Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

 
Paralelogramo con vectores v, u
 
Es decir, tendremos que el área del paralelogramo es
 

     \[A=|\vec{u}| \cdot h=|\vec{u}||\vec{v}| \operatorname{sen} \alpha=|\vec{u} \times \vec{v}| \]

 
Ejemplo
Dados los vectores \vec{u} = (3,1,-1) y \vec{v} = (2,3,4), hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores \vec{u}, \vec{v}.
 
Comenzamos calculando el producto cruz
 
 \vec{u} \times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{j} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 3 & 4 \end{array}\right| \vec{j}-\left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right| \vec{k}=7 \vec{j}-14 \vec{j}+7 \vec{k}
 

y después procedemos a calcular el modulo
 

     \[ A=|\vec{u} \times \vec{v}|=\sqrt{7^{2}+14^{2}+7^{2}}=\sqrt{294} u^{2} \]

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (31 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (93 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
18€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (121 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (31 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (93 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
18€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (121 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Área de un triángulo

 
Por otro lado, tenemos que un triangulo es la mitad de un paralelogramo, por lo tanto el módulo del producto cruz de dos vectores entre dos coincide con el área del triangulo.
 
Triangulo a partir de un paralelogramo

 

Por tanto, tendremos que el área del triangulo es
 

     \[ A = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|\]

 
Ejemplo

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).
 
Calculamos primeramente el producto cruz
 

     \[ \begin{aligned} \vec{w}=\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}&=\left|\begin{array}{ccc} \vec{j} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ -4 & 2 & -2 \end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{array}\right| \vec{i}-\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -4 & -2 \end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -4 & 2 \end{array}\right| \vec{k} \\ &=0 \vec{i}-6 \vec{j}-6 \vec{k} \end{aligned} \]

 
obteniendo

     \[  \vec{w} = (0,-6,-6) \]

Calculamos el modulo
 

     \[ |\vec{w}|=\sqrt{0^{2}+(-6)^{2}+(-6)^{2}}=6 \sqrt{2} \]

 

Y dividiendo entre dos obtenemos el área del triangulo
 

     \[ A=\frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2}=3 \sqrt{2} u^{2} \]

 

Volumen del paralelepípedo

Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

 
Ejemplo

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

     \[ \vec{u}=(3,-2,5) \quad \vec{v}=(2,2,-1) \quad w=(-4,3,2) \]

Entonces tenemos que el volumen es

     \[ V=[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=\left|\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 5 \\ 2 & 2 & -1 \\ -4 & 3 & 2 \end{array}\right|=91 u^{3} \]

 

Volumen de un tetraedro

 

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

     \[ V=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{lll} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}\right| \]

 
Ejemplo

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

Tenemos que
 
 \begin{aligned} &\overrightarrow{A B}=(1-3,2-2,4-1)=(-2,0,3) \\ &\overrightarrow{A C}=(4-3,0-2,3-1)=(1,-2,2) \\ &\overrightarrow{A D}=(1-3,1-2,7-1)=(-2,-1,6) \end{aligned}
 
y el volumen es
 

     \[  V=\frac{1}{6}|[\vec{U}, \vec{v}, \vec{w}]| \]

 
calculando el producto mixto
 

     \[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=\left|\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 6 \end{array}\right|=24-3-12-4=5 \]

 
por tanto el volumen es
 

     \[ V = \frac{1}{6} \cdot 5 = \frac{5}{6} u^3 \]

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 5,00 (1 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗