Marta

3 junio 2019

 

1Dada la experiencia aleatoria de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular: 

aLa función de probabilidad y su representación

bLa función de distribución y su representación

cLa esperanza matemática, la varianza y la desviación típica

 

Dada la experiencia aleatoria de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:

 

aLa función de probabilidad y su representación

 

xp_i
1\frac{1}{6}
2\frac{1}{6}
3\frac{1}{6}
4\frac{1}{6}
5\frac{1}{6}
6\frac{1}{6}
 \sum_{i=1}^{6}{p_i} = 1

 

 

bLa función de distribución y su representación

 

xp_i
x < 10
1 \leq x < 2\frac{1}{6}
2 \leq x < 3\frac{2}{6}
3 \leq x < 4\frac{3}{6}
4 \leq x < 5\frac{4}{6}
5 \leq x < 6\frac{5}{6}
6 \leq x1

 

 

cLa esperanza matemática, la varianza y la desviación típica

 

 xp_ix \cdot p_ix^2 \cdot p_i
1\frac{1}{6}\frac{1}{6}\frac{1}{6}
2\frac{1}{6}\frac{2}{6}\frac{4}{6}
3\frac{1}{6}\frac{3}{6}\frac{9}{6}
4\frac{1}{6}\frac{4}{6}\frac{16}{6}
5\frac{1}{6}\frac{5}{6}\frac{25}{6}
6\frac{1}{6}16
\frac{21}{6}\frac{91}{6}

 

\mu = \frac{21}{6} = 3.5

 

\sigma^2 = \frac{91}{6} - \left( 3.5 \right)^2 \approx 2.9167

 

\sigma = \sqrt{2.9167} \approx 1.7078

 

2Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es: 

xp_i
00.1
10.2
20.1
30.4
40.1
50.1

aCalcular y representar gráficamente la función de distribución.

bCalcular las siguientes probabilidades:

\displaystyle P(x < 4.5)

 

\displaystyle P(x \geq 3)

 

\displaystyle P(3 \leq x < 4.5)

 

 

Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

 

xp_i
00.1
10.2
20.1
30.4
40.1
50.1

 

1Calcular y representar gráficamente la función de distribución

 

    \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ 0.1 & 0 \leq x <1\\ 0.3 & 1 \leq x < 2\\ 0.4 & 2 \leq x < 3\\ 0.8 & 3 \leq x < 4\\ 0.9 & 4 \leq x < 5\\ 1 & 5 \leq x \end{cases} \end{equation*}

 

2Calcular las siguientes probabilidades:

 

\displaystyle P(x < 4.5)

 

    \begin{align*} P(x < 4.5) &= F(4.5)\\ & = 0.9 \end{align*}

 

\displaystyle P(x \geq 3)

 

    \begin{align*} P(x \geq 3) &= 1 - P(x < 3)\\ &= 1 - 0.4\\ &=0.6 \end{align*}

 

\displaystyle P(3 \leq x < 4.5)

 

    \begin{align*} P(3 \leq x < 4.5) &= P(x < 4.5) - P(3 \leq x )\\ &= 0.9 - 0.4\\ &=0.5 \end{align*}

 

3Dada la siguiente función de distribución

 

    \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ 0.1 & 0 \leq x <1\\ 0.1 + a & 1 \leq x < 2\\ 0.1 + a + b & 2 \leq x < 3\\ 0.1 + a + b + c & 3 \leq x < 4\\ 0.1 + a + b + c + 0.2 & 4 \leq x \end{cases} \end{equation*}

 

y sabiendo que \quad P(x \leq 2) = 0.7 \quad y \quad P(x \geq 2) = 0.75. Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

 

Dada la siguiente función de distribución

 

    \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ 0.1 & 0 \leq x <1\\ 0.1 + a & 1 \leq x < 2\\ 0.1 + a + b & 2 \leq x < 3\\ 0.1 + a + b + c & 3 \leq x < 4\\ 0.1 + a + b + c + 0.2 & 4 \leq x \end{cases} \end{equation*}

 

y sabiendo que \quad P(x \leq 2) = 0.7 \quad y \quad P(x \geq 2) = 0.75. Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

 

Dado que \quad P(x \leq 2) = 0.7 = 0.1 + a + b\quad y \quad P(x \geq 2) = 0.75 = 1 - P(x < 2) = 0.9 - a , tenemos el siguientes sistema de ecuaciones

 

    \begin{equation*} \begin{cases} 0.1 + a + b &= 0.7\\ 0.9 - a &= 0.75 \end{cases} \end{equation*}

 

cuya solución es \quad a = 0.15\quad y \quad b = 0.45 .Por último, tenemos por la función de distribución que

 

\displaystyle 0.1 + a + b + c + 0.2 = 1

 

sustituyendo los valores de \quad a\quad y \quad b\quad y despejando para \quad c \quad obtenemos que \quad c = 0.1. De aquí se sigue que

    \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ 0.1 & 0 \leq x <1\\ 0.25 & 1 \leq x < 2\\ 0.7 & 2 \leq x < 3\\ 0.8 & 3 \leq x < 4\\ 1 & 4 \leq x \end{cases} \end{equation*}

Dada la función de distribución anterior, podemos obtener la función de probabilidad, la cual está dada por

    \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0.1 & x = 0\\ 0.15 & x = 1\\ 0.45 & x = 2\\ 0.1 & x = 3\\ 0.2 & x = 4 \end{cases} \end{equation*}

 

 xp_ixp_ix^2 p_i
00.100
10.150.150.15
20.450.91.8
30.10.30.9
40.20.83.2
2.156.05

 

\mu = 2.15

 

\sigma^2 = 6.05 - 2.15^2 \approx 1.4275 \approx 2.9167

 

\sigma = \sqrt{1.4275} \approx 1.19

 

4 Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

 

Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

 

E = \{(c,c), (c,x), (x,c), (x,x)\}

 

P(1)= \frac{2}{4}

 

P(2) = \frac{1}{4}

 

P(-5) = \frac{1}{4}

 

La esperanza está dada por \; \mu = 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} - 5 \cdot \frac{1}{4}= - \frac{1}{4}. Por lo tanto, no es favorable.

 

 

5Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria \quad X \quad como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza

 

Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria \quad X \quad como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza

 

\quad \frac{}{36} \quad

\quad x \quad\quad p_i \quad\quad x p_i \quad\quad x^2 p_i \quad
\quad 2 \quad\quad \frac{1}{36} \quad\quad \frac{2}{36} \quad\quad \frac{4}{36} \quad
\quad 3 \quad\quad \frac{2}{36} \quad\quad \frac{6}{36} \quad\quad \frac{18}{36} \quad
\quad 4 \quad\quad \frac{3}{36} \quad\quad \frac{12}{36} \quad\quad \frac{48}{36} \quad
\quad 5 \quad\quad \frac{4}{36} \quad\quad \frac{20}{36} \quad\quad \frac{100}{36} \quad
\quad 6 \quad\quad \frac{5}{36} \quad\quad \frac{30}{36} \quad\quad \frac{180}{36} \quad
\quad 7 \quad\quad \frac{6}{36} \quad\quad \frac{42}{36} \quad\quad \frac{294}{36} \quad
\quad 8 \quad\quad \frac{5}{36} \quad\quad \frac{40}{36} \quad\quad \frac{320}{36} \quad
\quad 9 \quad\quad \frac{4}{36} \quad\quad \frac{36}{36} \quad\quad \frac{324}{36} \quad
\quad 10 \quad\quad \frac{3}{36} \quad\quad \frac{30}{36} \quad\quad \frac{300}{36} \quad
\quad 11 \quad\quad \frac{2}{36} \quad\quad \frac{22}{36} \quad\quad \frac{242}{36} \quad
\quad 12 \quad\quad \frac{1}{36} \quad\quad \frac{12}{36} \quad\quad \frac{144}{36} \quad
\quad 7 \quad\quad 54.83 \quad

 

\mu = 7

 

\sigma^2 = 54.84 - 7^2 \approx 5.84

 

\sigma = \sqrt{5.84} \approx 2.41

 

6Un jugador lanza un dado corriente. Si sale \quad 1 \quad o número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego 

 

Un jugador lanza un dado corriente. Si sale \quad 1 \quad o número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.

 

 \quad x \quad\quad p_i \quadx p_i
\quad +100 \quad\quad \frac{1}{6} \quad\quad \frac{100}{6} \quad
\quad +200 \quad\quad \frac{1}{6} \quad\quad \frac{200}{6} \quad
\quad +300 \quad\quad \frac{1}{6} \quad\quad \frac{300}{6} \quad
\quad - 400 \quad\quad \frac{1}{6} \quad\quad -\frac{400}{6} \quad
\quad + 500 \quad\quad \frac{1}{6} \quad\quad \frac{500}{6} \quad
\quad - 600 \quad\quad \frac{1}{6} \quad\quad -\frac{600}{6} \quad
\quad \frac{100}{6} \quad

 

\quad \mu = \frac{100}{6} = \approx 16.667 \quad

 

7Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de \quad 5000 € ó un segundo premio de \quad 2000€ con probabilidades de: \quad 0.001 \quad y \quad 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta? 

 

Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de \quad 5000 € ó un segundo premio de \quad 2000€ con probabilidades de: \quad 0.001 \quad y \quad 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

 

El precio está dado por la esperanza

 

\quad \mu = 5000 \cdot 0.001 + 2000 \cdot 0.003 = 11€

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗