Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}

 

Propiedades de la matriz inversa

 

 1  (A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}

 2  (A^{-1})^{-1}=A

 3  (k\cdot A)^{-1}

 4  (A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}

 

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^{-1}, seguiremos los siguientes pasos:

 

 1  Construir una matriz del tipo M=(A/I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

 

Consideremos una matriz 3\times 3 arbitraria:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

 2  Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^{-1}.

F_{2}\leftarrow F_{2}-F_{1}

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{3}\leftarrow F_{3}+F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{2}\leftarrow F_{2}-F_{3}

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{1}\leftarrow F_{1}+F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{2}\leftarrow -1\cdot F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

La matriz inversa es:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗