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Menor complementario
Adjunto

Menor complementario

Se llama menor complementario de un elemento $a_{ij}$ al valor del determinante de orden $n - 1$ que se obtiene al suprimir en la matriz la fila $i$ y la columna $j$

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & \fbox{5} & 4 \\ 3 & 6 & 2 \end{array} \right| \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right|$

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Adjunto

Se llama adjunto del elemento $a_{ij}$ a su menor complementario anteponiendo:

El signo es $+$ si $i + j$ es par.

El signo es $-$ si $i + j$ es impar.

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ \fbox{2} & 5 & 4 \\ 3 & 6 & 2 \end{array} \right| \ \ \ \longrightarrow \ \ \ -\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{array} \right|$

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una fila (o una columna) por sus adjuntos correspondientes:

$\begin{array}{rcl}\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| & = & a_{11} \left|\begin{array}{ccc} a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| - a_{12} \left|\begin{array}{ccc} a_{21} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| \\\\ && + \cdots + a_{1n} \left|\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & \cdots \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots \end{array} \right| \end{array}$

Para un determinante de $3 \times 3$ se tiene:

$\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| = a_{11} \left|\begin{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| - a_{12} \left|\begin{array}{cc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| + a_{13} \left|\begin{array}{cc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right|$

Ejemplo: Hallar el determinante de:

$\left| \begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -5 \\ -2 & 1 & 4 \end{array} \right|$

1 Empleamos la primera fila y calculamos los adjuntos correspondientes

$\begin{array}{rcl}\left| \begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -5 \\ -2 & 1 & 4 \end{array} \right| & = & 3 \left|\begin{array}{rr} 2 & -5 \\ 1 & 4 \end{array} \right| - 2 \left|\begin{array}{rr} 0 & -5 \\ -2 & 4 \end{array} \right| + 1 \left|\begin{array}{rr} 0 & 2 \\ -2 & 1 \end{array} \right| \\\\ & = & 3(8 + 5) - 2(0 - 10) + 1(0 + 4) \\\\ & = & 63 \end{array}$

2 Observemos que este método es especialmente útil si lo usamos apoyandonos en una fila (o columna) que tenga uno o más ceros, siendo más sencillo cuantos más ceros tenga.

En nuestro ejemplo, facilitaría los cálculos hallar el determinante apoyándonos en la primera columna:

$\begin{array}{rcl}\left| \begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -5 \\ -2 & 1 & 4 \end{array} \right| & = & 3 \left|\begin{array}{rr} 2 & -5 \\ 1 & 4 \end{array} \right| - 0 \left|\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} \right| + (-2) \left|\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 2 & -5 \end{array} \right| \\\\ & = & 3(8 + 5) - 0 - 2(-10 - 2) \\\\ & = & 63 \end{array}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Menor complementario y adjunto