1 junio 2019
Propiedades de la matriz inversa
1
2
3
4
Sea una matriz cuadrada de orden
. Para calcular la matriz inversa de
, que denotaremos como
, seguiremos los siguientes pasos:
1 Construir una matriz del tipo , es decir,
está en la mitad izquierda de
y la matriz identidad
en la derecha.
Consideremos una matriz arbitraria:
La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, , en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa:
.
La matriz inversa es:
¿Necesitas un/a profe de Matemáticas?
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
¡Excelente! Pude reafirmar lo que vi en clase de una manera sencilla, muchas gracias!
¡Gracias por tu comentario, qué placer leerlo!
buenas noches como resuelvo este ejercicio por el metodo gauss
{x-3y+z=-2
2x+y-z=6
x+2y+2z=2
Hola,
la matriz de coeficientes y del término independiente serán separados por comas para no causar confusión
(1, -3, 1, | -2)
(2, 1, -1, | 6)
(1, 2, 2, | 2)
1. Realizamos las operaciones elementales a las filas de la siguiente forma
F2 → 2F1-F2;
F3 → F3-F1
y obtenemos
(1, -3, 1, | -2)
(0, -7, 3, | -10)
(0, 5, 1, | 4)
2. Volvemos a realizar operaciones elementales
F1 → 7F1-3F2,
F3 → (1/22)[7F3+5F2]
y obtenemos
(7, 0, -2, | 16)
(0, -7, 3, | -10)
(0, 0, 1, | -1)
3. Volvemos a realizar operaciones elementales
F1 → (1/7)[F1+2F3],
F2 → (-1/7)[7F2-3F3
y obtenemos
(1, 0, 0, | 2)
(0, 1, 0, | 1)
(0, 0, 1, | -1)
Así el resultado es: x=2; y=1; z=-1
Un saludo
Buenas noches como resuelvo estos ejercicios con el método Gauss, por favor si me podría ayudar.
1: 2x+3y-z= 15
2x-y+z= -3
x-y= 0
2: 2x-5y+12z= 9
4x-y-2z= -2
2x+4y+10z= -11
Hola Belén si claro con gusto. Primero debemos de escribir las matrices del sistema de ecuaciones con su extendida iniciamos con la primera:
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 15\\ 2 & -1 & 1 & -3\\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right]](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20184%2079'%3E%3C/svg%3E)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 15\\ 2 & -1 & 1 & -3\\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right] \rightarrow R3 \leftrightarrow R1 \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & -3\\ 2 & 3 & -1 & 15 \end{array} \right]](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20532%2079'%3E%3C/svg%3E)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & -3\\ 2 & 3 & -1 & 15 \end{array} \right] \rightarrow -2R_1+R_2=R^*_2\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 2 & 3 & -1 & 15 \end{array} \right]](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20602%2079'%3E%3C/svg%3E)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 2 & 3 & -1 & 15 \end{array} \right] \rightarrow -2R_1+R_3=R^*_3\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 5 & -1 & 15 \end{array} \right]](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20602%2079'%3E%3C/svg%3E)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 5 & -1 & 15 \end{array} \right] \rightarrow -5R_2+R_3=R^*_3\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 0 & -6 & 30 \end{array} \right]](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20602%2079'%3E%3C/svg%3E)




sustituimos este valor en la ecuación anterior y nos queda:

nos vamos al renglón uno, el cual nos dice:



![Rendered by QuickLaTeX.com \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 4 & -1 & -2 & -2\\ 2 & 4 & 10 & -11 \end{array} \right]](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20195%2079'%3E%3C/svg%3E)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 4 & -1 & -2 & -2\\ 2 & 4 & 10 & -11 \end{array} \right] \rightarrow -2R_1+R_2=R^*_2\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 0 & 9 & -26 & -20\\ 2 & 4 & 10 & -11 \end{array} \right]](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20634%2079'%3E%3C/svg%3E)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 0 & 9 & -26 & -20\\ 2 & 4 & 10 & -11 \end{array} \right] \rightarrow -R_1+R_3=R^*_3\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 0 & 9 & -26 & -20\\ 0 & 9 & -2 & -20 \end{array} \right]](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20634%2079'%3E%3C/svg%3E)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 0 & 9 & -26 & -20\\ 0 & 9 & -2 & -20 \end{array} \right]\rightarrow -R_2+R_3=R^*_3\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 0 & 9 & -26 & -20\\ 0 & 0 & 24 & 0 \end{array} \right]](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20634%2079'%3E%3C/svg%3E)




Debemos de dejar los elementos de que estan abajo de la diagonal principal iguales a cero pero si observas la última fila de la matriz no tiene «z» por lo cual cambiare ese renglon al inicio.
Ahora haremos cero el 2 del segundo renglón
Ahora vamos a hacer cero el 2 de la tercer fila para ellos hacemos:
Ahora nos falta hacer cero el 5 de la tercer fila, segunda columna para ello hacemos:
Ya tengo los elementos que están abajo de la diagonal princpipal igual a cero ahora si empezamos a despejar; sabemos por el tercer renglón de la matriz los siguiente:
el -6 multiplica a la z por lo tanto lo paso dividiendo:
Simplificando:
Ya que tenemos el valor de z vamos al segundo renglon de la matriz la cual nos dice:
pero ya sabemos que
ya que conocemos el valor de
Por lo tanto nuestra solución al primer sistema de ecuaciones es:
El segundo se hace de forma similar; iniciamos con la matriz extendida del sistema:
Haremos primero cero el 4 de la segunda fila para ello hacemos lo siguiente:
Ahora haremos cero el dos del tercer renglón, para hacemos:
Solo falta hacer cero el nueve del tercer renglón segunda columa para ello tenemos que:
Ahora si ya podemos inciar a conocer el valor de mis variables, inciamos por lo que nos dice el tercer renglón lo cual es:
ya que sabemos el valor de «z» nos vamos al renglón dos para sustituir dicho valor y encontrar mi siguiente variable:
ahora si ya conocemos el valor de dos de las variables vamos a determinar el valor de «x», en la matriz la primera ecuación nos dice:
Por lo tanto la solución al sistema de ecuaciones es:
Espero y te sea de utilidad la respuesta, cualquier duda estamos para servirte. Saludos.
Determina la inversa de la siguiente matriz,
-n 1 3
1/4 n+7 6/7
1 -1 n-2
buenas me podrían ayudar con este ejercicio de gauss sacando la matriz inversa
a= 1 -1 0
0 1 0
2 0 1
MÉTODO INVERSA …..ME PUEDEN AYUDAR CON ESTE EJERCICIO
Una embotelladora de refrescos desea cotizar la publicidad de sus productos en televisión, radio y revista. Se tienen tres propuestas del plan de medios de acuerdo con el presupuesto asignado acerca de la cantidad de anuncios por medio en el transcurso de un mes. En el primer presupuesto cada anuncio en televisión tiene un costo de $ 250 000, en radio $ 5 000 y en revista $ 30 000. En el segundo presupuesto $ 310 000, $ 4 000 y $ 15 000 y en el último presupuesto $ 560 000, $ 10 000 y $ 35 000. Los totales por presupuesto son los siguientes: $ 21 795 000, $ 31 767 000 y $ 61 225 000. Determine la cantidad de anuncios cotizados por cada medio.
buenas tardes , como realizo la matriz inversa por el método de gauss, los siguientes ejercicios
A= 2 1 0
1 1 0
0 0 1
A=5 0 0
0 2 0
0 0 7
A= 4 – 2
3 – 1
A= 1 3
2 7
Hola, como resuelvo este ejercicio por el método gauss – matriz inversa
3 -0.1 -0.2
0.1 7 -0.3
0.3 0 10