Temas
Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
Es decir, tendremos que el área del paralelogramo es
![\[A=|\vec{u}| \cdot h=|\vec{u}||\vec{v}| \operatorname{sen} \alpha=|\vec{u} \times \vec{v}| \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a61d27e02d89adbfa5f52293cf183e2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejemplo
Dados los vectores 
y 
, hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores 
.
Comenzamos calculando el producto cruz
y después procedemos a calcular el modulo
![\[ A=|\vec{u} \times \vec{v}|=\sqrt{7^{2}+14^{2}+7^{2}}=\sqrt{294} u^{2} \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f06f634faeca2448e201104686db6510_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Área de un triángulo
Por otro lado, tenemos que un triangulo es la mitad de un paralelogramo, por lo tanto el módulo del producto cruz de dos vectores entre dos coincide con el área del triangulo.
Por tanto, tendremos que el área del triangulo es
![\[ A = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|\]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22b85e1144657eff0016184aacf5dd05_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejemplo
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos 
y 
.
Calculamos primeramente el producto cruz
![\[ \begin{aligned} \vec{w}=\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}&=\left|\begin{array}{ccc} \vec{j} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ -4 & 2 & -2 \end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{array}\right| \vec{i}-\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -4 & -2 \end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -4 & 2 \end{array}\right| \vec{k} \\ &=0 \vec{i}-6 \vec{j}-6 \vec{k} \end{aligned} \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-471e28a39dffcd0f74439bf8cfd4b541_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
obteniendo
![\[ \vec{w} = (0,-6,-6) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-151cc5c5413cda02c5d12bfbcba05c95_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Calculamos el modulo
![\[ |\vec{w}|=\sqrt{0^{2}+(-6)^{2}+(-6)^{2}}=6 \sqrt{2} \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7ce57003f1d493c9e95c39d832e46bb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Y dividiendo entre dos obtenemos el área del triangulo
![\[ A=\frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2}=3 \sqrt{2} u^{2} \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a817998f1f522bb50dd262bad9d93a5e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Volumen del paralelepípedo
Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.
Ejemplo
Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:
![\[ \vec{u}=(3,-2,5) \quad \vec{v}=(2,2,-1) \quad w=(-4,3,2) \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-64f0f10978803b1bfe479e61d0351519_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Entonces tenemos que el volumen es
![\[ V=[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=\left|\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 5 \\ 2 & 2 & -1 \\ -4 & 3 & 2 \end{array}\right|=91 u^{3} \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc7c4bae5131d3fe75798702ef939553_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Volumen de un tetraedro
El volumen de un tetraedro es igual a 
del producto mixto, en valor absoluto.
![\[ V=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{lll} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}\right| \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-39660313d52a2dcb66b6fbcccdad7c2a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejemplo
Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos 
y 
.
Tenemos que
y el volumen es
![\[ V=\frac{1}{6}|[\vec{U}, \vec{v}, \vec{w}]| \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-daf5736088f70caecbac0ce6b5adeb85_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
calculando el producto mixto
![\[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=\left|\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 6 \end{array}\right|=24-3-12-4=5 \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41c56fb059416ab961f420e55ebec093_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
por tanto el volumen es
![\[ V = \frac{1}{6} \cdot 5 = \frac{5}{6} u^3 \]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71e94a8caa684128bd671f5aa72ea247_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes
¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!
Cargando...
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.