 

{\left |\begin{array}{cc} 2 & 3  \\ -1 & -2 \end{array}\right| = -1 \neq 0}

 

3Calculamos los determinantes de las submatrices de rango 3

 

{\left |\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & 1 \end{array}\right | = 0}

 

{\left |\begin{array}{cccc} 2 & 3  & 6 \\ -1 & -2 & -3\\ 3 & 5  & 9 \end{array}\right | = 0}

 

{ \left |\begin{array}{cccc} 2 & 6 & 1  \\ -1 & -3 & 0 \\ 3 & 9 & 1 \end{array}\right | = 0}

 

{\left |\begin{array}{cccc} 6 & 3 & 1  \\ -3 & -2 & 0 \\ 9 & 5 & 1 \end{array}\right | = 0}

 

4Así, el rango de la matriz es 2

 

Rango de B

 

1Calculamos los determinantes de las submatrices de rango 1

 

{\left| \begin{array}{c} 3 \end{array}\right| = 3 \neq 0}

 

2Calculamos los determinantes de las submatrices de rango 2

 

{\left |\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right| = 1 \neq 0}

 

3Calculamos los determinantes de las submatrices de rango 3

 

{\left |\begin{array}{cccc} 3 & 2 & 4  \\ 1 & 1 & 0 \\ 1& -1 & 1 \end{array}\right | = -7 \neq 0}

 

4Calculamos los determinantes de las submatrices de rango 4

 

{\left |\begin{array}{cccc} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 &2\\ 1& -1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 &2\\ 0 & 1 &-1 & 3 \end{array}\right | = -99 \neq 0}

 

5Así, el rango de la matriz es 4

 

Rango de C

 

1Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinación lineal de la primera y segunda c_5 = -2c_1 + c_2

 

{C = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 5 &0& 3 & 3\\ 1 & 6 & 0 & 3 & 4 \end{array}\right ) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1  \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 5 \\ 1 & 6 \end{array}\right ) }

 

2Calculamos los determinantes de las submatrices de rango 1

 

{\left| \begin{array}{c} 1 \end{array}\right| = 1 \neq 0}

 

3Calculamos los determinantes de las submatrices de rango 2

 

{\left |\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = 1 \neq 0}

 

4Así, el rango de la matriz es 2

19Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

 

{A \cdot X = B}

 

{A = \left ( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right )}

 

{B = \left(\begin{array}{cc} 3& 1 \\ 2 & -5 \end{array}\right)}

 

{X \cdot A + B = C}

 

{A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)}

 

{B = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)}

 

{C = \left ( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)}

Primera ecuación

 

1El determinante de A es distinto de cero, por lo que existe su inversa

 

{A^{-1} = \left(\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right)}

 

2Resolvemos la ecuación

 

{\begin{array}{rcl} A \cdot X & = & B \\\\ A^{-1} \cdot A \cdot X & = & A^{-1} \cdot B \\\\ I \cdot X & = & A^{-1} \cdot B \\\\ X & = & \left(\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{cc} 3& 1 \\ 2 & -5 \end{array}\right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{cc} 0 & 17 \\ 1 & -11 \end{array} \right ) \end{array}}

 

Segunda ecuación

 

1El determinante de A es distinto de cero, por lo que existe su inversa

 

{A^{-1} = \left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)}

 

2Resolvemos la ecuación

 

{\begin{array}{rcl} X \cdot A + B & = & C \\\\ X \cdot A + B - B & = & C - B \\\\ X \cdot A  & = & C - B \\\\ X \cdot A \cdot A^{-1} & = & (C - B) \cdot A^{-1} \\\\ X & = & (C - B) \cdot A^{-1} \\\\ X & = & \left [ \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \right ] \cdot \left ( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right ) \\\\ & = & \left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 4 & -3 \end{array} \right ) \end{array}}

20Resolver la ecuación matricial:

 

{A \cdot X + 2B = 3C}

 

{A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)}

 

{B = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}

 

{C = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)}

1El determinante de A es distinto de cero, por lo que existe su inversa

 

{A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)}

 

2Resolvemos la ecuación

 

{\begin{array}{rcl} A \cdot X + 2B & = & 3C \\\\ A \cdot X + 2B - 2B & = & 3C - 2B \\\\ A \cdot X & = & 3C - 2B \\\\ A^{-1} \cdot A \cdot X & = & A^{-1}(3C - 2B) \\\\ X & = & A^{-1} \cdot (3C - 2B)  \\\\ X & = & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \left [ 3 \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) - 2 \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right ) \right ] \\\\ & = & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \left [ \left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0\\ 3 & 0 & 3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right ) \right ] \\\\ & = & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{array} \right ) \end{array}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗