Marta

20 enero 2020

Temas

 

Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.

 

Conversión de coordenadas cartesianas a polares

 

diagrama entre las coordenadas

 

Las coordenadas polares, \quad (r, \alpha), se definen de la siguiente manera:

 

    • La coordenada \quad r \quad es la distancia del punto \quad (x, y) \quad al origen. Puede variar entre los valores \quad [0, \infty) \quad.

       

      \displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2}

 

  • La coordenada \quad \alpha \quad es el ángulo que forma el vector \quad \vec{r} \quad con el eje vertical de las \quad x \quad en sentido horario. Puede variar entre los valores \quad [0, 2\pi) \quad (en radianes), o \quad [0^{\circ}, 360^{\circ}) \quad en centígrados.

     

    \displaystyle \alpha = \begin{cases} \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} & \qquad x > 0, \quad y \geq 0\\ 90^{\circ} & \qquad x = 0, \quad y > 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + 180^{\circ} & \qquad x < 0\\ 270^{\circ} & \qquad x = 0, \quad y < 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + 360^{\circ} & \qquad x > 0, \quad y < 0\\ \end{cases}

     

    o bien

     

    \displaystyle \alpha = \begin{cases} \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} & \qquad x > 0, \quad y \geq 0\\ \frac{\pi}{2} & \qquad x = 0, \quad y > 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + \pi & \qquad x < 0\\ \frac{3 \pi}{2} & \qquad x = 0, \quad y < 0\\ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} + 2 \pi & \qquad x > 0, \quad y < 0\\ \end{cases}

 

Ejemplos

 

1. \qquad \left(1, \sqrt{3} \right)\qquad

 

    \begin{align*} r &= \sqrt{(1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right)} = 60^{\circ} \\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 60^{\circ} \right)\qquad.

 

2. \qquad \left(-1, \sqrt{3} \right)\qquad

 

    \begin{align*} r &= \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( -\frac{\sqrt{3}}{1} \right)} + 180^{\circ} = -60^{\circ} + 180^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 120^{\circ} \right)\qquad.

 

3. \qquad \left(-1, -\sqrt{3} \right)\qquad

 

    \begin{align*} r &= \sqrt{(-1)^2 + (- \sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right)} + 180^{\circ} = 60^{\circ} + 180^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 240^{\circ} \right)\qquad.

 

4. \qquad \left(1, -\sqrt{3} \right)\qquad

 

    \begin{align*} r &= \sqrt{(1)^2 + (- \sqrt{3})^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( - \frac{\sqrt{3}}{1} \right)} + 180^{\circ} = -60^{\circ} + 360^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 300^{\circ} \right)\qquad.

 

5. \qquad \left(2, 0 \right)\qquad

 

    \begin{align*} r &= \sqrt{(2)^2 + (0)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left(\frac{0}{2} \right)} = 0\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 0^{\circ} \right)\qquad.

 

6. \qquad \left(-2, 0 \right)\qquad

 

    \begin{align*} r &= \sqrt{(-2)^2 + (0)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= \tan^{-1}{\left( -\frac{0}{2} \right)} + 180^{\circ} = 0^{\circ} + 180^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 180^{\circ} \right)\qquad.

 

7. \qquad \left(0, 2\right)\qquad

 

    \begin{align*} r &= \sqrt{(0)^2 + (2)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= 90^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 90^{\circ} \right)\qquad.

 

8. \qquad \left( 0, -2 \right)\qquad

 

    \begin{align*} r &= \sqrt{(0)^2 + (-2)^2} = 2\\ &\\ \alpha &= 270^{\circ}\\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas polares es \qquad \left( 2, 270^{\circ} \right)\qquad.

 

Conversión de coordenadas polares a cartesianas

 

diagrama entre las coordenadas

 

En este caso, dadas la coordenadas polares \qquad (r, \alpha)\qquad, tenemos que las coordenadas cartesianas, \qquad (x, y)\qquad, están dadas por

 

    \begin{align*} x &= r \cos(\alpha)\\ &\\ y &= r \sin(\alpha) \end{align*}

 

Ejemplo. Consideremos el punto \qquad (2, 120^{\circ})\qquad

 

    \begin{align*} x &= 2 \cos(120^{\circ}) = 2 \left(- \frac{1}{2} \right) = -1\\ &\\ y &= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \sqrt{3} \end{align*}

 

Así, nuestro punto en coordenadas cartesianas es \qquad (-1, \sqrt{3})\qquad.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗