1 Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

 

Al lanzar una moneda la probabilidad de que salga cara es p = 0.5 y de que salga cruz es q = 1-p = 1 - 0.5 = 0.5. En este caso, el experimento de lanzar se realizará cuatro veces, así, n=4. Por lo tanto, tenemos la distribución binomial B(n,p) con los siguientes parámetros:

{P(X=k)=\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k}}

{B(4, 0.5) \qquad p = 0.5 \qquad q = 0.5}

Ahora, como deseamos conocer la probabilidad de que salgan más caras que cruces, los eventos donde esto ocurre es cuando, o salen tres caras y una cruz, o salen cuatro caras y cero cruces, por lo que,

{P(X\geq  3) = P(X=3) + P(X=4) }

{ = \binom{4}{3}0.5^3\cdot 0.5 + \binom{4}{4}0.5^4}

\displaystyle { = \frac{4!}{3!(1!)}0.5^3\cdot 0.5 + \frac{4!}{4!0!}0.5^4 }

{ = 0.25 + 0.0625}

{ = 0.3125}

 

2 Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

aLas cinco personas.

bAl menos tres personas.

cExactamente dos personas.

 

Tomemos en cuenta la distribución binomial B(n,p) con los siguientes parámetros:

{P(X=k)=\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k}}

\displaystyle {B(5, \frac{2}{3}) \qquad p = \frac{2}{3} \qquad q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}}

 

aLas cinco personas.

\displaystyle {P(X=5)=\binom{5}{5}(\frac{2}{3})^5}

\displaystyle { = \frac{5!}{5!0!}(\frac{2}{3})^5}

{ = 0.132}

bAl menos tres personas.

{P(X\geq 3)=P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)}

\displaystyle { = \binom{5}{3}(\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + \binom{5}{4}(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{1}{3}) + \binom{5}{5}(\frac{2}{3})^5}

\displaystyle { = \frac{5!}{3!2!}(\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + \frac{5!}{4!1!}(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{1}{3}) + \frac{5!}{5!0!}(\frac{2}{3})^5}

{ = 0.791}

 

cExactamente dos personas.

\displaystyle {P(X=2)= \binom{5}{2}(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^3}

\displaystyle { = \frac{5!}{5!3!}(\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^3}

{ = 0.164}

 

3 Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

 

Tomemos en cuenta la distribución binomial B(n,p) con los siguientes parámetros:

{P(X=k)=\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k}}

\displaystyle {B(10, \frac{1}{5}) \qquad p = \frac{1}{5} \qquad q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}}

Calculemos la probabilidad deque cuando se marquen 10 números de teléfono sólo comuniquen dos.

\displaystyle {P(X=2)= \binom{10}{2}(\frac{1}{5})^2(\frac{4}{5})^8}

\displaystyle { = \frac{10!}{2!8!}(\frac{1}{5})^2 (\frac{4}{5})^8}

{ = 0.302}

 

4 La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces.

a ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?

b¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

 

Tomemos en cuenta la distribución binomial B(n,p) con los siguientes parámetros:

{P(X=k)=\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k}}

\displaystyle {B(10, \frac{1}{4}) \qquad p = \frac{1}{4} \qquad q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}}

a ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?

\displaystyle {P(X=3)= \binom{10}{3}(\frac{1}{4})^3(\frac{3}{4})^7}

\displaystyle { = \frac{10!}{3!7!}(\frac{1}{4})^3 (\frac{3}{4})^7}

{ = 0.25}

b¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

\displaystyle {P(\mbox{al menos uno})= 1 - \binom{10}{0}(\frac{1}{4})^0(\frac{3}{4})^10}

\displaystyle { =1 - \frac{10!}{0!10!}(\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^{10}}

{ = 0.9437}

 

5 En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica

 

Tomemos en cuenta la distribución binomial B(n,p) con los siguientes parámetros:

{P(X=k)=\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k}}

\displaystyle {B(10, \frac{1}{3}) \qquad p = \frac{1}{3} \qquad q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}}

Media:

{\mu=n\cdot p}

\displaystyle {\mu=10\cdot \frac{1}{3} = 3.333}

Desviación típica:

{\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot q}}

\displaystyle {\sigma=\sqrt{10\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}}= 1.49}

 

6 En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección

aDeterminar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

bDetermine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

Definamos los siguientes eventos:
A: Los conductores dan positivo a la prueba de alcoholemia.
B: Los conductores no llevan puesto el cinturón de seguridad.
Luego, la probabilidad de que el conductor de positivo a la prueba o de que no lleve su cinturón de seguridad o de que ambos eventos ocurran, conociendo que las infracciones son independientes es:

{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)}

{P(A\cup B)=0.05+0.10-0.05\cdot 0.10 = 0.145}

Ahora, tomemos en cuenta la distribución binomial B(n,p) con los siguientes parámetros:

{P(X=k)=\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k}}

{B(5, 0.145) \qquad p = 0.145} \qquad q = 1 - 0.145 = 0.855 }

 

aDeterminar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

{P(X=3)= \binom{5}{3}(0.145)^3(0.855)^2}

\displaystyle { = \frac{5!}{3!2!}(0.145)^3 (0.855)^2}

{ =0.0223}

bDetermine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

{P(\mbox{al menos uno})= 1 - \binom{5}{0}(0.855)^5}

\displaystyle { =1 - \frac{5!}{0!5!}(0.855)^5}

{ = 0.543}

 

7 Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

aNingún paciente tenga efectos secundarios.

bAl menos dos tengan efectos secundarios.

c¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

 

Tomemos en cuenta la distribución binomial B(n,p) con los siguientes parámetros:

{P(X=k)=\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k}}

{B(5, 0.03) \qquad p = 0.03 \qquad q = 1 - 0.03 = 0.97}

 

aNingún paciente tenga efectos secundarios.

{P(X=0)= \binom{5}{0}(0.03)^0(0.97)^5}

\displaystyle { = \frac{5!}{0!5!}(0.03)^0 (0.97)^5}

{ =0.8587}

bAl menos dos tengan efectos secundarios.

{P(X\geq 2)= 1 - P(X<2)}

{ = 1 - [P(X=0)+P(X=1)]}

{ = 1 - [\binom{5}{0}(0.03)^0(0.97)^5 + \binom{5}{1}(0.03)^1(0.97)^4]}

\displaystyle { = 1-[\frac{5!}{0!5!}(0.03)^0 (0.97)^5 + \frac{5!}{1!4!}(0.03)^1 (0.97)^4 }

{ =0.00847}

 

c¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
Media:

{\mu=n\cdot p}

{\mu=100\cdot 0.03 = 3}

 

Superprof

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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