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Conversión de coordenadas cartesianas a polares
Conversión de coordenadas polares a cartesianas

Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.

Conversión de coordenadas cartesianas a polares

diagrama entre las coordenadas

Las coordenadas polares, $\quad (r, \alpha)$ , se definen de la siguiente manera:

- La coordenada $\quad r \quad$ es la distancia del punto $\quad (x, y) \quad$ al origen. Puede variar entre los valores $\quad [0, \infty) \quad$ .
  
  $\displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2}$

La coordenada $\quad \alpha \quad$ es el ángulo que forma el vector $\quad \vec{r} \quad$ con el eje vertical de las $\quad x \quad$ en sentido horario. Puede variar entre los valores $\quad [0, 2\pi) \quad$ (en radianes), o $\quad [0^{\circ}, 360^{\circ}) \quad$ en centígrados.

$\displaystyle \alpha = \begin{cases} \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} & \qquad x > 0, \quad y \geq 0\\ 90^{\circ} & \qquad x = 0, \quad y > 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + 180^{\circ} & \qquad x < 0\\ 270^{\circ} & \qquad x = 0, \quad y < 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + 360^{\circ} & \qquad x > 0, \quad y < 0\\ \end{cases}$

o bien

$\displaystyle \alpha = \begin{cases} \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} & \qquad x > 0, \quad y \geq 0\\ \frac{\pi}{2} & \qquad x = 0, \quad y > 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + \pi & \qquad x < 0\\ \frac{3 \pi}{2} & \qquad x = 0, \quad y < 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + 2 \pi & \qquad x > 0, \quad y < 0\\ \end{cases}$

Ejemplos

1. $\qquad \left(1, \sqrt{3} \right)\qquad$

$\begin{align*} r &= \sqrt{(1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right)} = 60^{\circ} \\ \end{align*}$

Así, nuestro punto en coordenadas polares es $\qquad \left( 2, 60^{\circ} \right)\qquad$ .

2. $\qquad \left(-1, \sqrt{3} \right)\qquad$

$\begin{align*} r &= \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( -\frac{\sqrt{3}}{1} \right)} + 180^{\circ} = -60^{\circ} + 180^{\circ}\\ \end{align*}$

Así, nuestro punto en coordenadas polares es $\qquad \left( 2, 120^{\circ} \right)\qquad$ .

3. $\qquad \left(-1, -\sqrt{3} \right)\qquad$

$\begin{align*} r &= \sqrt{(-1)^2 + (- \sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right)} + 180^{\circ} = 60^{\circ} + 180^{\circ}\\ \end{align*}$

Así, nuestro punto en coordenadas polares es $\qquad \left( 2, 240^{\circ} \right)\qquad$ .

4. $\qquad \left(1, -\sqrt{3} \right)\qquad$

$\begin{align*} r &= \sqrt{(1)^2 + (- \sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( - \frac{\sqrt{3}}{1} \right)} + 180^{\circ} = -60^{\circ} + 360^{\circ}\\ \end{align*}$

Así, nuestro punto en coordenadas polares es $\qquad \left( 2, 300^{\circ} \right)\qquad$ .

5. $\qquad \left(2, 0 \right)\qquad$

$\begin{align*} r &= \sqrt{(2)^2 + (0)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left(\frac{0}{2} \right)} = 0\\ \end{align*}$

Así, nuestro punto en coordenadas polares es $\qquad \left( 2, 0^{\circ} \right)\qquad$ .

6. $\qquad \left(-2, 0 \right)\qquad$

$\begin{align*} r &= \sqrt{(-2)^2 + (0)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( -\frac{0}{2} \right)} + 180^{\circ} = 0^{\circ} + 180^{\circ}\\ \end{align*}$

Así, nuestro punto en coordenadas polares es $\qquad \left( 2, 180^{\circ} \right)\qquad$ .

7. $\qquad \left(0, 2\right)\qquad$

$\begin{align*} r &= \sqrt{(0)^2 + (2)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= 90^{\circ}\\ \end{align*}$

Así, nuestro punto en coordenadas polares es $\qquad \left( 2, 90^{\circ} \right)\qquad$ .

8. $\qquad \left( 0, -2 \right)\qquad$

$\begin{align*} r &= \sqrt{(0)^2 + (-2)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= 270^{\circ}\\ \end{align*}$

Así, nuestro punto en coordenadas polares es $\qquad \left( 2, 270^{\circ} \right)\qquad$ .

Conversión de coordenadas polares a cartesianas

diagrama entre las coordenadas

En este caso, dadas la coordenadas polares $\qquad (r, \alpha)\qquad$ , tenemos que las coordenadas cartesianas, $\qquad (x, y)\qquad$ , están dadas por

$\begin{align*} x &= r \cos(\alpha)\\ &\\ y &= r \sin(\alpha) \end{align*}$

Ejemplo. Consideremos el punto $\qquad (2, 120^{\circ})\qquad$

$\begin{align*} x &= 2 \cos(120^{\circ}) = 2 \left(- \frac{1}{2} \right) = -1\\ &\\ y &= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \sqrt{3} \end{align*}$