Área de un triángulo

grafica del area del triangulo formado por dos vectores

Dados dos vectores \vec{u} y \vec{v} que forman un triángulo, siendo estos dos de sus lados como se muestra en la imagen, la fórmula para obtener el área del triángulo es:

\displaystyle A= \frac{1}{2}|\overline{u}\times \overline{v}|

 

Ejemplo:

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, -1, 5) y C(-3, 3, 1)

 

El triángulo está formado por lo vectores

\overrightarrow{AB}= (2,-1,5)-(1,1,3) = (2-1,-1-1,5-3)=(1,-2,2)

\overrightarrow{AC}= (-3,3,1)-(1,1,3) = (-3-1,3-1,1-3)=(-4,2,-2)

Calculamos el producto vectorial

\displaystyle \vec{w} = \vec{AB}\times \vec{AC}=\begin{vmatrix} \textbf{ i } & \textbf{ j } & \textbf{ k } \\ 1 & -2 & 2 \\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix}

\displaystyle \vec{w}=\begin{vmatrix}  -2 & 2 \\  2 & -2 \end{vmatrix}\textbf{i} -\begin{vmatrix}  1& 2 \\ -4 & -2 \end{vmatrix}\textbf{j} +\begin{vmatrix}  1 & -2 \\  -4 & 2 \end{vmatrix}\textbf{k} = 0\textbf{i}-6\textbf{j}-6\textbf{k}

\displaystyle \vec{w}=(0,-6,-6)

Obtenemos el módulo del vector resultante

\displaystyle |\vec{w}| = \sqrt{0^2+(-6)^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}

Usamos la fórmula para obtener el área

\displaystyle A= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|w|

\displaystyle A=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\, u^2

 

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

\displaystyle A= |\overrightarrow{u}|\cdot h = |\overrightarrow{u}|\, |\overrightarrow{v}|\, \text{sen}\, \alpha = |\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|

grafica del area del paralelogramo usando producto vectorial

 

Ejemplo:

Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores \overrightarrow{u}=(3,1,-1) y \overrightarrow{v}=(2,3,4).

 

Primero calculamos el producto vectorial

\displaystyle \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\begin{vmatrix} \textbf{ i } & \textbf{ j } & \textbf{ k } \\ 3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  1 & -1 \\  3 & 4 \end{vmatrix}\textbf{i} -\begin{vmatrix}  3& -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}\textbf{j} +\begin{vmatrix}  3 & 1 \\  2 & 3 \end{vmatrix}\textbf{k} = 7\textbf{i}-14\textbf{j}+7\textbf{k}

Obtenemos el módulo del vector resultante como en la fórmula para obtener el área

\displaystyle A=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}| = \sqrt{7^2+14^2+7^2}=\sqrt{294}\ u^2

 

Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a \textbf{1/6} del producto mixto, en valor absoluto.

\displaystyle V =\frac{1}{6}|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}

 

Ejemplo:

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

 

El tetraedro está formado por lo vectores

\overrightarrow{AB}=(1-3,2-2,4-1)=(-2,0,3)

\overrightarrow{AC}=(4-3,0-2,3-1)=(1,-2,2)

\overrightarrow{AD}=(1-3,1-2,7-1)=(-2,-1,6)

Usamos la fórmula del volumen

\displaystyle V =\frac{1}{6}|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|

Calculamos primero el producto mixto

\displaystyle [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=\begin{vmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 6 \end{vmatrix}=24-3-12-4=5

El volumen es

\displaystyle V=\frac{1}{6}\cdot 5 = \frac{5}{6}\, u^3

 

Volumen del paralelepípedo

Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

 

Ejemplo:

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

\overrightarrow{u}=(3,-2,5) \hspace{2cm} \overrightarrow{v}=(2,2,-1) \hspace{2cm} \overrightarrow{w}=(-4,3,2)

 

Calculamos el producto mixto

\displaystyle V =[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\begin{vmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 2 & 2 & -1 \\ -4 & 3 & 2 \end{vmatrix}=91\, u^3

 

Distancia entre planos paralelos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos existen dos maneras, dependiendo los datos que tengas. Los dos casos son:

 

1 Conoces la ecuación de uno de los planos, y un punto del otro

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera P(x_0,y_0,z_0) de uno de ellos al otro plano \pi \equiv Ax+By+Cz+D=0 , usando la fórmula

\displaystyle d(P,\pi)= \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

 

2 Conoces las ecuaciones de los dos planos

También se puede calcular de esta otra forma:

Si lo planos son paralelos entonces sus ecuaciones son de la forma

\displaystyle \pi_1 \equiv Ax+By+Cz+D_1=0 \hspace{2cm} \pi_2\equiv Ax+By+ Cz+D_2=0

Y su distancia estará dada por

\displaystyle d(\pi_1,\pi_2)=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

De manera equivalente, si las ecuaciones no son de la forma mencionada anteriormente, y por el contrario tengo que

\displaystyle \pi_1 \equiv Ax+By+Cz+D_1=0 \hspace{2cm} \pi_2\equiv A'x+B'y+ C'z+D'=0

Para que sean paralelos se debe cumplir que

\displaystyle \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\not = \frac{D}{D'}

Luego multiplico una de las dos ecuaciones de tal manera que los dos planos expresen el mismo vector normal en sus ecuaciones, es decir, que tengan la forma

\displaystyle \pi_1 \equiv Ax+By+Cz+D_1=0 \hspace{2cm} \pi_2\equiv Ax+By+ Cz+D_2=0

De este modo ya puedo aplicar la fórmula de la distancia.

 

Ejemplo:

Calcular la distancia entre los planos:

\displaystyle \pi_1 \equiv 2x-y-2z+5=0 \hspace{2cm} \pi_2 \equiv 4x-2y-4z+15=0 .

 

Primero verificamos que sean paralelos. Para esto tomamos el cociente del coeficiente de x de \pi_1 entre \pi_2, y este debe ser igual al cociente de los coeficientes de y, y de z. Sin embargo debe ser diferente el cociente de los términos independientes, pues si no, los planos no serían paralelos, sino iguales.

\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{-1}{-2}=\frac{-2}{-4}\not = \frac{5}{15}

Los dos planos son paralelos.

Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.

\displaystyle \pi_2\equiv 2x-y-2z+\frac{15}{2}=0

Usamos la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos

\displaystyle d(\pi_1,\pi_2)=\frac{|\frac{15}{2}-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\frac{5}{6}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗