1Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable

Primero consideremos el espacio muestral, este corresponde al conjunto de posibles resultados al lanzar las monedas. Si denotamos c al hecho de obtener cara y por x al hecho de no obtener cara. Podemos decir que nuestro espacio muestral es

    $$E=\left\lbrace (c,c),(c,x),(x,c),(x,x)\right\rbrace.$$

Estos vectores representan lo que obtuve en cada una de las monedas, por ejemplo (c,c) nos dice que obtuve dos caras al lanzar las monedas.
Ahora calculamos las probabilidades de ganar o perder.

La probabilidad de ganar un euro es igual al numero de posibles casos favorables sobre el numero de todos los casos posibles que en este caso siempre es 4. Los casos donde obtengo una cara son (c,x) y (x,c), es decir, hay dos casos posibles, entonces la probabilidad es

    $$P(+1)=\cfrac{2}{4}.$$

Similarmente, dado que solo hay un caso donde obtengo dos cara,

    $$P(+2)=\cfrac{1}{4}.$$

De igual forma, solo hay un caso donde no obtengo caras, es decir, pierdo 5 euros, entonces

    $$P(-5)=\cfrac{1}{4}.$$

Finalmente, recordemos que la esperanza no es mas que la suma de los productos de las probabilidades de un suceso por el valor del suceso, así

    $$\mu=1\cdot\left(\frac{2}{4}\right)+2\cdot\left(\frac{2}{4}\right)-5\cdot\left(\frac{1}{4}\right)=-\cfrac{1}{4}.$$

Por lo tanto concluimos que la esperanza es desfavorable.

2

Dada la función:

 

\displaystyle F(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & x < 0\\ 0.1 & 0 \leq x < 1\\ 0.1 + a & 1 \leq x < 2\\ 0.1 + a + b & 2 \leq x < 3\\ 0.1 + a + b + c & 3 \leq x < 4\\ 0.1 + a + b + c + 0.2 & 4 \leq x \end{matrix}\right.

 

Y sabiendo que P(X \leq 2) = 0.7 y P(X \geq 2) = 0.75, hallar:

 

ALa esperanza matemática BLa varianza C La desviación típica

Primero debemos encontrar el valor de las incógnitas a, b y c. Para esto, primero utilizamos:

P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 0.75

Notamos que esto es equivalente a calcular

1 - (0.1 + a) = 0.75 \qquad \Longrightarrow \qquad a = 0.15

Luego, sustituyendo el valor de a en

P(X \leq 2) = 0.1 + a + b = 0.7

Tenemos que b = 0.45. Por último, tenemos que:

0.1 + a + b + c + 0.2 = 1

de donde se sigue que c = 0.1

Observemos que F(x) es la función de distribución (probabilidad acumulada). A partir de aquí podemos obtener la función de probabilidad, la cual es

\displaystyle f(x) = \left\{\begin{matrix} 0.1 & x = 0\\ 0.15 & x = 1\\ 0.45 & x = 2\\ 0.1 & x = 3\\ 0.2 & x = 4\\ \end{matrix}\right.

 

Con esto ya podemos encontrar lo que se nos pide:

 x p_{i} x\cdot p_{i} x^{2}\cdot p_{i}
0 0.1 0 0
1 0.15 0.15 0.15
2 0.45 0.9 1.8
3 0.1 0.3 0.9
4 0.2 0.8 3.2
2.15 6.05

ALa esperanza matemática

    $$\mu=2.15.$$

BLa varianza

    $$\sigma^{2}=6.05-2.15^{2}=1.4275.$$

CLa desviación típica

    $$\sigma=\sqrt{1.4275}=1.19.$$

3Se venden 3000 boletos para una rifa a 2 euro cada uno. Si el único premio del sorteo es de 1800 euros, calcular el resultado que debe esperar una persona que compra 3 billetes.

Consideramos la variable discreta

    $$x=\hbox{dinero obtenido en el juego.}$$

Los posibles valores para x son:

    $$\hbox{Si se gana la rifa, obtendrá }1800-2(3)=1794.$$

Y tendremos que la probabilidad es \cfrac{3}{3000}.

    $$\hbox{Si se pierde la rifa, perderá } 2(3)=6.$$

Y tendremos que la probabilidad es \cfrac{2997}{3000}.

De esta forma el resultado que una persona debe si compra 3 billetes es

    $$E[x]=1794\cdot\cfrac{3}{3000}-6\cfrac{2997}{3000}=.$$

4Una variable discreta tiene la siguiente función de densidad entre 0 y 4:

    $$f(0)=0.3,\quad f(1)=0.25,\quad f(2)=0.25,\quad f(3)=0.1,\quad f(4)=0.1.$$

Calcular su esperanza y varianza.

La esperanza matemática de la variable viene dada por:

    $$E[x]=\sum_{i=0}^{4}x_{i}f(x_{i})=(0\cdot 0.3)+(1\cdot 0.25)+(2\cdot 0.25)+(3\cdot 0.1)+(4\cdot 0.1)=1.45.$$

La varianza viene dada por var(x)=E[x^{2}]-(E[x])^{2}. Calculamos la esperanza de la variable x^{2},

    $$E[x^{2}]=\sum_{i=0}^{4}x^{2}_{i}f(x^{2}_{i})=\sum_{i=0}^{4}x^{2}_{i}f(x_{i})=$$

    $$=(0^{2}\cdot 0.3)+(1^{2}\cdot 0.25)+(2^{2}\cdot 0.25)+(3^{2}\cdot 0.1)+(4^{2}\cdot 0.1)=3.75.$$

Por lo tanto

    $$var(x)=E[x^{2}]-(E[x])^{2}=3.75-1.45^{2}=1.6475.$$

5Se lanza un dado equilibrado produciendo el espacio

    $$S=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}.$$

la variable aleatoria X representa el doble del número que aparece. Encuentra la esperanza y la varianza.

Dada la descripción para X tenemos que

    $$X(1)=2,\quad X(2)=4,\quad X(3)=6,\quad X(4)=8,\quad X(5)=10,\quad X(6)=12.$$

Por lo tanto X tiene la siguiente función distribución f[latex]$$f(x)=\cfrac{1}{6},\hbox{ para todo }x\in S=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}.$$[/latex]

Concluimos que la esperanza esta dada por

    $$E[X]=\sum_{i=1}^{6}x_{i}f(x_{i})=(2\cdot \cfrac{1}{6})+(4\cdot \cfrac{1}{6})+(6\cdot \cfrac{1}{6})+(8\cdot \cfrac{1}{6})+(10\cdot \cfrac{1}{6})+(12\cdot \cfrac{1}{6})=\cfrac{42}{6}=7.$$

Ademas,

    $$E[X^{2}]=\sum_{i=1}^{6}x^{2}_{i}f(x_{i})=(4\cdot \cfrac{1}{6})+(16\cdot \cfrac{1}{6})+(36\cdot \cfrac{1}{6})+(64\cdot \cfrac{1}{6})+(100\cdot \cfrac{1}{6})+(144\cdot \cfrac{1}{6})=$$

    $$=\cfrac{354}{6}=60.7.$$

Finalmente la varianza var(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2} esta dada por

    $$var(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}=60.7-7=11.7.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗