Ángulo entre dos rectas

El ángulo que forman dos rectas es igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas.

 

\alpha(r,s) = \alpha(\vec{u}, \vec{v}) = arc\, cos \cfrac{|u_1\cdot v_1 + u_2\cdot v_2 + u_3\cdot v_3|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}

 

Dos rectas son perpendiculares si vectores directores son ortogonales, esto es, si \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

 

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Ejercicios de ángulo entre dos rectas

 

1Hallar el ángulo que forman las rectas:

 

r \equiv \cfrac{x - 2}{2} = \cfrac{y + 1}{1} = \cfrac{z}{1}, \ \ \ s \equiv \cfrac{x + 1}{-1} = \cfrac{y}{2} = \cfrac{z}{1}

1Obtenemos el vector director \vec{u} de la recta r

 

\vec{u} = (2, 1, 1)

 

2Obtenemos el vector director \vec{v} de la recta s

 

\vec{v} = (-1, 2, 1)

 

3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman dos rectas y resolvemos

 

\begin{array}{rcl}\alpha(r,s) & = & \alpha(\vec{u}, \vec{v}) \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{|2\cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2}} \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \\\\ & = & 80.41^o \end{array}

 

Así, el ángulo formado por las dos rectas es 80.41^o

 

2Hallar el ángulo que forman las rectas:

 

r \equiv \left \{ \begin{array}{rcl} 2x + 3y - z + 1 = 0 \\ x - y + 2z + 2 = 0, \end{array} \right. \ \ \ \ s \equiv \left \{ \begin{array}{rcl} 3x - y + z - 3 = 0 \\ 2x + y - 3z + 1 = 0, \end{array} \right.

1Obtenemos el vector director \vec{u} de la recta r. Como r se expresa como la intersección de dos planos secantes, empleamos la fórmula para encontrar el vector director la cual emplea los coeficientes de los planos secantes

 

r \equiv \left \{ \begin{array}{rcl} 2x + 3y - z + 1 = 0 \\ x - y + 2z + 2 = 0, \end{array} \right.

 

\begin{array}{rcl}\vec{u}& = & \left | \begin{array}{ccc} \vec{i } & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right | \\\\  & = & \left | \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right | \vec{i} - \left | \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right | \vec{j} + \left | \begin{array}{cc} 2 & 3  \\ 1 & -1  \end{array} \right | \vec{k}  \\\\  & = & 5 \vec{i} - 5 \vec{j} - 5 \vec{k} \end{array}

 

El vector director es

 

\vec{u} = (5, -5 -5)

 

2Obtenemos el vector director \vec{v} de la recta s

 

s \equiv \left \{ \begin{array}{rcl} 3x - y + z - 3 = 0 \\ 2x + y - 3z + 1 = 0, \end{array} \right.

 

\begin{array}{rcl}\vec{u}& = & \left | \begin{array}{ccc} \vec{i } & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{array} \right | \\\\ & = & \left | \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & -3 \end{array} \right | \vec{i} - \left | \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & -3 \end{array} \right | \vec{j} + \left | \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right | \vec{k} \\\\ & = & 2 \vec{i} + 11 \vec{j} + 5 \vec{k} \end{array}

 

El vector director es

 

\vec{u} = (2, 11, 5)

 

3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman dos rectas y resolvemos

 

\begin{array}{rcl}\alpha(r,s) & = & \alpha(\vec{u}, \vec{v}) \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{|5\cdot 2 - 5 \cdot 11 - 5 \cdot 5|}{\sqrt{5^2 + (-5)^2 + (-5)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 11^2 + 5^2}} \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{70}{\sqrt{75} \cdot \sqrt{150}} \\\\ & = & 48.7^o \end{array}

 

Así, el ángulo formado por las dos rectas es 48.7^o

 

3Hallar el ángulo que forman las rectas:

 

r \equiv \cfrac{x + 1}{1} = \cfrac{y - 1}{2} = \cfrac{z - 2}{3}, \ \ \ \ s \equiv \left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z - 1 = 0, \end{array} \right.

1Obtenemos el vector director \vec{u} de la recta r.

 

\vec{u} = (1, 2, 3)

 

2Obtenemos el vector director \vec{v} de la recta s. Como s se expresa como la intersección de dos planos secantes, empleamos la fórmula para encontrar el vector director la cual emplea los coeficientes de los planos secantes

 

s \equiv \left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z - 1 = 0, \end{array} \right.

 

\begin{array}{rcl}\vec{u}& = & \left | \begin{array}{ccc} \vec{i } & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array} \right | \\\\ & = & \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{array} \right | \vec{i} - \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} \right | \vec{j} + \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right | \vec{k} \\\\ & = & 4 \vec{i} - 1 \vec{j} - 3 \vec{k} \end{array}

 

El vector director es

 

\vec{u} = (4, -1, -3)

 

3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman dos rectas y resolvemos

 

\begin{array}{rcl}\alpha(r,s) & = & \alpha(\vec{u}, \vec{v}) \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{|1\cdot 4 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot (-3)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-3)^2}} \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{26}} \\\\ & = & 68.48^o \end{array}

 

Así, el ángulo formado por las dos rectas es 68.48^o

Ángulo entre dos planos

 

El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales \vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1) y \vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2) de dichos planos.

 

\alpha(\pi_1, \pi_2) = \alpha(\vec{n}_1, \vec{n}_2) = arc\, cos \cfrac{|A_1\cdot A_2 + B_1\cdot B_2 + C_1\cdot C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}

 

Dos planos son perpendiculares \pi_1 \perp \p_2 si sus vectores normales son ortogonales, esto es, si \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0

 

Ejercicio de ángulo entre dos planos

 

1Hallar el ángulo que forman los planos:

 

\pi_1 \equiv 2x - y + z - 1 = 0, \ \ \  \pi_2 \equiv x + z + 3 = 0

1Obtenemos el vector normal \vec{n}_1 del plano \pi_1, este está dado por los coeficientes de la ecuación del plano

 

\vec{n}_1 = (2, -1, 1)

 

2Obtenemos el vector normal \vec{n}_2 del plano \pi_2

 

\vec{n}_2 = (1, 0, 1)

 

3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman dos planos y resolvemos

 

\begin{array}{rcl}\alpha(\pi_1, \pi_2) & = & \alpha(\vec{n}_1, \vec{n}_2) \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{|2\cdot 1 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}} \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} \\\\ & = & 30^o \end{array}

 

Así, el ángulo formado por los dos planos es 30^o

Ángulo entre recta y plano

 

El ángulo que forman una recta r y un plano \pi, es el ángulo formado por r con su proyección ortogonal sobre \pi.

 

angulo formado por una recta y un plano

 

El ángulo que forman una recta y un plano es igual al complementario del ángulo agudo que forman el vector director \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) de la recta y el vector normal \vec{n} = (A, B, C) del plano.

 

\alpha = arc\, sen \cfrac{|A\cdot u_1 + B \cdot u_2 + C \cdot u_3|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}}

 

Si la recta r y el plano \pi son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales

 

\cfrac{u_1}{A} = \cfrac{u_2}{B} = \cfrac{u_3}{C}

 

Ejercicio de ángulo entre una recta y un plano

 

1Hallar el ángulo que forman la recta y el plano:

 

r \equiv \cfrac{x - 1}{2} = \cfrac{y + 1}{1} = \cfrac{z}{2}, \ \ \ \pi \equiv x + y - 1 = 0

1Obtenemos el vector director \vec{u} de la recta r

 

\vec{u} = (2, 1, 2)

 

2Obtenemos el vector normal \vec{n} del plano \pi, este está dado por los coeficientes de la ecuación del plano

 

\vec{n} = (1, 1, 0)

 

3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman una recta y un plano y resolvemos

 

\begin{array}{rcl}\alpha & = & arc \, sen \cfrac{|2\cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2\cdot 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} \\\\ & = & arc \, sen \cfrac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{9}} \\\\ & = & 45^o \end{array}

 

Así, el ángulo formado por la recta y el plano es 45^o

 

2Hallar el ángulo que forman la recta y el plano:

 

r \equiv \left \{ \begin{array}{rcl} x + 3y - z + 3 = 0 \\ 2x - y - z - 1 = 0, \end{array} \right. \ \ \ \pi \equiv 2x - y + 3z + 1 = 0

1Obtenemos el vector director \vec{u} de la recta r. Como r se expresa como la intersección de dos planos secantes, empleamos la fórmula para encontrar el vector director la cual emplea los coeficientes de los planos secantes

 

r \equiv \left \{ \begin{array}{rcl} x + 3y - z + 3 = 0 \\ 2x - y - z - 1 = 0, \end{array} \right.

 

\begin{array}{rcl}\vec{u}& = & \left | \begin{array}{ccc} \vec{i } & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{array} \right | \\\\ & = & \left | \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -1 & -1 \end{array} \right | \vec{i} - \left | \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{array} \right | \vec{j} + \left | \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{array} \right | \vec{k} \\\\ & = & -4 \vec{i} - 1 \vec{j} - 7 \vec{k} \end{array}

 

El vector director es

 

\vec{u} = (-4, -1, -7)

 

2Obtenemos el vector normal \vec{n} del plano \pi, este está dado por los coeficientes de la ecuación del plano

 

\vec{n} = (2, -1, 3)

 

3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman una recta y un plano y resolvemos

 

\begin{array}{rcl}\alpha & = & arc \, sen \cfrac{|-4\cdot 2 - 1 \cdot (-1) - 7 \cdot 3|}{\sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + (-7)^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} \\\\ & = & arc \, sen \cfrac{28}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{14}} \\\\ & = & 67.09^o \end{array}

 

Así, el ángulo formado por la recta y el plano es 67.09^o

 

3Hallar el ángulo que forman la recta y el plano:

 

r \equiv \left \{ \begin{array}{rcl} y - 2 = 0 \\ 3x - \sqrt{3} z = 0, \end{array} \right. \ \ \ \pi \equiv x - 1 = 0

1Obtenemos el vector director \vec{u} de la recta r. Como r se expresa como la intersección de dos planos secantes, empleamos la fórmula para encontrar el vector director la cual emplea los coeficientes de los planos secantes

 

r \equiv \left \{ \begin{array}{rcl} y - 2 = 0 \\ 3x - \sqrt{3} z = 0, \end{array} \right.

 

\begin{array}{rcl}\vec{u}& = & \left | \begin{array}{ccc} \vec{i } & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -\sqrt{3} \end{array} \right | \\\\ & = & \left | \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} \end{array} \right | \vec{i} - \left | \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 3 & -\sqrt{3} \end{array} \right | \vec{j} + \left | \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} \right | \vec{k} \\\\ & = & -\sqrt{3} \vec{i} - 0 \vec{j} - 3 \vec{k} \end{array}

 

El vector director es

 

\vec{u} = (-\sqrt{3}, 0, -3)

 

2Obtenemos el vector normal \vec{n} del plano \pi, este está dado por los coeficientes de la ecuación del plano

 

\vec{n} = (1, 0, 0)

 

3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman una recta y un plano y resolvemos

 

\begin{array}{rcl}\alpha & = & arc \, sen \cfrac{|-\sqrt{3} \cdot 1 + 0 \cdot 0 - 3 \cdot 0|}{\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} \\\\ & = & arc \, sen \cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{1}} \\\\ & = & 30^o \end{array}

 

Así, el ángulo formado por la recta y el plano es 30^o

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗