Name: Ejercicios de la esperanza matematica
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1Dada la experiencia aleatoria de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:

aLa función de probabilidad y su representación

bLa función de distribución y su representación

cLa esperanza matemática, la varianza y la desviación típica

Dada la experiencia aleatoria de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:

aLa función de probabilidad y su representación

$x$	$p_i$
$1$	$\frac{1}{6}$
$2$	$\frac{1}{6}$
$3$	$\frac{1}{6}$
$4$	$\frac{1}{6}$
$5$	$\frac{1}{6}$
$6$	$\frac{1}{6}$
$\sum_{i=1}^{6}{p_i} = 1$

bLa función de distribución y su representación

$x$	$p_i$
$x < 1$	$0$
$1 \leq x < 2$	$\frac{1}{6}$
$2 \leq x < 3$	$\frac{2}{6}$
$3 \leq x < 4$	$\frac{3}{6}$
$4 \leq x < 5$	$\frac{4}{6}$
$5 \leq x < 6$	$\frac{5}{6}$
$6 \leq x$	$1$

cLa esperanza matemática, la varianza y la desviación típica

$x$	$p_i$	$x \cdot p_i$	$x^2 \cdot p_i$
$1$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$
$2$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{4}{6}$
$3$	$\frac{1}{6}$	$\frac{3}{6}$	$\frac{9}{6}$
$4$	$\frac{1}{6}$	$\frac{4}{6}$	$\frac{16}{6}$
$5$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{6}$	$\frac{25}{6}$
$6$	$\frac{1}{6}$	1	6
		$\frac{21}{6}$	$\frac{91}{6}$

$\mu = \frac{21}{6} = 3.5$

$\sigma^2 = \frac{91}{6} - \left( 3.5 \right)^2 \approx 2.9167$

$\sigma = \sqrt{2.9167} \approx 1.7078$

2Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

$x$	$p_i$
$0$	$0.1$
$1$	$0.2$
$2$	$0.1$
$3$	$0.4$
$4$	$0.1$
$5$	$0.1$

aCalcular y representar gráficamente la función de distribución.

bCalcular las siguientes probabilidades:

$\displaystyle P(x < 4.5)$

$\displaystyle P(x \geq 3)$

$\displaystyle P(3 \leq x < 4.5)$

Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

$x$	$p_i$
$0$	$0.1$
$1$	$0.2$
$2$	$0.1$
$3$	$0.4$
$4$	$0.1$
$5$	$0.1$

1Calcular y representar gráficamente la función de distribución

$\begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ 0.1 & 0 \leq x <1\\ 0.3 & 1 \leq x < 2\\ 0.4 & 2 \leq x < 3\\ 0.8 & 3 \leq x < 4\\ 0.9 & 4 \leq x < 5\\ 1 & 5 \leq x \end{cases} \end{equation*}$

2Calcular las siguientes probabilidades:

$\displaystyle P(x < 4.5)$

$\begin{align*} P(x < 4.5) &= F(4.5)\\ & = 0.9 \end{align*}$

$\displaystyle P(x \geq 3)$

$\begin{align*} P(x \geq 3) &= 1 - P(x < 3)\\ &= 1 - 0.4\\ &=0.6 \end{align*}$

$\displaystyle P(3 \leq x < 4.5)$

$\begin{align*} P(3 \leq x < 4.5) &= P(x < 4.5) - P(3 \leq x )\\ &= 0.9 - 0.4\\ &=0.5 \end{align*}$

3Dada la siguiente función de distribución

$\begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ 0.1 & 0 \leq x <1\\ 0.1 + a & 1 \leq x < 2\\ 0.1 + a + b & 2 \leq x < 3\\ 0.1 + a + b + c & 3 \leq x < 4\\ 0.1 + a + b + c + 0.2 & 4 \leq x \end{cases} \end{equation*}$

y sabiendo que $\quad P(x \leq 2) = 0.7 \quad$ y $\quad P(x \geq 2) = 0.75$ . Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

Dada la siguiente función de distribución

y sabiendo que $\quad P(x \leq 2) = 0.7 \quad$ y $\quad P(x \geq 2) = 0.75$ . Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

Dado que $\quad P(x \leq 2) = 0.7 = 0.1 + a + b\quad$ y $\quad P(x \geq 2) = 0.75 = 1 - P(x < 2) = 0.9 - a$ , tenemos el siguientes sistema de ecuaciones

$\begin{equation*} \begin{cases} 0.1 + a + b &= 0.7\\ 0.9 - a &= 0.75 \end{cases} \end{equation*}$

cuya solución es $\quad a = 0.15\quad$ y $\quad b = 0.45$ .Por último, tenemos por la función de distribución que

$\displaystyle 0.1 + a + b + c + 0.2 = 1$

sustituyendo los valores de $\quad a\quad$ y $\quad b\quad$ y despejando para $\quad c \quad$ obtenemos que $\quad c = 0.1$ . De aquí se sigue que

$\begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ 0.1 & 0 \leq x <1\\ 0.25 & 1 \leq x < 2\\ 0.7 & 2 \leq x < 3\\ 0.8 & 3 \leq x < 4\\ 1 & 4 \leq x \end{cases} \end{equation*}$

Dada la función de distribución anterior, podemos obtener la función de probabilidad, la cual está dada por

$\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0.1 & x = 0\\ 0.15 & x = 1\\ 0.45 & x = 2\\ 0.1 & x = 3\\ 0.2 & x = 4 \end{cases} \end{equation*}$

$x$	$p_i$	$xp_i$	$x^2 p_i$
$0$	$0.1$	$0$	$0$
$1$	$0.15$	$0.15$	$0.15$
$2$	$0.45$	$0.9$	$1.8$
$3$	$0.1$	$0.3$	$0.9$
$4$	$0.2$	$0.8$	$3.2$
		$2.15$	$6.05$

$\mu = 2.15$

$\sigma^2 = 6.05 - 2.15^2 \approx 1.4275 \approx 2.9167$

$\sigma = \sqrt{1.4275} \approx 1.19$

4 Un jugador lanza dos monedas. Gana $1$ ó $2$ € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde $5$ € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

Un jugador lanza dos monedas. Gana $1$ ó $2$ € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde $5$ € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

$E = \{(c,c), (c,x), (x,c), (x,x)\}$

$P(1)= \frac{2}{4}$

$P(2) = \frac{1}{4}$

$P(-5) = \frac{1}{4}$

La esperanza está dada por $\; \mu = 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} - 5 \cdot \frac{1}{4}= - \frac{1}{4}$ . Por lo tanto, no es favorable.

5Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria $\quad X \quad$ como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza

Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria $\quad X \quad$ como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza

$\quad \frac{}{36} \quad$

$\quad x \quad$	$\quad p_i \quad$	$\quad x p_i \quad$	$\quad x^2 p_i \quad$
$\quad 2 \quad$	$\quad \frac{1}{36} \quad$	$\quad \frac{2}{36} \quad$	$\quad \frac{4}{36} \quad$
$\quad 3 \quad$	$\quad \frac{2}{36} \quad$	$\quad \frac{6}{36} \quad$	$\quad \frac{18}{36} \quad$
$\quad 4 \quad$	$\quad \frac{3}{36} \quad$	$\quad \frac{12}{36} \quad$	$\quad \frac{48}{36} \quad$
$\quad 5 \quad$	$\quad \frac{4}{36} \quad$	$\quad \frac{20}{36} \quad$	$\quad \frac{100}{36} \quad$
$\quad 6 \quad$	$\quad \frac{5}{36} \quad$	$\quad \frac{30}{36} \quad$	$\quad \frac{180}{36} \quad$
$\quad 7 \quad$	$\quad \frac{6}{36} \quad$	$\quad \frac{42}{36} \quad$	$\quad \frac{294}{36} \quad$
$\quad 8 \quad$	$\quad \frac{5}{36} \quad$	$\quad \frac{40}{36} \quad$	$\quad \frac{320}{36} \quad$
$\quad 9 \quad$	$\quad \frac{4}{36} \quad$	$\quad \frac{36}{36} \quad$	$\quad \frac{324}{36} \quad$
$\quad 10 \quad$	$\quad \frac{3}{36} \quad$	$\quad \frac{30}{36} \quad$	$\quad \frac{300}{36} \quad$
$\quad 11 \quad$	$\quad \frac{2}{36} \quad$	$\quad \frac{22}{36} \quad$	$\quad \frac{242}{36} \quad$
$\quad 12 \quad$	$\quad \frac{1}{36} \quad$	$\quad \frac{12}{36} \quad$	$\quad \frac{144}{36} \quad$
		$\quad 7 \quad$	$\quad 54.83 \quad$

$\mu = 7$

$\sigma^2 = 54.84 - 7^2 \approx 5.84$

$\sigma = \sqrt{5.84} \approx 2.41$

6Un jugador lanza un dado corriente. Si sale $\quad 1 \quad$ o número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego

Un jugador lanza un dado corriente. Si sale $\quad 1 \quad$ o número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.

$\quad x \quad$	$\quad p_i \quad$	x p_i
$\quad +100 \quad$	$\quad \frac{1}{6} \quad$	$\quad \frac{100}{6} \quad$
$\quad +200 \quad$	$\quad \frac{1}{6} \quad$	$\quad \frac{200}{6} \quad$
$\quad +300 \quad$	$\quad \frac{1}{6} \quad$	$\quad \frac{300}{6} \quad$
$\quad - 400 \quad$	$\quad \frac{1}{6} \quad$	$\quad -\frac{400}{6} \quad$
$\quad + 500 \quad$	$\quad \frac{1}{6} \quad$	$\quad \frac{500}{6} \quad$
$\quad - 600 \quad$	$\quad \frac{1}{6} \quad$	$\quad -\frac{600}{6} \quad$
		$\quad \frac{100}{6} \quad$

$\quad \mu = \frac{100}{6} = \approx 16.667 \quad$

7Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de $\quad 5000$ € ó un segundo premio de $\quad 2000$ € con probabilidades de: $\quad 0.001 \quad$ y $\quad 0.003$ . ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de $\quad 5000$ € ó un segundo premio de $\quad 2000$ € con probabilidades de: $\quad 0.001 \quad$ y $\quad 0.003$ . ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

El precio está dado por la esperanza

$\quad \mu = 5000 \cdot 0.001 + 2000 \cdot 0.003 = 11$ €