Name: Propiedades de los determinantes
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1 El determinante de una matriz $A$ y el de su traspuesta $A^{t}$ son iguales.

$\left | A^{t} \right |=\left | A \right |$

$A=\begin{vmatrix} 2 &3 &0 \\ 3& 2 & 7\\ 2 &1 & 6 \end{vmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A^{t}=\begin{vmatrix} 2 &3 &2 \\ 3 & 2 &1 \\ 0&7 &6 \end{vmatrix}$

$\left | A \right |=\left | A^{t} \right |=-2$

2 $\left | A \right \left | =0$ Si:

Posee dos filas (o columnas) iguales.

$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 &3 &2 \\ 3& 2 & 3\\ 2 &3 & 2 \end{vmatrix}=0$

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 &3 &2 \\ 3& 2 & 3\\ 0 &0 & 0 \end{vmatrix}=0$

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 &3 &2 \\ 1& 2 & 4\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}=0$

$F_3 = F_1 + F_2$

3 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

$A =\begin{vmatrix} 2 &0 &0 \\ 1& 2 & 0\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}= 2 \cdot 2 \cdot 6= 24$

4 Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

$\begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ 1& 2 & 0\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}= - \begin{vmatrix} 1 &2 &0 \\ 2& 1 & 2\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F_1\leftrightarrow F_2$

5 Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

$\begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ 1& 2 & 0\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}= 16 \ \ \ \ \ C_3=2C_1+C_2+C_3 \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} 2 &1 &7 \\ 1& 2 & 4\\ 3 &5 & 17 \end{vmatrix} =16$

6 Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

$2 \cdot \begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ 1& 2 & 0\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 \cdot 2 &1 &2 \\ 1 \cdot 2 & 2 & 0\\ 3 \cdot 2 &5 & 6 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 4 &1 &2 \\ 2 & 2 & 0\\ 6 &5 & 6 \end{vmatrix}$

7 Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

$\begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ a+b& a+c & a+d\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ a & a & a\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ b & c & d\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}$