Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.

 

Conversión de coordenadas cartesianas a polares

 

diagrama entre las coordenadas

 

Las coordenadas polares, \quad (r, \alpha), se definen de la siguiente manera:

 

    • La coordenada \quad r \quad es la distancia del punto \quad (x, y) \quad al origen. Puede variar entre los valores \quad [0, \infty) \quad.

       

      \displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2}

 

  • La coordenada \quad \alpha \quad es el ángulo que forma el vector \quad \vec{r} \quad con el eje vertical de las \quad x \quad en sentido horario. Puede variar entre los valores \quad [0, 2\pi) \quad (en radianes), o \quad [0^{\circ}, 360^{\circ}) \quad en centígrados.

     

    \displaystyle \alpha = \begin{cases} \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} & \qquad x > 0, \quad y \geq 0\\ 90^{\circ} & \qquad x = 0, \quad y > 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + 180^{\circ} & \qquad x < 0\\ 270^{\circ} & \qquad x = 0, \quad y < 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + 360^{\circ} & \qquad x > 0, \quad y < 0\\ \end{cases}

     

    o bien

     

    \displaystyle \alpha = \begin{cases} \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} & \qquad x > 0, \quad y \geq 0\\ \frac{\pi}{2} & \qquad x = 0, \quad y > 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + \pi & \qquad x < 0\\ \frac{3 \pi}{2} & \qquad x = 0, \quad y < 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + 2 \pi & \qquad x > 0, \quad y < 0\\ \end{cases}

 

Ejemplos

 

1. \qquad \left(1, \sqrt{3} \right)\qquad

 

     \begin{align*} r &= \sqrt{(1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right)} = 60^{\circ} \\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 60^{\circ} \right)\qquad.

 

2. \qquad \left(-1, \sqrt{3} \right)\qquad

 

     \begin{align*} r &= \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( -\frac{\sqrt{3}}{1} \right)} + 180^{\circ} = -60^{\circ} + 180^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 120^{\circ} \right)\qquad.

 

3. \qquad \left(-1, -\sqrt{3} \right)\qquad

 

     \begin{align*} r &= \sqrt{(-1)^2 + (- \sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right)} + 180^{\circ} = 60^{\circ} + 180^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 240^{\circ} \right)\qquad.

 

4. \qquad \left(1, -\sqrt{3} \right)\qquad

 

     \begin{align*} r &= \sqrt{(1)^2 + (- \sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( - \frac{\sqrt{3}}{1} \right)} + 180^{\circ} = -60^{\circ} + 360^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 300^{\circ} \right)\qquad.

 

5. \qquad \left(2, 0 \right)\qquad

 

     \begin{align*} r &= \sqrt{(2)^2 + (0)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left(\frac{0}{2} \right)} = 0\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 0^{\circ} \right)\qquad.

 

6. \qquad \left(-2, 0 \right)\qquad

 

     \begin{align*} r &= \sqrt{(-2)^2 + (0)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( -\frac{0}{2} \right)} + 180^{\circ} = 0^{\circ} + 180^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 180^{\circ} \right)\qquad.

 

7. \qquad \left(0, 2\right)\qquad

 

     \begin{align*} r &= \sqrt{(0)^2 + (2)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= 90^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 90^{\circ} \right)\qquad.

 

8. \qquad \left( 0, -2 \right)\qquad

 

     \begin{align*} r &= \sqrt{(0)^2 + (-2)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= 270^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 270^{\circ} \right)\qquad.

 

diagrama entre las coordenadas

 

En este caso, dadas la coordenadas polares \qquad (r, \alpha)\qquad, tenemos que las coordenadas cartesianas, \qquad (x, y)\qquad, están dadas por

 

     \begin{align*} x &= r \cos(\alpha)\\ &\\ y &= r \sin(\alpha) \end{align*}

 

Ejemplo. Consideremos el punto \qquad (2, 120^{\circ})\qquad

 

     \begin{align*} x &= 2 \cos(120^{\circ}) = 2 \left(- \frac{1}{2} \right) = -1\\ &\\ y &= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \sqrt{3} \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas cartesianas es \qquad (-1, \sqrt{3})\qquad.

¿Necesitas un/a profe de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 3,30/5 - 10 voto(s)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗