Name: Matriz inversa y metodo de Gauss
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Marta

1 junio 2019

Temas

Propiedades de la matriz inversa
Cálculo por el método de Gauss

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}$

Propiedades de la matriz inversa

1 $(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$

2 $(A^{-1})^{-1}=A$

3 $(k\cdot A)^{-1}$

4 $(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}$

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Cálculo por el método de Gauss

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ . Para calcular la matriz inversa de $A$ , que denotaremos como $A^{-1}$ , seguiremos los siguientes pasos:

1 Construir una matriz del tipo $M=(A/I)$ , es decir, $A$ está en la mitad izquierda de $M$ y la matriz identidad $I$ en la derecha.

Consideremos una matriz $3\times 3$ arbitraria:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, $A$ , en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: $A^{-1}$ .

$F_{2}\leftarrow F_{2}-F_{1}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$F_{3}\leftarrow F_{3}+F_{2}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$F_{2}\leftarrow F_{2}-F_{3}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$F_{1}\leftarrow F_{1}+F_{2}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$F_{2}\leftarrow -1\cdot F_{2}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

La matriz inversa es:

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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González

Octubre

¡Excelente! Pude reafirmar lo que vi en clase de una manera sencilla, muchas gracias!

Superprof

Octubre

¡Gracias por tu comentario, qué placer leerlo!

pineda paola

Octubre

buenas noches como resuelvo este ejercicio por el metodo gauss

{x-3y+z=-2
2x+y-z=6
x+2y+2z=2

Gaspar Leon

Junio

Hola,

la matriz de coeficientes y del término independiente serán separados por comas para no causar confusión
(1, -3, 1, | -2)
(2, 1, -1, | 6)
(1, 2, 2, | 2)
1. Realizamos las operaciones elementales a las filas de la siguiente forma
F₂ → 2F₁-F₂;
F₃ → F₃-F₁
y obtenemos
(1, -3, 1, | -2)
(0, -7, 3, | -10)
(0, 5, 1, | 4)
2. Volvemos a realizar operaciones elementales
F₁ → 7F₁-3F₂,
F₃ → (1/22)[7F₃+5F₂]
y obtenemos
(7, 0, -2, | 16)
(0, -7, 3, | -10)
(0, 0, 1, | -1)
3. Volvemos a realizar operaciones elementales
F₁ → (1/7)[F₁+2F₃],
F₂ → (-1/7)[7F₂-3F₃
y obtenemos
(1, 0, 0, | 2)
(0, 1, 0, | 1)
(0, 0, 1, | -1)
Así el resultado es: x=2; y=1; z=-1

Un saludo

Belén

Septiembre

Buenas noches como resuelvo estos ejercicios con el método Gauss, por favor si me podría ayudar.
1: 2x+3y-z= 15
2x-y+z= -3
x-y= 0

2: 2x-5y+12z= 9
4x-y-2z= -2
2x+4y+10z= -11

Jose Eduardo Silva Arellano

Septiembre

Hola Belén si claro con gusto. Primero debemos de escribir las matrices del sistema de ecuaciones con su extendida iniciamos con la primera:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 15\\ 2 & -1 & 1 & -3\\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right]$

Debemos de dejar los elementos de que estan abajo de la diagonal principal iguales a cero pero si observas la última fila de la matriz no tiene «z» por lo cual cambiare ese renglon al inicio.

$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 15\\ 2 & -1 & 1 & -3\\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right] \rightarrow R3 \leftrightarrow R1 \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & -3\\ 2 & 3 & -1 & 15 \end{array} \right]$

Ahora haremos cero el 2 del segundo renglón

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & -3\\ 2 & 3 & -1 & 15 \end{array} \right] \rightarrow -2R_1+R_2=R^*_2\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 2 & 3 & -1 & 15 \end{array} \right]$

Ahora vamos a hacer cero el 2 de la tercer fila para ellos hacemos:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 2 & 3 & -1 & 15 \end{array} \right] \rightarrow -2R_1+R_3=R^*_3\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 5 & -1 & 15 \end{array} \right]$

Ahora nos falta hacer cero el 5 de la tercer fila, segunda columna para ello hacemos:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 5 & -1 & 15 \end{array} \right] \rightarrow -5R_2+R_3=R^*_3\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 0 & -6 & 30 \end{array} \right]$

Ya tengo los elementos que están abajo de la diagonal princpipal igual a cero ahora si empezamos a despejar; sabemos por el tercer renglón de la matriz los siguiente:

$-6z=30$

el -6 multiplica a la z por lo tanto lo paso dividiendo:

$z=\displaystyle \frac{30}{-6}$

Simplificando:

$z=-5$

Ya que tenemos el valor de z vamos al segundo renglon de la matriz la cual nos dice:

$y+z=-3$

pero ya sabemos que $z=-5$ sustituimos este valor en la ecuación anterior y nos queda:

$y+(-5)=-3 \\ y-5=-3\\ y=-3+5\\ y=2$

ya que conocemos el valor de $y$ nos vamos al renglón uno, el cual nos dice:

$x-y=0\\ x-2=0 x=2$

Por lo tanto nuestra solución al primer sistema de ecuaciones es:

$x=2\\ y=2\\ z=-5$

El segundo se hace de forma similar; iniciamos con la matriz extendida del sistema:

$2)$

$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 4 & -1 & -2 & -2\\ 2 & 4 & 10 & -11 \end{array} \right]$

Haremos primero cero el 4 de la segunda fila para ello hacemos lo siguiente:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 4 & -1 & -2 & -2\\ 2 & 4 & 10 & -11 \end{array} \right] \rightarrow -2R_1+R_2=R^*_2\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 0 & 9 & -26 & -20\\ 2 & 4 & 10 & -11 \end{array} \right]$

Ahora haremos cero el dos del tercer renglón, para hacemos:
$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 0 & 9 & -26 & -20\\ 2 & 4 & 10 & -11 \end{array} \right] \rightarrow -R_1+R_3=R^*_3\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 0 & 9 & -26 & -20\\ 0 & 9 & -2 & -20 \end{array} \right]$

Solo falta hacer cero el nueve del tercer renglón segunda columa para ello tenemos que:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 0 & 9 & -26 & -20\\ 0 & 9 & -2 & -20 \end{array} \right]\rightarrow -R_2+R_3=R^*_3\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 12 & 9\\ 0 & 9 & -26 & -20\\ 0 & 0 & 24 & 0 \end{array} \right]$

Ahora si ya podemos inciar a conocer el valor de mis variables, inciamos por lo que nos dice el tercer renglón lo cual es:
$24z=0\\ z= \displaystyle \frac{0}{24}\\ z=0$

ya que sabemos el valor de «z» nos vamos al renglón dos para sustituir dicho valor y encontrar mi siguiente variable:

$9y-26z=-20\\ \\ \mbox{pero z vale cero entonces}\\ \\ 9y-26(0)=-20\\ \\ 9y-0=-20\\ \\ 9y=-20\\ \\ y=\displaystyle -\frac{20}{9}$

ahora si ya conocemos el valor de dos de las variables vamos a determinar el valor de «x», en la matriz la primera ecuación nos dice:
$2x-5y+12z=9\\ \\ \mbox{sustituimos el valor de y,z}\\ \\ 2x-5(\displaystyle \frac{-20}{9})+12(0)=9\\ \\ 2x+\displaystyle \frac{100}{9}+0=9\\ \\ 2x=9-\displaystyle \frac{100}{9}\\ \\ 2x=-\displaystyle \frac{19}{9}\\ \\ x=-\displaystyle \frac{19}{9(2)}\\ \\ x=-\displaystyle \frac{19}{18}$

Por lo tanto la solución al sistema de ecuaciones es:
$x=-\displaystyle \frac{19}{18} \\ \\ y=y=\displaystyle -\frac{20}{9}\\ \\ z=0$

Espero y te sea de utilidad la respuesta, cualquier duda estamos para servirte. Saludos.

ruben

Septiembre

Determina la inversa de la siguiente matriz,

-n 1 3
1/4 n+7 6/7
1 -1 n-2

ivanna

Octubre

buenas me podrían ayudar con este ejercicio de gauss sacando la matriz inversa
a= 1 -1 0
0 1 0
2 0 1

MARCO GOMEZ

Diciembre

MÉTODO INVERSA …..ME PUEDEN AYUDAR CON ESTE EJERCICIO

Una embotelladora de refrescos desea cotizar la publicidad de sus productos en televisión, radio y revista. Se tienen tres propuestas del plan de medios de acuerdo con el presupuesto asignado acerca de la cantidad de anuncios por medio en el transcurso de un mes. En el primer presupuesto cada anuncio en televisión tiene un costo de $ 250 000, en radio $ 5 000 y en revista $ 30 000. En el segundo presupuesto $ 310 000, $ 4 000 y $ 15 000 y en el último presupuesto $ 560 000, $ 10 000 y $ 35 000. Los totales por presupuesto son los siguientes: $ 21 795 000, $ 31 767 000 y $ 61 225 000. Determine la cantidad de anuncios cotizados por cada medio.

Anahi

Diciembre

buenas tardes , como realizo la matriz inversa por el método de gauss, los siguientes ejercicios

A= 2 1 0
1 1 0
0 0 1

A=5 0 0
0 2 0
0 0 7
A= 4 – 2
3 – 1
A= 1 3
2 7

José Adolfo

Enero

Hola, como resuelvo este ejercicio por el método gauss – matriz inversa
3 -0.1 -0.2
0.1 7 -0.3
0.3 0 10

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