La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:

 

{P(X=k)=\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^{k} q^{n-k} }

 

donde

{n} es el número de pruebas.

{k} es el número de éxitos.

{p} es la probabilidad de éxito.

{q} es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio viene dado por

{ \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \displaystyle\frac{n!}{k! (n-k)!} }

 

Ejemplo de probabilidad para exactamente k-éxitos

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 4 amigos que son aficionados a la lectura, 2 hayan leído la novela.

 

1 La probabilidad de que una persona haya leído el libro es de 0.8, por lo que la probabilidad de que no lo haya leído es de 0.2

{n = 4}

{k = 2}

{p = 0.8}

{q = 0.2}

 

2 La probabilidad de que exactamente 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leído la novela se representa por {P(X=2)}.

 

3 Sustituimos los datos en la función de probabilidad de la distribución binomial

 

{\begin{array}{rcl} P(X=2) & = & \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) (0.8)^{2} (0.2)^{2} \\ & & \\ & = & \displaystyle\frac{4!}{(2!)(2!)}(0.64)(0.04) \\ && \\ & = & 0.1536 \end{array}}

 

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 4 amigos que son aficionados a la lectura, a lo más 2 hayan leído la novela.

 

1 La probabilidad de que una persona haya leído el libro es de 0.8, por lo que la probabilidad de que no lo haya leído es de 0.2

{n = 4}

{k \le 2}

{p = 0.8}

{q = 0.2}

 

2 La probabilidad de que a lo más 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leído la novela se representa por {P(X \le 2)=P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)}.

 

3 Sustituimos los datos en la función de probabilidad de la distribución binomial

 

{\begin{array}{rcl} P(X \le 2) & = & P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array} \right) (0.8)^{0} (0.2)^{4} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right) (0.8)^{1} (0.2)^{3} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) (0.8)^{2} (0.2)^{2} \\ & & \\ & = & 0.1808 \end{array}}

 

Ejemplo de probabilidad para al menos k-éxitos

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 4 amigos que son aficionados a la lectura, al menos 2 hayan leído la novela.

 

1 La probabilidad de que una persona haya leído el libro es de 0.8, por lo que la probabilidad de que no lo haya leído es de 0.2

{n = 4}

{k \ge 2}

{p = 0.8}

{q = 0.2}

 

2 La probabilidad de que al menos 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leído la novela se representa por {P(X \ge 2)=P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)}.

 

3 Sustituimos los datos en la función de probabilidad de la distribución binomial

 

{\begin{array}{rcl} P(X \ge 2) & = & P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) (0.8)^{2} (0.2)^{2} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right) (0.8)^{3} (0.2)^{1} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array} \right) (0.8)^{4} (0.2)^{0} \\ & & \\ & = & 0.9728 \end{array}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗