Definición de determinante

 

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por   |A|  o por  {\rm det}(A).  Este escalar permite caracterizar algunas propiedades de la matriz, por ejemplo,  el determinante de  A  es no nulo sí y sólo sí  A  es invertible.

A continuación veremos cuál es el valor del determinante de matrices de orden menor o igual a  3.

Determinante de orden uno

 

Dada la matriz A=(a_{11}),

    $${\rm det}(A)=|A|=a_{11}.$$

 

Determinante de orden dos

 

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\  a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},

    $${\rm det}(A)=|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

 

Determinante de orden tres

 

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\  a_{21}&a_{22}&a_{23}\\  a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},

    $${\rm det}(A)=|A|=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+$$

    $$+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}- a_{11}a_{23}a_{32}.$$

Regla de Sarrus

 

La regla de Sarrus es una algoritmo sencillo de memorizar y sirve para calcular el determinante de una matriz de orden  3\times 3.  El método consiste en lo siguiente, debemos hallar factores positivos y factores negativos, a través de los siguiente pasos.

 

Los términos con signo positivo están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

 

La siguiente figura nos indica cuáles posiciones de la matriz debemos multiplicar.

 

términos positivos regla de Sarrus

 

    $$a_{11}a_{22}a_{33},\quad a_{12}a_{23}a_{31},\quad a_{13}a_{21}a_{32}.$$

 

Los términos con signo negativo están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

La siguiente figura nos indica cuáles posiciones de la matriz debemos multiplicar.

 

términos negativos regla de Sarrus

 

    $$a_{13}a_{22}a_{31},\quad a_{12}a_{21}a_{33},\quad a_{32}a_{23}a_{11}.$$

Menor complementario

 

Se llama menor complementario de un elemento  a_{ij}  al valor del determinante de orden  n-1  que se obtiene al suprimir en la matriz la fila  i  y la columna  j .

 

Adjunto

 

Se llama adjunto del elemento a_{ij} al menor complementario anteponiendo:

 

  • El signo es   +   si   i+j  es par.
  • El signo es  -    si   i+j  es impar.

 

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:

 

Determinante de orden superior a tres

 

Describiremos con algunos pasos cómo calcular el determinante de una matriz  A  de orden superior a 3.

 

1 Si alguna de las filas o columnas de la matriz  A  tiene todos sus elementos nulos, entonces el determinante será igual a cero.

 

2 En caso de que no hayan filas o columnas nulas, entonces elegimos la fila número uno.

 

3 Dado un elemento  a_{1j}  de la fila uno, debemos calcular el determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila  1  y columna  j  de la matriz  A.

 

4 Multiplicamos el valor del determinante calculado en el paso 3 con el número  a_{1j}  y esto lo hacemos para cada elemento  j  de la matriz  A.

 

5 Finalmente debemos sumar y restar de manera alternativa los valores calculados en los pasos anteriores. Es decir, el valor  a_{11}  por el determinante de la matriz resultante de eliminar la fila  1  y la columna  1  lleva signo positivo; la siguiente valor lleva signo negativo, el siguiente signo negativo y así sucesivamente. El resultado final es el determinante de la matriz  A.

 

Propiedades de los determinantes

Dada una matriz  A,  sea  A^{t}  su transpuesta.

 

1 |A^{t}|=|A|.

 

2 |A|=0,   si alguna de las siguientes afirmaciones se cumple: la matriz posee dos filas iguales, todos los elementos de alguna fila son iguales a ceros o los elementos de una fila son combinación lineal de otras líneas.

 

3 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, donde una matriz triangular es aquella que tiene todos sus elementos por encima o debajo de la diagonal principal igual a cero.

 

4 Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

 

5 Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un número  real el valor del determinante no varía.

 

6 Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

 

7 Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

 

8 |A\cdot B|=|A|\cdot |B|.

 

 

Matriz inversa

Dada una matriz A, su inversa esta dada por 

    $$A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}\cdot(A^{*})^{t},$$

donde A^{*} es la matriz adjunta de A.

Rango de una matriz

El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗