Raíz n-ésima de complejos en forma polar

Una raíz n-ésima \sqrt[n]{r_\alpha}  de un número complejo r_\alpha en forma polar es otro número complejo, tal que:

 

  • Su módulo r' se obtiene de sacar raíz enésima del módulo de r_\alpha

 

r'=\sqrt[n]{r}

  • Su argumento \alpha' se obtiene de dividir por n el argumento de r_\alpha y sumarle \displaystyle \frac{2\pi k}{n}

 

\displaystyle  \alpha'=\frac{\alpha + 2\pi k}{n} \   con  \ \hspace{1cm} k=0,1,2,...,(n-1)
 

Por lo tanto, existirán n soluciones distintas. Cada valor de k nos brinda una solución diferente.

 

     \displaystyle  \sqrt[n]{r_\alpha}=r'_{\alpha'}=(\sqrt[n]{r})_{\frac{\alpha + 2\pi k}{n}}

 

 

  • \sqrt[6]{1+i}

Primero convertimos (1+i) a forma polar.

Módulo de (1+i)       \longrightarrow \hspace{.5cm} \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

 

Argumento de (1+i)       \displaystyle \longrightarrow \hspace{.5cm} \arctan \left(\frac{1}{1}\right)=45^{\circ}

Usando el procedimiento que vimos anteriormente sabemos que

Módulo de \sqrt[6]{1+i}       \longrightarrow \hspace{.5cm} r'=\sqrt[6]{\sqrt{2}}=\sqrt[12]{2}

 

Arg. de \sqrt[6]{1+i}       \displaystyle \longrightarrow \hspace{.5cm} \alpha'=\frac{45^{\circ}+360^{\circ}k}{6}= \left\{\begin{matrix} k=0 &\rightarrow &\alpha_1'=7^{\circ}\ 30'\ \ \\ k=1 & \rightarrow&\alpha_2'=67^{\circ}\ 30'\ \\ k=2 &\rightarrow &\alpha_3'=127^{\circ}\ 30'\\ k=3 &\rightarrow &\alpha_4'=187^{\circ}\ 30'\\ k=4 &\rightarrow &\alpha_5'=247^{\circ}\ 30'\\ k=5 & \rightarrow& \alpha_6'=307^{\circ}\ 30' \end{matrix}\right.

Entonces las seis raíces están dadas por:

\sqrt[6]{1+i}=\sqrt[6]{\sqrt{2}_{45^{\circ}}}=\left\{\begin{matrix} z_1'=(\sqrt[12]{2})_{7^{\circ}30'} \ \\ z_2'=(\sqrt[12]{2})_{67^{\circ}30'}\\\ z_3'=(\sqrt[12]{2})_{127^{\circ}30'}\\\ z_4'=(\sqrt[12]{2})_{187^{\circ}30'}\\\ z_5'=(\sqrt[12]{2})_{247^{\circ}30'}\\\ \ z_6'=(\sqrt[12]{2})_{307^{\circ}30'}\ \end{matrix}\right.

La siguiente imagen muestra las seis raíces graficadas en el plano complejo

raices de un número complejo

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗