Variable aleatoria

Sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. Una variable aleatoria X es una función definida en E que toma valores en el conjunto de los números reales, es decir, X:E \rightarrow \mathbb{R}. Una variable aleatoria es una función que asigna un valor al resultado de un experimento aleatorio.

Variable aleatoria discreta

Decimos que una variable aleatoria X es discreta si toma valores en un conjunto numerable, es decir, el rango de X (al cual denotaremos con \mathcal{R}_X) es un conjunto numerable. Por ejemplo:

    \[ \mathcal{R}_X = \{ x_1, x_2, x_3, \dots \} \]

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Vamos

Función de probabilidad de variable aleatoria discreta

Sea X una variable aleatoria discreta. Definimos la función de probabilidad de X como

    \begin{equation*} f(x) = P[X = x] , \quad x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Observemos que si \mathcal{R}_X = \{ x_1, x_2, x_3, \dots\}, entonces la función de probabilidad f:

    \[f(x_i)=\left\lbrace\begin{array}{c} P[X = x_i] \quad \textrm{si} \quad x= x_1, x_2, \dots \\ 0 \quad \quad \textrm{otro caso} \end{array}\right.\]

donde P[X=x] es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x. Es decir, la función de probabilidad asocia a cada valor x_i de la variable aleatoria, su probabilidad p_i.

Propiedades

  •  0 \leq f(x) \leq 1, \quad \textrm{para todo} \quad x \in \mathbb{R}
  •  p_1 + p_2 + \cdots = \sum_{x \in \mathcal{R}_X} f(x) = 1

Ejemplo de función de probabilidad de variable aleatoria discreta

Supongamos que lanzamos dos dados y definimos la variable aleatoria X como

    \[ X := \textrm{máximo de las caras cuando se lanzan los dados} \]

entonces su rango es

     \[ \mathcal{R}_X = \{ 1,2,3,4,5,6\} \]

Observemos que en este caso el espacio muestral consta de 36 elementos, que son las combinaciones al lanzar los dos dados y el rango de la variable aleatoria son los enteros del 1 al 6, con esto tenemos que el listado de las probabilidades es

    \[ f(1) = \frac{1}{36}, \quad f(2) = \frac{3}{36}, \quad f(3) = \frac{5}{36}, \quad f(4) = \frac{7}{36}, \quad f(5) = \frac{9}{36}, \quad f(6) = \frac{11}{36}\]

o escrito de forma tabular

    \[ x \]

 1  2  3  4  5  6

    \[f(x) = P[X = x] \]

 1/36  3/36  5/36  7/36  9/36  11/36

Por tanto, su función de probabilidad queda de la forma

    \[f(x)=\left\lbrace\begin{array}{c} \frac{2x-1}{36} \quad \textrm{si} \quad x= 1, 2,3, 4,5,6 \\ 0 \quad \quad \textrm{otro caso} \end{array}\right.\]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗