Capítulos
Dados dos vectores 
y 
que forman un triángulo, siendo estos dos de sus lados como se muestra en la imagen, la fórmula para obtener el área del triángulo es:
Ejemplo:
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos 
, 
y 
El triángulo está formado por lo vectores
Calculamos el producto vectorial
Obtenemos el módulo del vector resultante
Usamos la fórmula para obtener el área
Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
Ejemplo:
Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores 
y 
.
Primero calculamos el producto vectorial
Obtenemos el módulo del vector resultante como en la fórmula para obtener el área
Volumen de un tetraedro
El volumen de un tetraedro es igual a 
del producto mixto, en valor absoluto.
Ejemplo:
Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos 
, 
, 
y 
.
El tetraedro está formado por lo vectores
Usamos la fórmula del volumen
Calculamos primero el producto mixto
El volumen es
Volumen del paralelepípedo
Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.
Ejemplo:
Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:
Calculamos el producto mixto
Distancia entre planos paralelos
Para calcular la distancia entre dos planos paralelos existen dos maneras, dependiendo los datos que tengas. Los dos casos son:
1 Conoces la ecuación de uno de los planos, y un punto del otro
Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera 
de uno de ellos al otro plano 
, usando la fórmula
2 Conoces las ecuaciones de los dos planos
También se puede calcular de esta otra forma:
Si lo planos son paralelos entonces sus ecuaciones son de la forma
Y su distancia estará dada por
De manera equivalente, si las ecuaciones no son de la forma mencionada anteriormente, y por el contrario tengo que
Para que sean paralelos se debe cumplir que
Luego multiplico una de las dos ecuaciones de tal manera que los dos planos expresen el mismo vector normal en sus ecuaciones, es decir, que tengan la forma
De este modo ya puedo aplicar la fórmula de la distancia.
Ejemplo:
Calcular la distancia entre los planos:
.
Primero verificamos que sean paralelos. Para esto tomamos el cociente del coeficiente de 
de 
entre 
, y este debe ser igual al cociente de los coeficientes de 
, y de 
. Sin embargo debe ser diferente el cociente de los términos independientes, pues si no, los planos no serían paralelos, sino iguales.
Los dos planos son paralelos.
Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.
Usamos la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos
¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!
Cargando...
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Buenas, cómo calculas el volumen del paralelepípedo si te aparecen los vectores u(2,1,0)^t , v(1,2,2)^t, w(-1,0,2)^t ?
¿Por qué en el calculo de la distancia punto recta, el orden de la matriz és alterado?
Hola podrías mencionar un ejemplo pues no encuentro la alteración que mencionas, solo veo que se sigue la fórmula que se indica.
No me queda claro por qué el área de un paralelogramo con los vectores ā y ē es |ā x ē| en vez de ser |ā|·|ē| que sería el módulo (longitud) de uno por el módulo (longitud) del otro.
Para entenderlo recordemos cómo se calcula el área del paralelogramo es base por altura, para la base se toma el módulo de uno de los vectores pero para altura se toma la proyección del otro vector en el eje vertical lo que implica la función seno y ya multiplicados dan una de las definiciones del producto cruz, en el artículo «https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/distancias/areas-y-volumenes.html#tema_area-del-paralelogramo» se la imagen de lo que explique.