Name: Calculo de potencias de la unidad imaginaria
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Forma de calcular una potencia de la unidad imaginaria
Ejemplos de cálculo de potencias con unidad imáginaria

Forma de calcular una potencia de la unidad imaginaria

Recordemos que la unidad imaginaria se define como el número complejo $i$ tal que $i^2 = -1$ . Por lo tanto, tenemos los siguientes resultados:

$i^0 = 1 \quad$ (por convención)
$i^1 = i$
$i^2 = -1 \quad$ (por definición)
$i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$
$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$

Observemos que $i^5 = i^4 \cdot i = i$ . Por lo tanto, los valores de las potencias de $i$ se van ciclando/repitiendo de cuatro en cuatro.

Recordemos que si dividimos un número $n$ por 4, entonces obtenemos un cociente $q$ y un residuo $r$ (donde $0 \leq r < 4$ ), de manera que $n$ se puede escribir como

$n = 4 \cdot q + r$

De esta manera, para calcular $i^n$ hacemos:

$\displaystyile i^n = i^{4\cdot q + r} = \left( i^{4}\right)^q \cdot i^r = \left( 1 \right)^q \cdot i^r = i^r$

Es decir, $i^n = i^r$ donde $r$ es el residuo de dividir $n$ entre 4.

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Ejemplos de cálculo de potencias con unidad imáginaria

1 $i^{22}$

Para calcular $i^{22}$ , dividimos 22 entre 4. De manera que obtenemos

$\displaystyle 22 = 4\cdot 5 + 2$

Es decir, el residuo es 2. Por lo tanto

$\displaystyle i^{22} = i^2 = -1$

2 $i^{27}$

Para calcular $i^{27}$ , dividimos 27 entre 4. De manera que obtenemos

$\displaystyle 27 = 4\cdot 6 + 3$

Es decir, el residuo es 3. Por lo tanto

$\displaystyle i^{27} = i^3 = -i$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Zambrano
Invité

19 May.

Genial

Superprof
Administrateur

25 May.

❤️

Jeria
Invité

27 Jun.

Y si es (i 9) 8

Juan Manuel Sanchez Perez
Editor

17 Jul.

¡Hola! Supongo que te refieres a $(i9)^8$ . El procedimiento sería como sigue:

$(i9)^8 = i^8 9^8$

Nota que $8 = 4\cdot 2$ , por lo que $i^8 = i^(4\cdot 2) = (i^4)^2 = 1^2 = 1$ . De esta forma,

$(i9)^8 = i^8 9^8 = 1 \cdot 9^8 = 9^8 = 43'046,721$

Si tienes más dudas, pregúntanos con confianza. ¡Un saludo!

Potencias de la unidad imaginaria

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Ejemplos de cálculo de potencias con unidad imáginaria

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