Menor complementario

 

Se llama menor complementario de un elemento a_{ij} al valor del determinante de orden n - 1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j

 

\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & \fbox{5} & 4 \\ 3 & 6 & 2 \end{array} \right| \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right|

 

Se llama adjunto del elemento a_{ij} a su menor complementario anteponiendo:

 

El signo es + si  i + j  es par.

 

El signo es -    si  i + j  es impar.

 

\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ \fbox{2} & 5 & 4 \\ 3 & 6 & 2 \end{array} \right| \ \ \ \longrightarrow \ \ \ -\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{array} \right|

 

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una fila (o una columna) por sus adjuntos correspondientes:

 

\begin{array}{rcl}\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}  \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| & = & a_{11} \left|\begin{array}{ccc}  a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &  \cdots & \vdots \\  a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| - a_{12} \left|\begin{array}{ccc}  a_{21} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &  \cdots & \vdots \\  a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| \\\\ && + \cdots + a_{1n} \left|\begin{array}{ccc}  a_{21} & a_{22} & \cdots \\ \vdots &  \cdots & \vdots \\  a_{n1} & a_{n2} & \cdots \end{array} \right| \end{array}

 

Para un determinante de 3 \times 3 se tiene:

 

\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}  \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| = a_{11} \left|\begin{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\  a_{32} &  a_{33} \end{array} \right| - a_{12} \left|\begin{array}{cc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| +  a_{13} \left|\begin{array}{cc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right|

 

Ejemplo: Hallar el determinante de:

 

\left| \begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -5 \\ -2 & 1 & 4 \end{array} \right|

 

1 Empleamos la primera fila y calculamos los adjuntos correspondientes

 

\begin{array}{rcl}\left| \begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -5 \\ -2 & 1 & 4 \end{array} \right| & =  & 3 \left|\begin{array}{rr} 2 & -5 \\ 1 & 4 \end{array} \right| - 2 \left|\begin{array}{rr} 0 & -5 \\ -2 & 4 \end{array} \right| + 1 \left|\begin{array}{rr} 0 & 2 \\ -2 & 1 \end{array} \right| \\\\ & = & 3(8 + 5) - 2(0 - 10) + 1(0 + 4) \\\\  & = & 63 \end{array}

 

2 Observemos que este método es especialmente útil si lo usamos apoyandonos en una fila (o columna) que tenga uno o más ceros, siendo más sencillo cuantos más ceros tenga.

 

En nuestro ejemplo, facilitaría los cálculos hallar el determinante apoyándonos en la primera columna:

 

\begin{array}{rcl}\left| \begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -5 \\ -2 & 1 & 4 \end{array} \right| & = & 3 \left|\begin{array}{rr} 2 & -5 \\ 1 & 4 \end{array} \right| - 0 \left|\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} \right| + (-2) \left|\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 2 & -5 \end{array} \right| \\\\ & = & 3(8 + 5) - 0 - 2(-10 - 2) \\\\ & = & 63 \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗