Forma de calcular una potencia de la unidad imaginaria

 

Recordemos que la unidad imaginaria se define como el número complejo i tal que i^2 = -1. Por lo tanto, tenemos los siguientes resultados:

 

  • i^0 = 1 \quad (por convención)
  • i^1 = i
  • i^2 = -1 \quad (por definición)
  • i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i
  • i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1

 

Observemos que i^5 = i^4 \cdot i = i. Por lo tanto, los valores de las potencias de i se van ciclando/repitiendo de cuatro en cuatro.

 

Recordemos que si dividimos un número n por 4, entonces obtenemos un cociente q y un residuo r (donde 0 \leq r < 4), de manera que n se puede escribir como

 

n = 4 \cdot q + r

 

De esta manera, para calcular i^n hacemos:

 

\displaystyile i^n = i^{4\cdot q + r} = \left( i^{4}\right)^q \cdot i^r = \left( 1 \right)^q \cdot i^r = i^r

 

Es decir, i^n = i^r donde r es el residuo de dividir n entre 4.

 

Ejemplos de cálculo de potencias con unidad imáginaria

 

1i^{22}

Para calcular i^{22}, dividimos 22 entre 4. De manera que obtenemos

\displaystyle 22 = 4\cdot 5 + 2

 

Es decir, el residuo es 2. Por lo tanto

 

\displaystyle i^{22} = i^2 = -1

 

2i^{27}

Para calcular i^{27}, dividimos 27 entre 4. De manera que obtenemos

\displaystyle 27 = 4\cdot 6 + 3

 

Es decir, el residuo es 3. Por lo tanto

 

\displaystyle i^{27} = i^3 = -i

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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