El ángulo entre dos planos es igual al ángulo que forman los vectores normales de dichos planos. Por tanto, para hallar el ángulo entre dos planos se calcula el ángulo que forman sus vectores normales.Dada la ecuación general de dos planos distintos: 

     \[ \pi_1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 \]

     \[ \pi_2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 \]

 

El vector normal de cada plano es:

 

 \begin{aligned} &\vec{n}_1=\left(A_1, B_1, C_1\right) \\ &\vec{n}_2=\left(A_2, B_2, C_2\right) \end{aligned}

 

Y el ángulo que forman estos dos planos se determina calculando el ángulo que forman sus vectores normales mediante la siguiente fórmula:

 

     \[ \cos (\alpha)=\frac{\left|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\right|}{\left|\vec{n}_1\right| \cdot\left|\vec{n}_2\right|} \]

 

Es decir

 

     \[ \alpha\left(\pi_1, \pi_2\right) = \alpha\left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right) = \arccos \frac{\left|A_1 \cdot A_2+B_1 \cdot B_2+C_1 \cdot C_2\right|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \]

 

Dos planos son perpendiculares si vectores normales son ortogonales.

 

     \[ \pi_1 \perp \pi_2 \quad \quad \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=0 \quad \quad A_1 \cdot A_2+B_1 \cdot B_2+C_1 \cdot C_2=0\]

 

Ejemplo

Hallar el ángulo que forman los planos:

     \[ \pi_1 \equiv 2 x-y+z-1=0 \quad \textem{y} \quad \pi_2 \equiv x+z+3=0 \]

 

En este caso los vectores normales son

 

     \[ \overrightarrow{n_1} = (2, -1 , 1) \quad \textrm{y} \quad \overrightarrow{n_2} = (1, 0, 1 ) \]

 

entonces

 

     \[ \alpha\left(\pi_1, \pi_2\right)=\alpha\left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)=\arccos \frac{|2 \cdot 1+(-1) \cdot 0+1 \cdot 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} \]

 

     \[ \alpha\left(\pi_1, \pi_2\right) = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = 30^{\circ} \]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗