Name: Matriz inversa y metodo de Gauss
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Propiedades de la matriz inversa
Cálculo por el método de Gauss

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}$

Propiedades de la matriz inversa

1 $(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$

2 $(A^{-1})^{-1}=A$

3 $(k\cdot A)^{-1}$

4 $(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}$

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Cálculo por el método de Gauss

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ . Para calcular la matriz inversa de $A$ , que denotaremos como $A^{-1}$ , seguiremos los siguientes pasos:

1 Construir una matriz del tipo $M=(A/I)$ , es decir, $A$ está en la mitad izquierda de $M$ y la matriz identidad $I$ en la derecha.

Consideremos una matriz $3\times 3$ arbitraria:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, $A$ , en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: $A^{-1}$ .

$F_{2}\leftarrow F_{2}-F_{1}$